泰勒公式及函数逼近_第1页
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文档简介

泰勒公式展开格式：Series[expr,{x,x0,n}]（表示在x0点展开，阶数为n），而求函数泰勒多项式格式为：Normal[Series[expr,{x,x0,n}]]。注意：对泰勒多项式作图时可使用“Evaluate”命令把它转化为可运算。试验三泰勒公式与函数迫近第1页一个函数若在点邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式

当很小时，有

其中，

第2页称为在点处n阶泰勒多项式；为余项。下面我们利用Mathematica计算函数各阶泰勒多项式，并经过绘制曲线图形，来深入掌握泰勒展开与函数迫近思想。

例1（泰勒公式误差）利用泰勒多项式近似计算。若，要求误差。

第3页解：我们依据拉格朗日余项

可得，欲使，只要取即可。下面Mathematica语句利用函数5阶泰勒多项式来近似计算值，并判断误差：第4页输出结果为：第5页输出结果每一行最终一项表示误差，从结果中能够看出，当，其误差

第6页例2（观察阶数n对误差影响）利用函数n阶多项式计算e值，并求误差。（n=5,6,7,8,9,10）解：为此，我们输入Mathematica语言以下：

第7页输出结果为：从结果中可知，阶数越高，误差越小。第8页例3（依据图形观察泰勒展开误差）观察各阶泰勒展开图形。解：（1）固定，观察阶数影响。因为在处偶数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数及它阶泰勒多项式图形。故输入命令以下：第9页上述语句中函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是表示把函数添加到表t中。运行后得到图3-1。

图3-1

第10页为了使图形比较愈加生动，下面我们作出和它某一阶泰勒多项式同一坐标系下比较图，而且在图中红色曲线表示函数图形，蓝色曲线表示泰勒多项式图形。命令以下：第11页运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中能够观察到泰勒多项式与函数图形重合与分离情况，显然在范围内，第五幅图中两个函数图形已经基本上吻合了，也就是说，9次多项式与函数几乎无差异。第12页图3－2第13页（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数迫近情况。显然，我们只要把上一个程序中绘图命令中范围由分别改到，并对应增加阶数。故输入如下命令：第14页运行上面程序，绘出了从7阶直至17阶泰勒多项式与比较图（图3-3），观察图表可得，在区间范围内，17次多项式与函数吻合得很好了。

第15页图3－3第16页（3）固定，观察对函数迫近影响。在下面语句中，为了方便调用泰勒多项式，首先定义了泰勒展开函数tt，然后用不一样颜色在同一坐标系中画出了及分别在处6阶泰勒多项式图形：第17页输出结果如图3-4所表示。图3－4第18页从本试验我们能够得到一些

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