【备考2026】河北省中考仿真数学试卷2（含解析）

【备考2026】河北省中考仿真数学试卷2姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________题号一二三总分得分一．选择题（共16小题，满分38分）1．（3分）2023年2月28日，国家统计局发布了《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2018﹣2022年快递业务量及其增长速度”统计图．下列说法中不正确的是（）A．2022年全国快递业务量是1105.8亿件 B．2022年的快递业务量比2018年增加了598.7亿件 C．2022年的快递业务量比2021年增加了2.1% D．2020﹣2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020﹣2022年快递业务量逐年减少2．（3分）下列运算中正确的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．3a2•a4＝a6 C．（2a2）3＝6a5 D．a6÷a2＝a43．（3分）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC＝∠B′A′C′；③直线l垂直平分CC′；④直线l平分∠CAC′．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）如果x的QUOTE与3的差大于1，则x的取值范围是（）A．QUOTE B．x＞8 C．x＞5 D．x＞25．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF，D为BC的中点，点M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM与MD的长度之和的最小值为（）A．2.5 B．3 C．4 D．56．（3分）如图是一个截掉一部分的几何体，从正面看得到的平面图形是（）A． B． C． D．7．（2分）已知老李家距离鱼菜共生田地300米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象为（）A． B． C． D．8．（2分）若a，b是正整数，且满足QUOTE，则a与b的关系正确的是（）A．a+2＝9b B．2a＝9b C．a+2＝b9 D．2a＝9+b9．（2分）当前我国新冠疫情呈现多点散发态势，为避免外出增加感染风险，许多居民更愿意通过网购平台进行购物．某网购平台9月份的销售额比7月份增加了44%，那么该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为（）A．10% B．20% C．25% D．30%10．（2分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∴∠CAN＝2∠3，∵∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴∠CAN＝2∠2，∴①又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②）．∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA11．（2分）如图，正六边形ABCDEF和正方形BCGH，连接AH，HC，则∠AHC的度数为（）A．60° B．100° C．120° D．125°12．（2分）已知，长方形ABCD中，A（﹣4，0），B（0，0），C（0，2），则点D的坐标是（）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣4）13．（2分）化简（1QUOTE）•QUOTE的结果是（）A．1 B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE14．（2分）某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为120°时，扇面面积为S；该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若Sn＝mS，则m与n关系的图象大致是（）A． B． C． D．15．（2分）按规律填数．2800、2900、3000、（）A．4000 B．3010 C．310016．（2分）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例“和点”P（2，1）按上述规则连续平移4次后，到达点P（2，3），其平移过程如下：QUOTE．若“和点”Q按上述规则连续平移10次后，到达点Q10（﹣1，9），则点Q的坐标为（）A．（3，4）或（4，3） B．（4，3）或（4，4） C．（2，4）或（3，4） D．（2，4）或（4，4）二．填空题（共3小题，满分10分）17．（2分）数据15，20，20，22，33，30的众数是．18．（4分）某公司要设计一块面积为10m2的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须要知道这个正方形的边长，则这个正方形的边长为m，用计算器计算约为m．（结果精确到0.1m）19．（4分）如图，Rt△ABC的两条直角边AB＝4厘米，AC＝3厘米，点D沿AB从A向B运动，速度是1厘米/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2厘米/秒，动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE．（1）当动点运动秒时，以D、B、E为顶点的三角形与△ABC相似；（2）当动点运动秒时，CD⊥DE．三．解答题（共7小题，满分72分）20．（9分）画出数轴，并在数轴上表示下列各数的点，回答下列问题：﹣5，0，﹣1.5，﹣3，5，QUOTE，2．（1）上面哪两个数表示的点到原点的距离相等？（2）表示﹣3的点与表示2的点相差几个单位长度？21．（9分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．（1）若从7、13、29、31这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是；（2）从7、13、29、31这4个素数中随机抽取2个数，请你求抽到的两个素数之和是3的倍数的概率（要求画树状图或列表）．22．（9分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）23．（10分）小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：（1）请根据小明的思路完成下列填空：已知：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CDQUOTEAB．求证：△ABC为直角三角形．证明：由条件可知，AD＝BD＝CD，则∠A＝，∠B＝∠DCB．又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB＝，∴∠DCA+∠DCB＝∠ACB＝．则△ABC为直角三角形．（2）爱动脑筋的小明又想出了两种不同的证明思路：证法一：如图2，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE．证法二：如图3，分别取AC、BC边的中点E、F，连接DE、DF、EF，则DE、DF、EF为△ABC的中位线．请你选择其中一种，把证明过程补充完整．24．（10分）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：（1）根据图中信息，下列说法中正确的是（写出所有正确说法的序号）；①这20名学生上学途中用时都没有超过30min；②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半；③这20名学生放学途中用时最短为5min；④这20名学生放学途中用时的中位数为15min．（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数；（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．25．（12分）【定义】定义1：在平面直角坐标系中，过一点作某一直线的垂线，这个点与垂足之间的线段长，称为这个点到这条直线的垂直距离．定义2：在平面直角坐标系中，过一点作y轴的平行线，与某一直线交于一点，两点之间连线的长度称为这个点到直线的竖直距离．例如，如图1，过点A作AB⊥l1交l1于点B，线段AB的长度称为点A到l1的垂直距离，过A作AC平行于y轴交l1于点C，AC的长就是点A到l1的竖直距离．【探索】当l1与x轴平行时，AB＝AC，当l1与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离AB与点到直线的竖直距离AC存在一定的数量关系，当直线l1为QUOTE时，AB＝AC．【应用】如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高2m，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距OA＝2m，建立如图3所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线QUOTE，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，（1）b＝．（2）如图3，现决定在山上种另一棵树MN（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN，则PN的最大值是多少？【拓展】（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切，若此时QUOTE，如图，种植一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，MN最高应为多少？26．（13分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣2（b为常数）的对称轴为直线x＝1，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作AB⊥y轴于点B，作线段AB关于坐标原点O成中心对称的线段A'B'，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）当线段AB与线段A'B'在同一条直线上时，求线段AA'的长度；（3）当点A在y轴左侧时，若线段A'B'与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围；（4）作平行四边形ABA'B'，当平行四边形ABA'B'的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形ABA'B'面积的QUOTE，直接写出m的值．

参考答案一．选择题（共16小题，满分38分）1．【考点】折线统计图【分析】A．由条形图可知2022年快递业务量即可判断；B．列式算出2022年的快递业务量比2018年增加的数量即可判断；C．由统计图直接可判断；D.2020—2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020—2022年增长速度逐步减小可判断．解：由条形图可知2022年快递业务量1105.8亿件，故A选项正确；2022年的快递业务量比2018年增加了1105.8﹣507.1＝598.7（亿件），故B选项正确；由统计图可知2022年的快递业务量比2021年增加了2.1%，故C选项正确；2020—2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020—2022年增长速度逐步减小，但快递业务量逐年增加，故D选项错误；故选：D．【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．2．【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法【分析】利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．解：A、4a2﹣a2＝3a2，故A不符合题意；B、3a2•a4＝3a6，故B不符合题意；C、（2a2）3＝8a6，故C不符合题意；D、a6÷a2＝a4，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质【分析】由轴对称的性质可得△ABC≌△A′B′C′，然后根据全等三角形的性质及等腰三角形的判定即可解答．解：①关于某条直线对称的两个图形全等，所以△ABC≌△A′B′C′，即①正确，符合题意；②由△ABC≌△A′B′C′可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，即②正确，符合题意；③点C与点C′为对应点，对称轴垂直平分对应点的连线，即③正确，符合题意；④由△ABC≌△A′B′C′可得BC＝B′C′直线l垂直平分CC′，根据等腰三角形三线合一的性质可得直线l平分∠CAC′，即④正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查轴对称的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．4．【考点】解一元一次不等式【分析】首先表示出x的QUOTE是QUOTEx，再表示出与3的差QUOTEx﹣3，再由大于1可得QUOTEx﹣3＞1，再解不等式即可．解：由题意得：QUOTEx﹣3＞1，解得：x＞8，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．【考点】作图—基本作图；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；点与圆的位置关系【分析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可．解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面积为10，∴QUOTE10，解得AD＝5．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题是解答本题的关键．6．【考点】简单组合体的三视图【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解：从正面看到的平面图形如下：故选：B．【点评】本题考查了三视图，正确记忆三视图的判断方向是解题关键．7．【考点】反比例函数的应用【分析】依据题意，根据骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度v与骑车时间t的积等于总路程，进而可以判断得解．解：由题意得，vt＝300，∴vQUOTE．∴v关于t的函数是反比例函数．又当t＝2时，v＝150，∴符合题意的图象是D．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．8．【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；有理数的乘方【分析】根据已知等式可得9×3a＝39b，则3a+2＝39b，由此即可得．解：由条件可知9×3a＝39b，∴32×3a＝39b，∴3a+2＝39b，∴a+2＝9b，故选：A．【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．9．【考点】一元二次方程的应用【分析】设7月份销售额为a，则9月份销售额为1.44a，设该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可求解．解：设7月份销售额为a，则9月份销售额为1.44a，设该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为x，根据题意得，a（1+x）2＝a（1+44%），解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），即设该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为20%，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．10．【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的性质【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠3，则∠CAN＝∠ABC+∠3＝2∠3，而∠CAN＝∠1+∠2＝2∠2，所以∠2＝∠3，而MA＝MC，∠4＝∠5，即可根据“ASA”证明△MAD≌△MCB，得MD＝MB，所以四边形ABCD是平行四边形．可知①，②应分别为∠2＝∠3，ASA，于是得到问题的答案．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∴∠CAN＝2∠3，∵∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴∠CAN＝2∠2，∴∠2＝∠3，在△MAD和△MCB中，QUOTE，∴△MAD≌△MCB（ASA），∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．∴①，②应分别为∠2＝∠3，ASA，故选：D．【点评】等题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△MAD≌△MCB是解题的关键．11．【考点】多边形内角与外角；正多边形和圆【分析】根据正多边形的每个内角相等，每条边相等求出正六边形和正方形的每个内角，即可求出∠ABH的度数，AB＝BH，再根据三角形内角和定理即可求出∠BHA的度数，从而求出∠AHC的度数．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC，∠ABCQUOTE120°，∵四边形BCGH是正方形，∴BH＝BC，∠CBH＝90°，∠BHC＝45°，∴AB＝BH，∠ABH＝∠ABC﹣∠CBH＝120°﹣90°＝30°，∴∠BAH＝∠BHAQUOTE，∴∠AHC＝∠BHA+∠BHC＝75°+45°＝120°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正多边形的性质，多边形内角和定理，求出∠BHA的度数是解题的关键．12．【考点】矩形的性质；坐标与图形性质【分析】依题意画出图形，根据点A，B，C的坐标及长方形的性质即可得出点D的坐标．解：如图所示：∵点A（﹣4，0），点C（0，2），∴AB＝4，BC＝2，∵四边形ABCD是长方形，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，DC⊥y轴，DA⊥x轴，∴点D的坐标为（﹣4，2），故选：C．【点评】此题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟练掌握点的坐标，矩形的性质是解决问题的关键．13．【考点】分式的混合运算【分析】先把括号内通分，再进行减法运算，然后约分即可．解：原式QUOTE•QUOTEQUOTE•QUOTE＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．14．【考点】扇形面积的计算；函数的图象【分析】令扇形所在圆的半径为a，再根据扇形的面积公式用a表示出S，再用n和S表示出Sn，据此得出m与n之间的关系即可解决问题．解：设扇形所在圆的半径为a，那么SQUOTE．∵QUOTE，且Sn＝mS，∴mQUOTE，∴m是n的正比例函数．故选：C．【点评】本题主题考查了扇形面积的计算及函数的图象，熟知扇形的面积公式是解题的关键．15．【考点】规律型：数字的变化类【分析】不难看出，相邻的两个数相差100，从而可求解．解：∵2900﹣2800＝100，3000﹣2900＝100，∴所求的数为：3000+100＝3100．故选：C．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚相邻的两个存在的规律．16．【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移【分析】先分别计算余0，1，2的平移，找到规律，再计算求解．解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；若“和点”Q按上述规则连续平移10次后，到达点Q10（﹣1，9），则按照“和点”Q10反向运动10次即可，可以分为两种情况：①Q10先向右1个单位得到Q9（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q9向右平移1个单位得到Q10，故矛盾，不成立；②Q10先向下1个单位得到Q9（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q10，故符合题意，∴点Q10先向下平移，再向右平移，当平移到第9次时，共计向下平移了5次，向右平移了4次，此时坐标为（﹣1+4，9﹣5），即（3，4），∴最后一次若向右平移则为（4，4），若向左平移则为（2，4），故选：D．【点评】本题考查了坐标系内点的平移运动，读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解决本题的关键．二．填空题（共3小题，满分10分）17．【考点】众数【分析】根据众数的定义求解可得．解：∵该组数据中20出现次数最多，有2次，∴这组数据的众数为20．故答案为：20．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．18．【考点】估算无理数的大小【分析】根据算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法进行计算即可．解：面积为10m2的正方形的边长为QUOTEm，QUOTE3.2．故答案为：QUOTE，3.2．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．19．【考点】相似三角形的判定与性质【分析】设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤tQUOTE）；（1）分类：当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值；（2）先计算出DF＝AB﹣AD﹣BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t．解：设D点运动时间为t秒，则AD＝t秒，BD＝（4﹣t）秒，BE＝2t秒，CE＝（5﹣2t）秒（0≤tQUOTE），（1）当∠BDE＝∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴BD：BA＝BE：BC，即（4﹣t）：4＝2t：5，∴tQUOTE；当∠BDE＝∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，∴BD：BC＝BE：BA，即（4﹣t）：5＝2t：4，∴tQUOTE；所以当动点运动QUOTE秒或QUOTE秒时，△BDE与△ABC相似；故答案为：QUOTE或QUOTE；（2）当CD⊥DE时，tQUOTE秒．理由如下：如图，过点E作EF⊥AB于F，DF＝AB﹣AD﹣BF＝4﹣tQUOTE4QUOTEt，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠∠ADC+∠EDF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵∠CAD＝∠DFE，∴Rt△ACD∽Rt△FDE，∴AC：DF＝AD：EF，即3：（4QUOTEt）＝t：QUOTE，∴tQUOTE（秒），故答案为：QUOTE．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．三．解答题（共7小题，满分72分）20．【考点】数轴【分析】（1）画出数轴，根据“互为相反数的两个数表示的点到原点的距离相等”作答即可；（2）根据“数轴上两点之间的距离用这两点对应的数的差的绝对值来表示”计算即可．解：（1）∵﹣5和5互为相反数，∴﹣5和5表示的点到原点的距离相等．（2）|﹣3﹣2|＝5，∴表示﹣3的点与表示2的点相差5个单位长度．【点评】本题考查数轴，掌握数轴上数的特征是解题的关键．21．【考点】列表法与树状图法；整式的加减；概率公式【分析】（1）直接根据等可能事件的概率公式求解即可；（2）用列表法或画树状图列举出所有等可能的结果数，从中找出两个素数之和是3的倍数的结果数，再利用等可能事件的概率公式求解即可．解：（1）∵从7、13、29、31这4个素数中随机抽取一个，有4种可能，抽到的数是13只有1种可能，∴P（抽到的数是13）QUOTE，故答案为：QUOTE；（2）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中和是3的倍数有6种，∴P（两个素数之和是3的倍数）QUOTE．【点评】本题考查等可能事件概率的求法，掌握列表法和树状图法列举出所有可能的结果的方法是解题的关键．22．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正切的定义求解；（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形BDFE为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），在Rt△AEF中，sin∠AEFQUOTE，即sinαQUOTE．答：仰角α的正弦值为QUOTE；（2）在Rt△AEF中，EFQUOTE30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6m，∵tan∠ACDQUOTE，∴CDQUOTE21.22（m），∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．答：B，C两点之间的距离约为51m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．【考点】四边形综合题【分析】（1）依据直角三角形的证明方法补充完整；（2）证法一中，先根据对角线互相平分证明四边形ACBE是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形ACBE是矩形，得到∠ACB＝90°；证法二中，先根据两组对边分别平行证明四边形CFDE是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形CFDE是矩形，得到∠ACB＝90°．解：（1）证明：AD＝BD＝CD，则∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB．又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB＝180°，∴∠DCA+∠DCB＝∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形．故答案为：∠DCA，180°，90°；（2）解：证法一：如图2，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE、BE；∵D是AB的中点，∴AD＝DB，∴四边形ACBE是平行四边形：又QUOTE，QUOTE，∴AB＝CE，∴四边形ACBE是矩形．∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．证法二：如题图3，∵DE，DF，EF为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，QUOTE，∴四边形CFDE是平行四边形，∵QUOTE，∴EF＝CD，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ECF＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．【点评】本题考查了矩形的判定、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，掌握基本概念的运用是解题的关键．24．【考点】中位数；待定系数法求一次函数解析式【分析】（1）根据图中信息，逐项分析即可求解；（2）根据图中信息，可得上学途中用时超过25min的学生有1人，用总人数×抽取的学生中上学用时超过25min学生所占比例；即可求解；（3）先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式．解：（1）根据在坐标系中点的位置，可知：这20名学生上学途中用时最长的时间为30min，故①说法正确；这20名学生上学途中用时在20min以内的人数为：17人，超过一半，故②说法正确；这20名学生放学途中用时最段的时间为5min，故③说法正确；这20名学生放学途中用时的中位数是用时第10和第11的两名学生用时的平均数，在图中，用时第10和第11的两名学生的用时均小于15min，故这20名学生放学途中用时的中位数为也小于15min，即④说法错误；故答案为：①②③．（2）根据图中信息可知，上学途中用时超过25min的学生有1人，故该校八年级学生上学途中用时超过25min的人数为400QUOTE20（人）．（3）如图：设直线的解析式为：y＝kx+b，根据图象可得，直线经过点（10，10），（7，7），将（10，10），（7，7）代入y＝kx+b，得：QUOTE，解得：QUOTE，故直线的解析式为：y＝x；则这条直线可近似反映学生上学途中用时和放学途中用时一样．【点评】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．【考点】圆的综合题【分析】【探索】先求得P（0，1），Q（﹣2，0），再运用勾股定理求得PQQUOTE，证得△ABC∽△QOP，利用相似三角形性质即可求得答案；【应用】（1）延长BA交x轴于点H，则∠AHO＝90°，利用解直角三角形可得B（QUOTE，3），把B（QUOTE，3）代入yQUOTEx2+bx，即可求得答案；（2）利用待定系数法可得直线OC的解析式yQUOTEx，设M（t，QUOTEt），则N（t，QUOTEt2QUOTEt），可得MNQUOTEt2QUOTEtQUOTEtQUOTEt2QUOTEt，进而可得PN＝MN•sin∠NMPQUOTE（tQUOTE）2QUOTE，运用二次函数的性质即可得出答案；【拓展】取OC的中点G，作GH⊥OC交x轴于点H，延长HG交圆弧于点N，过点N作MN∥y轴交OC于点M，此时MN最大，运用垂径定理可得OGQUOTEOC＝3QUOTEm，再利用解直角三角形即可求得答案．解：【探索】∵直线l1为yQUOTEx+1，如图，设直线l1与x、y轴分别交于Q、P点，令x＝0，得y＝1，∴P（0，1），即OP＝1，令y＝0，得QUOTEx+1＝0，解得：x＝﹣2，∴Q（﹣2，0），即OQ＝2，∴PQQUOTE，∵AC∥y轴，∴∠1＝∠ACB，∵∠1＝∠QPO，∴∠ACB＝∠QPO，∵∠ABC＝∠QOP＝90°，∴△ABC∽△QOP，∴QUOTE，∴ABQUOTEAC，故答案为：QUOTE．【应用】（1）如图，延长BA交x轴于点H，则∠AHO＝90°，∵∠AOH＝30°，OA＝2m，∴AHQUOTEOA＝1m，OH＝OA•cos∠AOH＝2cos30°＝2QUOTE，∵AB＝2m，∴BH＝AB+AH＝2+1＝3（m），∴B（QUOTE，3），把B（QUOTE，3）代入yQUOTEx2+bx，得：QUOTEb＝3，解得：bQUOTE，故答案为：QUOTE．（2）由（1）知，A（QUOTE，1），设直线OC的解析式为y＝kx，则QUOTEk＝1，解得：kQUOTE，∴yQUOTEx，如图，设M（t，QUOTEt），则N（t，QUOTEt2QUOTEt），∴MNQUOTEt2QUOTEtQUOTEtQUOTEt2QUOTEt，∵∠1＝30°，∴∠2＝60°，∵MN∥y轴，∴∠NMP＝∠2＝60°，∵NP⊥OC，∴∠NPM＝90°，∴PN＝MN•sin∠NMP＝（QUOTEt2QUOTEt）sin60°＝（QUOTEt2Q