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文档简介

平面向量的数量积一、引入：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？SFθ力做的功：W=|F|

|s|cos

，

是F与s的夹角向量的数量积1．两个非零向量夹角的概念说明：（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0

≤

≤180

baOabO已知非零向量a与ｂ，作＝a，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos

叫a与ｂ的数量积，记作a

b，即有

a

b=|a||b|cos

，（０≤θ≤π）.规定0与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos

的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成a

b；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a

0，且a

b=0，则b=0；在数量积中，若a

0，且a

b=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由a

b=b

c能否推出a=c？(5)在实数中，有(a

b)c=a(b

c)，但是(a

b)c

a(b

c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3．“投影”的概念：定义：|b|cos

叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当

为锐角时投影为正值；当

为钝角时投影为负值；当

为直角时投影为0；当=0

时投影为|b|；当=180

时投影为

|b|。4．向量的数量积的几何意义：数量积a

b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1

e

a=a

e=|a|cos

2

a

b

a

b=03

当a与b同向时，a

b=|a||b|；当a与b反向时，

a

b=

|a||b|。特例：a

a=|a|2或4

cos

=5

|a

b|≤|a||b|例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝a•(ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例2已知｜

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