2027届高考数学一轮总复习第六章 培优专题八　数列的创新融合问题（课件）

第六章数列培优专题八数列的创新融合问题高三一轮数学内容索引课时作业关键能力提升考试要求三年考情数列中的创新融合问题一般为数列与导数、解析几何等知识的交汇命题,创新融合问题通常以新定义、新运算、新情境等形式出现,常作为压轴题,难度较大.202320242025

新课标Ⅰ卷T19

新课标Ⅱ卷T18新课标Ⅱ卷T19

关键能力提升

1.数列与导数的创新融合问题一般与不等式的证明有关,解题思路一般是利用导数证明函数不等式,根据该不等式对自变量赋值,利用累加法证明数列不等式.2.数列与导数的创新融合问题中不等式的证明有时需要先放缩,再证明不等式.规律总结

两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列,且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数,一个等差数列与一个等比数列的公共项,则要通过其项数之间的关系来确定.规律总结

考点3

数列的新定义问题【例3】

(2025·江西南昌二模)对于共k项的等差数列{an}(公差不为0),将其各项重新排列得到新数列{bn},若{bn}中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间,则称数列{bn}是等差数列{an}的“无均数列”.(1)若k=4,写出等差数列{an}(公差不为0)的4个不同的“无均数列”;【解】

当k=4时,存在以下“无均数列”:a1,a3,a2,a4;a1,a3,a4,a2;a3,a1,a2,a4;a3,a1,a4,a2;a2,a4,a1,a3;a2,a4,a3,a1;a4,a2,a1,a3;a4,a2,a3,a1;a2,a1,a4,a3;a3,a4,a1,a2.共10个.(写出其中的4个即可)(2)若k=8,写出等差数列{an}(公差不为0)的一个“无均数列”;【解】当k=8时,等差数列{an}(公差不为0)的一个“无均数列”为a1,a5,a3,a7,a2,a6,a4,a8.(答案不唯一,满足要求即可)

现证只有3项的数列可以重组为“无均数列”.将a1,a2,a3的奇数项和偶数项分别排在一起得a1,a3,a2,为“无均数列”.根据以上信息,我们可以得出,对于公差不为0的等差数列{an},一直进行上面那样的分段,最后只要那些段内能够重组成“无均数列”,则这个等差数列就可以重组成“无均数列”,显然,无论等差数列{an}有多少项,最后都能够分成多段只含一项或者两项的数列,则公差不为0的等差数列{an}存在“无均数列”.所以若k=2

025,则等差数列{an}(公差不为0)的“无均数列”存在.解决新定义数列问题,核心是先精准解读新定义,明确其对数列的运算、关系或性质的规定,再转化为常规数列问题,借助作差求通项、递推公式推导、等差(等比)求和、假设验证(如存在性分析)等方法,将新定义下的复杂关系拆解为熟悉的数列运算与推理,逐步突破通项求解、集合运算、性质判断等子问题.规律总结

课时作业46

解:由函数f(n)的定义可得f(7)=f(6)+(-1)f(6),因为f(6)=f(3)=f(2)+(-1)f(2)=f(1)+(-1)f(1)=0,所以f(7)=1.由函数f(n)的定义可得f(10)=f(5),因为f(5)=f(4)+(-1)f(4)=f(2)+(-1)f(2)=0,所以f(10)=0.

4.(15分)(2026·安徽合肥一模)正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k,n为正整数.若正整数序列(λ1,λ2,…,λk)满足λ1+λ2+…+λk=n,且λ1≥λ2≥…≥λk≥1,1≤k≤n,则称(λ1,λ2,…,λk)为n的一个k部划分.记pk(n)为n的所有k部划分的个数.(1)计算:p3(6),p2(5);解:6的所有3部划分为(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2);5的所有2部划分为(4,1),(3,2).所以p3(6)=3,p2(5)=2.(2)求证:pk(n)=pk-1(n-1)+pk(n-k)(k≥2);解:证明:设(λ1,λ2,…,λk)是n的一个k部划分.分两种情形讨论.①若λk=1,则(λ1,λ2,…,λk-1)为n-1的一个k-1部划分.故满足λk=1的n的所有k部划分有pk-1(n-1)个.②若λk>1,则(λ1-1,λ2-