数学配套3.3几何概型

3．3几何概型【学习目的】1．理解几何概型的特点，理解几何概型的定义．2．掌握几何概型的概率计算公式．3．会用随机模拟办法，求某些不规则图形的面积．1．几何概型的特点(1)实验中全部可能出现的基本领件有无限多个．(2)每个基本领件的出现是____________．2．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．等可能的3．几何概型的概率公式P(A)＝ 构成事件A的区域长度(面积或体积)实验的全部成果所构成的区域长度(面积或体积). 4．运用几何概型，并通过随机模拟办法，能够近似计算不规则图形的面积S.若S0是已知图形的面积，Pn(A)是模拟办法得到的点落在所求图形的概率近似值，则有S＝_______.S0Pn(A) 练习：如图3-3-1，四个能够自由转动的转盘被平均分成若干个扇形．转动转盘，转盘停止转动后，有两个转盘的指针指)C向白色区域的概率相似，则这两个转盘是( 图3-3-1A．转盘1和转盘2C．转盘2和转盘4B．转盘2和转盘3D．转盘3和转盘4 【问题探究】 如图3-3-2，设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地取一点与A连接，求弦长超出半径的倍的概率． 图3-3-2

题型1基本领件集可对应数轴上实数集区间的几何概型 【例1】如图3-3-3，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长不大于AC的长的概率． 图3-3-3 思维突破：“在斜边AB上任取一点M”，表达基本领件“任取一点”是等可能的，且有无限个点，所求事件“AM的 拟定基本领件集和所求事件集所对应的几何图形，并对的求对应的几何量，然后按公式计算概率即可．【变式与拓展】图D20答案：3题型2基本领件集是(或对应)平面上可计算面积的区域的几何概型 【例2】两台电脑同时共用一种宽带上网，各占a%，b%的宽带，当a＋b>100时，网络会发生堵塞，求发生堵塞的概率． 思维突破：本题有两个独立变化量a，b，一种基本领件就是一种a，b值的拟定，即可用有序数对(a，b)表达一种基本领件，借助平面直角坐标系，把基本领件对应平面直角坐标系下的一种区域，转为几何概型求解． 解：∵0≤a≤100,0≤b≤100， ∴实验全部成果构成区域为图D19中的矩形OABC，发生堵塞，即a＋b>100的区域为△ACB，显然两部分的面积之比为

图D19 【变式与拓展】 2．(2013年四川)节日前夕，小李在家门牌号前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮互相独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超出2秒的概率是() 解析：这是考察几何概型的知识．设这两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为第x，y秒，则满足答案：C题型3与体积有关的几何概型概率的求法 【例3】在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，求点P到正方形ABCD中心O的距离不不不大于1的概率． 思维突破：欲求点P与点O的距离不不不大于1的概率，先由与点O的距离为1的点的轨迹是一种半球，求出其体积，再根据几何概率公式，并结合求正方体体积的办法求解．

【变式与拓展】

3．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，若从中随机取出10毫升，则含有麦锈病种子的概率是多少？若从中随机取出30毫升，则含有麦锈病种子的概率是多少？

题型4均匀随机数的产生 【例4】取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不不大于1m的概率是多少？ 思维突破：在任意位置剪断绳子，则剪断的位置到绳子一端的距离取遍[0,3]内的任意数，并且每一种实数被取到都是等可能的，因此在任意位置剪断绳子的全部成果(基本领件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中获得的[1,2]内的随机数就表达剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段绳子的长都不不大于1m．这样获得的[1,2]内的随机数的个数与[0,3]内的个数之比就是事件A发生的概率．解：(1)运用计算器或计算机产生一组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND；用随机模拟的办法解决与长度有关的几何概型问题，核心在于将对应的区域长度转化为随机数的范畴[a，b]，进而在[a，b]上产生随机数．(2)通过伸缩变换，a=a1*3,得到一组[0,3]上的均匀随机数;(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N；【变式与拓展】4．运用随机模拟办法计算图3-3-4中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的图形)的面积．图3-3-4解：(1)运用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数； (3)统计实验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b＜2a的点(a，b)的数)；

【例5】在长为

12cm的线段AB上任取一点M，并以AM为边作正方形，试求这个正方形面积介于36cm2

与81cm2

之间的概率．[办法·规律·小结]1．几何概型概率的计算．(1)选择适宜的观察角度．(2)把基本领件空间转化为与之对应的区域．(3)把事件A转化为与之对应的区域．(4)运用公式计算概率值．2．常见的几个几何概型． (1)与长度有关的几何概型：构造的几何模型是“线状”的，如基本领件是某一区间内的一种实数或有关的时间问题． (2)与角度有关的几何概型：基本领件的出现与几何图形中的角有关，有时也会是在圆周上取点等问