2026年全国统一高考数学真题(高考Ⅱ卷)附答案解析

2026年全国统一高考数学真题（高考Ⅱ卷）附答案解析注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1-3i)²=（）A.-8+6iB.-8-6iC.8+6iD.8-6i2.已知向量a,b满足|a+b|=1,|a-b|=√3，则a·b=（）A.1/2B.1/4C.-1/2D.-1/43.已知集合A={0,1,3,6,9},B={x|√x=x}，则A∩B=（）A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9}D.{0,3,9}4.双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)过点(1,0)和(√5/2,3)，则其渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±4√3xC.y=±√3/2xD.y=±√2/6x5.棱台上下底面均为有一个内角是60°的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为√3，则该棱台体积为（）A.19/12B.19/6C.19/4D.19/26.甲、乙、丙、丁等8人分成A,B两技术小组，要求每组4人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案（）A.10B.12C.16D.247.已知α为第二象限角，且3sin2αcosα=8sinαcos2α，则(1+sinα)/(2-cosα)=（）A.3/4B.3/2C.1/2D.15/88.已知f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)+f(x-2)=0，当x∈[3/2,3]时，f(x)=x²+ax+b，则（）A.a=-2,b=-3B.a=-2,b=3C.a=-4,b=-3D.a=-4,b=3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知⊙O:x²+y²=1,⊙A:x²+y²-6x-8y+k=0，则（）A.点A的坐标为(-3,-4)B.k=9时，⊙A与x轴相切C.当k=-11时，⊙A与⊙O相切D.当⊙O与⊙A相交时，两交点所在直线的方程是6x+8y-k-2=010.等比数列{aₙ}的公比q≠1,a₁>0,2a₃=a₂+a₁,记前n项和为Sₙ,则（）A.q=-1/2B.Sₙ>2a₁/3C.2Sₙ₊₂=Sₙ₊₁+SₙD.Σₖ₌₁ⁿSₖ>2na₁/311.已知抛物线E:y²=8x,斜率k(k>0)的直线l过点(1,0),△ABC为等边三角形,A在y轴上,B,C在l上,则（）A.抛物线准线方程为x=-2B.l与y轴交点为(0,-k)C.若l与E相交于唯一点B,则抛物线焦点在直线AB上D.k=2时,△ABC面积最小值为√3/2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.Sₙ为等差数列{aₙ}前n项和.若a₁=-1,a₄=5,则S₆=______.13.若函数f(x)=2ˣ+2⁻ˣ-m有两个零点,则m的取值范围是______.14.球O的体积为4√3π,A,B,C,D四点均在球O的球面上,△ABC为等边三角形,DA=DB=DC=√2,则△ABC的面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图：（1）求第一四分位数和中位数；（2）p̂为首次故障时间小于365天的概率估计值。（i）求p̂；（ii）工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障小于365天的件数，则X～B(100,p̂)，求E(X),D(X)。16.（15分）三棱锥A-BCD中，E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD。（1）证明：CD⊥AB；（2）若DE=2,BE=1,AE=√2,CD=2√3，求AD与平面ABC所成角的正弦值。17.（15分）在△ABC中，已知cosB=3/4，cos²(A+C)+sinAsinC=1。（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC面积为√7/4，求△ABC周长。18.（17分）椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>1)，过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线段长为√2。（1）求E的离心率；（2）O为坐标原点，给定点G(t₀,0)(t₀≠0)；A(x₀,y₀)(y₀≠0)在E上，过点A作y轴的垂线，交于点B，AO与GB交于点P。当A在E上运动时，P的轨迹为M。（i）求M的方程；（ii）M是否有中心点？当t₀为何值时，M有中心点？当M有中心点时，平移M到M'，使O为M'的中心点，说明M'为何形状？19.（17分）已知函数f(x)=xeˣ+ax+b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+1。（1）求a,b；（2）当x>0时，f(x+m)-f(x)>m，求m的取值范围；（3）当x>0时，f(x+k)+f(k-x)>2f(k)，求k的最小值。一、单项选择题（每题5分，共40分）1.B

解析：利用复数的乘法及完全平方公式展开：

(1−3iC

解析：将已知条件的两边分别平方得：

|a→+b→|A

解析：首先解集合B中的方程x=x（需满足x≥0）：

x=x2⇒x(x−1)=0⇒x=0或x=1C

解析：将点(1,0)代入双曲线方程得：

1a2−0=1⇒a2=1⇒a=1

将点(52,D

解析：上底面面积S1=32×22=23，下底面面积S2=C

解析：由于A、B两组是有标号的，我们首先考虑将除甲乙丙丁外的其余4人进行分配。甲、乙必须在同组，丙、丁不能在同组，因此共有两类可能：

第一类：甲、乙都在A组。此时A组还需要2人，B组需要4人。因为丙、丁不能同组，所以丙、丁中必须有一个分在A组，另一个分在B组：若丙在A组，丁在B组：A组已有{甲，乙，丙}，还需从剩下的4人中选1人，有C4若丁在A组，丙在B组：同理有C41=4种。

共计4+4=8种。

第二类：甲、乙都在B组。同理对称地有8种方案。

C

解析：利用倍角公式展开sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α，代入原式：

3(2sin⁡αcos⁡α)cos⁡α=8sin⁡αcos⁡2α⇒6sin⁡αcos2⁡α=8sin⁡αcos⁡2α

因为D

解析：由f(x)+f(x−2)=0⇒f(x)=−f(x−2)⇒f(x−2)=−f(x−4)，联立可得：

f(x)=f(x−4)

所以f(x)是以4为周期的周期函数。因为f(x)是偶函数，所以有f(x−2)=f(2−x)。由f(x−2)+f(x)=0得：

f(2−x)=−f(x)=f(2+x)

说明f(x)关于直线x=2对称。在定义区间x∈[32,3]内，f(x)=x2+ax+b是二次函数，其对称轴必为x=2。根据二次函数对称轴公式得：

−a2=2⇒a=−4

另外，由于偶函数且周期为4：

f(3)=f(3−4)=f(−1)=f(1)

根据f(1)+f(1−2)=f(1)+f(−1)=2f(1)=0⇒f(3)=f(1)=0。代入x=3二、多项选择题（每题6分，共18分）BC

解析：将圆A的方程标准化：

(x−3A选项：圆心A的坐标为(3,4)，A错误；B选项：当⊙A与x轴相切时，半径RAC选项：当k=−11时，RA2=36⇒RA=6，圆O的半径D选项：两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程直接相减：

(x2AD

解析：A选项：由2a3=a2+a1⇒2a1B选项：求出前n项和的表达式：

Sn=a1C选项：代入验证递推式不成立，C错误；D选项：对前n项和求和：

k=1nSk=2a13k=1n[1−(−12AB

解析：A选项：y2=2px⇒2p=8⇒p=4，准线方程为B选项：直线l过点(1,0)且斜率为k，方程为y=k(x−1)=kx−k，与y轴的交点（令x=0）为(0,−k)，B正确；C选项：直线过点(1,0)，该点在抛物线内部，过内部点的直线不可能与抛物线相切，C错误；D选项：当k=2时，BC为定长弦，无法取得面积最小值32三、填空题（每题5分，共15分）24

解析：根据等差数列通项公式：

a4=a1(2,+∞)

解析：令f(x)=0⇒2x+2−x=m。设t=2x>0，方程变形为t+1t=m。根据均值不等式，当t>0时，534

解析：首先由球的体积求得外接球半径R：

VO=43πR3=43π⇒R=3

由于DA=DB=DC=2且△ABC为等边三角形，四面体D−ABC是正三棱锥。设等边三角形ABC四、解答题（共77分）(1)第一四分位数：367.5天；中位数：379天

(2)(a)p^=0.20；(b)E(X)=20，D(X)=16

解析：

(1)根据频率分布直方图，组距为10，各区间的频率计算如下：

[345,355)的频率为0.005×10=0.05；

[355,365)的频率为0.015×10=0.15；

[365,375)的频率为0.02×10=0.20；

[375,385)设第一四分位数为Q1。因为前两组的累积频率为0.05+0.15=0.20<0.25，而前三组累积频率为0.20+0.20=0.40>0.25，所以第一四分位数位于区间[365,375)内。根据比例关系：

设中位数为M。前三组的累积频率为0.40<0.50，前四组的累积频率为0.40+0.25=0.65>0.50，所以中位数位于区间[375,385)内。根据比例关系：

M=375+(2)(a)首次故障时间小于365天即落在区间[345,365)内，根据频率估计概率，得：

p(b)已知X∼B(100,0.20)，根据二项分布的期望与方差公式：

E(X)=np^16.解析(1)证明CD⊥AB因为AE⊥CE且AE⊥DE，而CE∩DE=E，且CE,DE⊂平面BCD，根据线面垂直的判定定理，可得：

AE⊥平面BCD

又因为CD⊂平面BCD，所以：

CD⊥AE

已知CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE,AD⊂平面ADE，再次根据线面垂直的判定定理，可得：

CD⊥平面ADE

由于点E在直线BD上，因此直线AB⊂平面(2)求AD与平面ABC所成角的正弦值因为AE⊥平面BCD，且E,B,D三点共线，以E为坐标原点，直线BD为x轴，过点E在平面BCD内垂直于BD的直线为y轴，直线EA为z轴建立空间直角坐标系。根据已知条件确定各点坐标：E(0,0,0)由(1)知CD⊥平面ADE（即xz平面），所以直线CD∥y轴，点C的横坐标与点D相同。又CD=23，设C(2,2计算相关向量：AD设平面ABC的法向量为n→取z=2，解得x=−22，y=6，因此平面ABC的一个法向量为：计算法向量的模长：

|设AD与平面ABC所成的角为θ，则：sin所以,AD与平面ABC所成角的正弦值为6最终答案(1)证明成立，CD⊥AB；

(2)AD与平面ABC所成角的正弦值为63第17题解析(1)证明△ABC在任意三角形中，内角和满足A+B+C=π，因此A+C=π−B，则：

cos⁡(A+C)=−cos⁡B=−34

将其代入已知等式cos2⁡(A+C)+sin⁡A根据余弦的和角公式，cos⁡B=−cos⁡(A+C)=sin⁡Asin⁡C−cos⁡Acos⁡C由于三角形内角范围为(0,π)，余弦值为负说明对应的角为钝角。因此A和C中必有一个角是钝角，故△ABC(2)求△ABC步骤1：求sin⁡B的值已知cos⁡B=34且B∈(0,π)步骤2：利用面积公式求ac三角形面积公式为S=12acsin⁡B，代入已知面积S=74和sin步骤3：利用正弦定理求边长b根据正弦定理，asinA=bsinB=csinC=2R（R为△ABC外接圆半径），因此：

sin⁡A=a2R,sin⁡C=c2R步骤4：利用余弦定理求a+c根据余弦定理b2=a2+c2−2accos⁡B，代入b2=2、对(a+c)2展开：

(a+c)2步骤5：计算周长△ABC的周长为：

最终答案(1)证明成立，△ABC为钝角三角形；

(2)△ABC的周长为第18题解析(1)求椭圆E的离心率因为椭圆E的方程中b2=1，所以半焦距c=a2−1，右焦点为F(c,0)。

过F垂直于x轴的直线为x=c，其与椭圆交点的纵坐标满足：

c2a2+y2=1⟹(2)求轨迹M的方程及几何性质(a)求M的方程由(1)知椭圆E的标准方程为x22+y2=1，即x2直线AO的方程：y=y0直线GB的方程（过G(t0,0)和B(0,y设交点P(x,y)，由AO的方程得x0=y0xy，代入GB的方程：因为A(x0,y0)在椭圆上，满足x02+2(b)分析M的中心点及平移后形状对M的方程进行配方：

(中心点存在性分析：当t02−2=0当t0≠±2平移后M′的形状分析：

当t0≠±2时，将M平移至中心点在原点，得到若t02−2>0即|t0|>2：X若t02−2<0即0<|t0|<2：X2项系数为负，最终答案椭圆E的离心率为22；

(2)(a)轨迹M的方程为(t02−2)x2+4t0x+2t第19题解析(1)求参数a和b的值根据函数在x=0处的切线方程性质：切线过点(0,f(0))，因此f(0)=b=1。切线斜率等于函数在该点的导数值。先求导函数：

f′(x)=(x