【“数学与经济”数学教学设计5400字】

“数学与经济”数学教学设计经济学研究的经济现象，虽然不可以像自然现象那样进行精确地计量，但还是可以部分计量的。事实上，可以用数学方法来考察经济现象的数量关系，用数学语言来表述经济模型和经济理论，也可以用经验的统计资料对经济理论进行验证。科学的分析方法，必须在定性研究的同时，运用数学方法进行量的分析，才能完善地揭示事物的内在规律。正如马克思所言，“一种科学只有在成功地运用数学时，才算真正达到了完善的地步。”一、什么是经济简单地说，经济就是人们生产、\t"/item/%E7%BB%8F%E6%B5%8E/_blank"流通、分配、消费一切物质精神资料的总称。\t"/item/%E7%BB%8F%E6%B5%8E/_blank"人类经济活动就是\t"/item/%E7%BB%8F%E6%B5%8E/_blank"创造、转化、实现\t"/item/%E7%BB%8F%E6%B5%8E/_blank"价值，满足人类物质文化生活\t"/item/%E7%BB%8F%E6%B5%8E/_blank"需要的活动。

经济学是研究客观的经济现象及其规律的科学，被称为社会科学之王，是最古老的艺术、最新颖的科学。经济学的本质是研究在资源既定的条件下如何实现经济资源最优配置的社会科学。二、数学对经济的作用数学应用到经济学中后，所产生的作用主要表现在：一是数学为经济学提供了简洁的表达符号，使经济学更简洁规范；数学为经济学提供了解决问题的思想方法和模型；数学赋予了经济学更广阔的应用场景和发展空间。数学方法正是对客观事物进行量的分析。在经济分析中，运用数学方法的优点在于：所应用的语言是更严密和更准确的；有大量的数学定理为经济分析服务；由于它使我们明确地表达一些假定条件，可以使我们避免采用一些不理想的含义模糊的假定；它使我们能够处理有几个变量的情形。所以，数学方法被广泛地用于经济分析。70年代以来，西方经济学加强了数学分析，甚至出现了经济学的“数学化倾向”。在西方经济学著作中，除了对经济理论进行必要的文字说明外，还广泛地运用几何、矩阵代数、微积分、概率论、差分方程和序列论等对经济现象进行数量分析。三、数学知识解决经济问题举例（一）如何偿还房贷当今社会，房价居高不下，买房是年轻人面临的严峻现实，对于工薪阶层来说很难一次性付清动辄上百万甚至几百万的房款总价，采取分期付款是比较现实可行的方法，也是各大银行比较青睐的一项业务。于是每个月的的工资一发下来就要考虑往房贷还款账户里打钱。面对十几年甚至几十年的漫漫还贷期限，如何最“节省”、最“轻松”是不得不考虑的事情。目前银行规定的还款方式可分为两种：等额本息还款法和等额本金还款法。等额本息还款法实在贷款期内每个月以相等的额度平均偿还银行的贷款本息，其计算公式为：每月还款额=等额本金还款法是在贷款期内，每个月等额偿还贷款本金，贷款利息随本金逐月递减，其计算公式为：每月还款额=假设银行的贷款利率如下表所示：贷款年限（年）年利率月利率15.31%4.42‰2-35.40%4.50‰4-55.76%4.80‰大于55.94%4.95‰李先生从银行贷款100万，年限为10年，请计算一下李先生采用等额本息还款法和等额本金还款法分别总共要还给银行多少钱？首先考虑采用等额本息还款法，贷款本金100万=1000000元，还款月数为10年=120月，月利率为4.95‰，将以上数据带入公式每月还款额=，经计算可知每月还款额约为11071.94元，10年后总共还给银行元。然后考虑采用等额本金还款法，贷款本金100万=1000000元，还款月数为10年=120月，月利率为4.95‰，按照如下公式计算每月还款额：每月还款额=设第个月的还款金额为，则有则10年总共还款额为元。对上面的结果进行比较，采用等额本金还款法还款的总金额要少于等额本息还款。那么是不是说等额本金还款法一定比等额本息还款法好呢？其实不然，两种还款方法各有好处。等额本金还款法的还款总额较少，但是开始的月还款额要高一些，负担较重，适合的人群是付完首付款后月还款压力较大的人，尤其是工薪阶层的年轻人；等额本金还款法的还款总额较多，但是开始的月还款额要低一些，负担较轻，适合前阶段还款能力较前的人群，尤其是有一些积蓄的年龄较大的人，面临退休，后期还款能力不足，该还款方法能将还款压力前移。另外，你知道以上还款公式是怎么推出来吗？（二）容易让人绝望的高利贷高利贷是一种民间借贷形式，在我国自古有之，封建社会地主阶级欺压农民阶级常见的手段之一，常使得农民卖儿卖女也难以偿清债务。现在这种借贷形式是不受法律保护的，因为利息过高侵犯了借贷人的利益。在我国最常见的一种高利贷形式叫做“驴打滚”，这个名字很形象，意思就是本金逐月增加，利息逐月成倍增长，像驴打滚一样。“驴打滚”的借贷期限一般为一个月，月息一般为3至5分(3%至5%)，如果到期不还，则将利息计人下月本金(复利)。这样累计下来本金越来越高，利息越来越多，往往使借贷者损失惨重。假设A先生急需用钱，向一家私人钱庄借高利贷20万元，双方约定采用“驴打滚”的借贷方式，月息定为5分。如果A先生借款一年，那么最终A先生要还给这家钱庄多少钱呢?如果明白了“驴打滚”的高利贷方式就不难算出本题了。对于20万元，一个月的利息为5分，也就是5%，那么一个月后应支付的利息额为20万x5%=1万。这1万元利息会加到下个月的本金中继续计算。这样，一个月后连本带息的总金额为20万x(1+5%)=21万，这21万元就是第二个月的本金。依此类推，如果A先生借款一年，那么，最终A先生连本带利需要还给钱庄20万×(1+5%)≈35.9万A先生借款20万元，一年后要还35.9万元，这样算来年贷款利率大约为(35.9-20)/20x100%=79.5%这可要比任何一家银行的贷款利率都高得多（银行的年贷款利率约为6%至8%）。这样的利率对大多数人来说是绝望的。高利贷采取的是复利的计息方式，在数学中对应知识是指数函数，人们常说“指数大爆炸”，形容指数函数的递增速度很快，古今中外都有相关的故事。下面是古印度“舍罕王赏麦”的故事。舍罕王是古印度国的一个国王，他的宰相达依尔为了讨好舍罕王发明了今天的国际象棋，并将其作为礼物献给了舍罕王。舍罕王十分高兴，要赏赐达依尔，并许诺可以满足达依尔的任何要求。狡猾的达依尔指着桌上的棋盘对舍罕王说:“陛下，请你按棋盘上的格子赏赐我一些小麦吧，第一个格子赏我1粒小麦，第二个格子赏我2粒小麦，第三个格子赏我4粒，以后每一个格子都比前一个格子麦粒数增加1倍即可，只要把棋盘上的全部64个格子填满，我就心满意足了。”舍罕王觉得区区几粒小麦，微不足道，就满口答应下来，结果当舍罕王计算麦粒时却大惊失色。请问舍罕王计算的结果是多少粒麦子?第一个格子的麦粒数为1,第二个格子的麦粒数为2,第三个格子的麦粒数为4,…，第64个格子的麦粒数为263=18446744073709551615舍罕王要赏赐达依尔18446744073709551615粒小麦。根据常识,每千克小麦大约17200至43400粒，我们取中间值30000粒/kg，那么18446744073709551615粒小麦大约614891469123651.7205kg，这真是一个天文数字啊!从上面我们看到，每一项的指数增长，也就是每一项的不断翻倍，从一开始的1粒小麦,瞬间就增长到263=对称密码体制是一种经典的加密体制策略。加密方A和解密方B共享一个密钥Key。加密方A使用密钥Key对明文进行加密操作生成密文，解密方B使用同样的密钥Key对密文进行解密操作生成明文。在整个加密解密过程中密钥Key是一个关键的因素。如果密钥在传输过程中被他人截获，那么密文将不攻自破（前提是知道了加密的算法）。所以密钥一般是不会轻易让人拿到的。如果-一个人没有得到密钥却想破译密文，那只能做出和密钥长度相同的字节流，一个一个地尝试解密。这种方法称为“暴力破译法”，虽然算法形式最为简单，但是这种方法的性能也更加依赖于密钥Key的长度。假设密钥Key的长度为2位(bit)，如果应用暴力破译法解码，最多需要尝试4次，即:00，01，10，11但是如果密钥Key的长度增加到3位，则暴力破译法尝试的次数便要翻倍，最多需要尝试8次，即:000，001，010,011，100，101，110，111但是实际应用中不可能使用这样简单的密钥，因为那将失去加密的意义。一般都要使用32位、64位甚至更长的密钥。那么如果使用64位的密钥，应用暴力破译法最坏的情况下需要尝试多少次才能译码?如果采用64位的密钥，该密钥可能的0/1组合共264=18446744073709551616个之多!如果我们逐一枚举并尝试解密，最多需要尝试264我们要讨论的并不是暴力破译法的性能问题，而是讨论密钥的长度对暴力破译法性能的影响。虽然64位的密钥并不长，但是如果应用暴力破译法尝试每一个可能的组合，则需要尝试264这便是指数爆炸的威力。对于暴力破译法，其时间复杂度为O(2n),其中n为密钥Key的长度。也就是说应用暴力破译法尝试密钥的次数跟Key的长度n是成指数关系的，密钥的长度每增加1位，尝试的次数就扩大1倍，因此当密钥的长度增大至64位时，尝试的次数已经达到一个天文数字2所以较长的密钥Key能给加密系统带来更大的安全性，至少在暴力破译的前提下，达到一定长度的密钥是在人类可操控的时间范围内和现有能力下是很难破解的。（三）牛奶厂怎样安排生产计划现实生活中从大人到小孩都越来越重视身体健康和营养情况，牛奶的需求量也随之增加。因为新鲜的牛奶不容易保存，所以牛奶厂往往对牛奶再加工，制作成各种奶制品，比如牛奶糖、牛奶片，这样增加了牛奶的保质期，还可以增加利润。牛奶厂面临一个棘手的问题，那就是多少牛奶用于直销？多少牛奶制成奶制品？下面有一个例子来解决这个问题。牛奶厂现有9顿的牛奶存量，若在市场上直销这种牛奶，每吨可获利500元，如果制成酸奶再销售，每吨可获利1200元，如果进行深加工制成奶糖销售，每吨可获利2000元。牛奶厂的生产能力是：如果生产酸奶，每天可加工3顿牛奶；如果制成奶制品，每天只能加工1顿牛奶。由于设备限制，两种加工的方式不能同时进行，并且要求4天全部销售或加工完这批牛奶。请问你怎样安排生产计划能及时处理完牛奶，并且利润最高？对于这类制定生产计划的问题，我们可以先罗列出每一种可能的方案，然后分别计算每种方案可获得的利润，从中选出利润最高方案作为最终的结果。本问题牛奶厂的生产计划有四种方案：方案一（鲜奶）：不需要加工，销售全部鲜奶；方案二（酸奶）：全部牛奶用来制造酸奶；方案三（奶糖+鲜奶）：尽量多地制成奶糖，其他的鲜奶直接销售；方案四(奶糖+酸奶）：在4天时间里一部分牛奶制成奶糖，一部分制成酸奶。由于该工厂每天只能加工1顿牛奶制造奶糖，所以如果全部的牛奶用来制造奶糖，显然4天之内是无法加工完这批牛奶的，所以不能采取“全部做成奶糖”的方案，下面就对以上四种方案进行分析比较。第一种方案是最简单的做法，可以获利=4500元。第二种方案是全部制成酸奶，9吨牛奶可在3天内加工成酸奶，总利润为元。第三种方案是尽量多地制成奶糖，其他的鲜奶直接销售，那么需要加工4吨牛奶制造酸奶，还剩5吨牛奶直接销售，则总利润为元。第四种方案是如果在4天内一部分牛奶制成奶糖，一部分制成酸奶，这样可以假设用吨的牛奶加工奶糖，用吨的牛奶加工酸奶，根据题目的已知条件可以列出以下方程组，解得，那么这种方案可获得的总利润为元。综上所述，比较四种方案获得的利润，方案四>方案二>方案三>方案一，所以，该牛奶厂应当选择第四种方案安排生产。这里强调一点，题目中指出的牛奶、酸奶、奶糖每吨销售利润应该是减去全部成本的净利润，比如牛奶自身、生产工艺、人员工资等方面的成本。另外，从本题中可以看到单纯地只是出售基础性的材料，往往获得的利润是最低的。（四）电子厂怎样选择生产方案某电子厂家计划设计两种产品:两种计算机使用相同的微处理芯片,但一种是使用的显示屏是25英寸的,同样另外一种计算机的显示屏是33英寸,每种计算机都有50000的固定费用相同,每台25英寸显示屏的计算机还额外花费1950美元,每台33英寸的计算机还需要额外花费2250美元。根据成本价，厂家提议25英寸的计算机每台的零售的价钱应该为3490美元,另外一种也就是33英寸的零售价格为每台3990美元。销售预测,在竞争激烈的销售电子产品,只要多卖出一台计算机,它就下降0.1美元.同时,他们热卖情况也彼此有关系:每卖出一台33英寸显示器,25英寸的零售价可能下降0.03美元；只要25英寸的卖出一台,另外一种的价格可能下降0.04美元。我们假设制造的所有计算机都可以售出,想要赚取更多的利润，这个电子厂商该怎么生产？这道题的目标是得到更大的利润,那么该如何进行制造呢？即25英寸显示屏的计算机该生产多少台，33英寸的又该生产多少台。两个条件限制决策:每多售出一台任意一种类型的计算机,它的价格就下降0.1美元；两类计算机的出售情况彼此影响①假如制造25英寸的显示屏台,则33英寸的显示屏的共制造台;②为出售的价钱,为计算机卖的总的钱数,为计算机的费用,为计算机零售的利润和;③所有的计算机都能够卖出;④