2027届高考数学一轮总复习5.1平面向量的概念及其线性运算（课件）

考

情

清

单考点真题示例考向6年考频核心素养平面向量的概念及线性运算2022新高考Ⅰ，3向量的线性运算1考数学运算平面向量的夹角、模与数量积问题2025全国二卷，12向量的坐标运算8考数学运算逻辑推理2023新课标Ⅰ，32024新课标Ⅰ，32022新高考Ⅱ，4向量的夹角2023新课标Ⅱ，13向量的模2024新课标Ⅱ，32021新高考Ⅱ，15向量的数量积2021新高考Ⅰ，10考点真题示例考向6年考频核心素养平面向量的应用2025全国一卷，6向量在几何中的应用1考数学建模数学运算复数的概念、复数的四则运算2025全国一卷，1复数的概念9考数学运算2023新课标Ⅱ，12021新高考Ⅱ，12024新课标Ⅱ，12025全国二卷，2复数的运算2024新课标Ⅰ，22023新课标Ⅰ，22022新高考Ⅰ，22022新高考Ⅱ，22021新高考Ⅰ，2【命题形式】高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积、向量的夹角、向量的模、向量的应用．试题以中低档题为主，多以选择题或填空题的形式出现．备考时，要注意基础概念的灵活运用，提高平面向量基本公式的运用能力．高考对复数的考查主要集中在：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义；③复数的四则运算．备考时，要掌握基础知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一向量的有关概念1．向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或称______)．2．零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量记作______.3．单位向量：长度等于______个单位的向量．大小方向长度模长度为0任意014．平行向量：方向相同或________的________向量；平行向量又叫________向量．规定：0与任一向量________.5．相等向量：长度________且方向________的向量．6．相反向量：长度________且方向________的向量．相反非零共线平行相等相同相等相反知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算________法则____________法则(1)交换律：a＋b＝__________；(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法向量a加上向量b的____________叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b________法则a－b＝a＋(－b)相反向量三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘实数λ与向量a的积是一个_______记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向________；当λ<0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0设λ，μ是实数．(1)_______＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝_______；(3)λ(a＋b)＝_______向量相同相反λ(μa)λa＋μaλa＋λb知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__________.b＝λa归

纳

拓

展4．已知向量e1，e2，是两个不共线的向量，若有xe1＋ye2＝0(x，y为实数)，则x＝y＝0.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(

)(2)单位向量都相等．(

)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√题组二走进教材3．(必修2P22T4改编)化简：题组三走向考场5．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．下图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(

)级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6～3.33微风3.4～5.44和风5.5～7.95劲风8.0～10.7A．轻风 B．微风C．和风 D．劲风[答案]

A考点突破·互动探究向量的基本概念——自主练透1．(多选题)下列关于向量的说法正确的是(

)A．若|a|＝0，则a＝0C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb[答案]

ACA．a＝－2b B．a2＝b2C．a＝2b D．|a|＝|b|[答案]

C名师点拨：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．向量的线性运算——多维探究角度1向量加、减法的几何意义若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b的夹角是________.(用弧度表示)角度2向量的线性运算[答案]

D角度3根据向量线性运算求参数[答案]

B名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式训练】1．(角度1)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(

)A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|[答案]

AA．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n[答案]

B[答案]

A共线向量定理及其应用——师生共研(2026·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(

)[答案]

D名师点拨：平面向量共线的判定方法1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练】A．3 B．－3C．－2 D．2[答案]

D名师讲坛·素养提升易错警示——都是零向量“惹的祸”下列命题正确的是(

)A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaC．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[答案]

D名师点拨：在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．【变式训练】下列叙述正确的是(

)A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b[答案]

D提能训练练案[30]A组基础巩固一、单选题1．(2026·云南临沧模拟)关于非零向量a，b，下列说法正确的是(

)A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a，b不是共线向量[答案]

C[解析]

向量不能比较大小，故A错误；向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错误；若a＝b，由向量相等的条件可得a∥b，故C正确；不相等的向量也可能是共线向量，故D错误．故选C.A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形[答案]

B[答案]

A4．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为(

)A．2e1－3e2B．3e1－2e2C．2e1＋3e2D．3e1＋2e2[答案]

D[解析]

由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.故选D.5．(2026·云南模拟预测)在平行四边形ABCD中，点E是CD边上的四等分点(靠近点D)，则(

)[答案]

AA．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线[答案]

AA．4 B．5C．－4 D．－5[答案]

D[答案]

D二、多选题9．(2025·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(

)A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等[答案]

BC[解析]

对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误．故选BC.10．(2025·福建厦门开学考试)下列命题正确的是(

)A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0D．若a＝b