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文档简介

直角坐标系下平面图形面积的计算一、平面图形的面积图1

如图1所示图形的面积可以视作分别以曲边梯形面积的差。因此为曲边的两个图2且

类似地可以得到，由连续曲线

与直线所围成的平面图形（如图2）的面积为例1xy解

所围成的图形如图所示：平面图形的面积。例2的面积。所围成的图形解

所围成的图形如图所示:

则先解联立方程组

线的交点坐标为

得两抛物则图形的面积为解先求两曲线的交点。例3注意：此题选取纵坐标为积分变量，而没有选取横坐标为积分变量，请思考这时为什么？若选取横坐标为积分变量能否得到这个问题的结果？二、定积分的元素法

在定积分的应用中，经常采用“元素法”。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分的概念时曾经举的两个例子：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程。这两个问题最终都归结为定积分的计算，且它们都满足下述三个条件：(2)量

对于区间

具有可加性；

的近似值可表示为

(3)部分量

有关的量；

(1)所求的量

是与一个变量

的变化区间

一般地，如果一个量满足上述三个条件，我们就可以考虑用定积分来表示这个量。确定量的积分表达式的步骤是：

（1）根据问题的具体情况，选取积分变量并确定其变化区间。

（2）在区间上任取一小区间，求出相应于此区间的所求量的部分量的近似值：

（3）计算所求量

称为所求量的元素（或微元）。下面我们利用这一方法来求旋转体的体积。

这个方法就称为定积分的元素法（或微元法）。圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积

旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．xyo旋转体的体积公式推导

如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。

求椭圆分别绕轴与轴旋转而成的旋转体的体积。

例4

解（1）绕轴旋转而成的旋转体的体积为：（2）绕轴旋转而成的旋转体的体积为：特别地，当时，得半径为的球体积

计算由两条抛物线，所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积。

例5解先解联立方程组

得两抛物线的交点坐标为

设由曲线，直线所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为；由曲线

转而成的旋转体的体积为

则所求旋转体的体积为：

直线所围成的

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