【多元函数连续、可导、可微之间的关系探讨2400字】

VII多元函数连续、可导、可微之间的关系探讨对于多元函数连续、可导与可微之间的关系，下面以二元函数为例进行探讨.由定义3可知，如果二元函数在点处连续，则函数在点处全增量的极限等于0.由定义7和定义8可知，如果二元函数在点处可导，则函数在点处对(或对)的偏增量比值(或对)的极限存在，且极限值为函数在点处对(或对)的偏导数.由定义12可知，如果二元函数在点处可微，则函数在点处的全增量可表示为自变量增量的线性组合，且全增量的线性主部为函数在点处的微分.在上述分析基础上，下面探讨二元函数连续、可导、可微之间的关系.1.1连续与可导之间的关系首先探讨二元函数连续与可导之间的关系，用如下例子分析说明二元函数连续与一阶偏导存在之间的关系.例2二元函数在点处连续但对的偏导数都不存在.解因为，所以函数在点处连续.又因为，极限都不存在，所以函数在点处对的偏导数都不存在.即二元函数在点处连续但对的偏导数都不存在.例3二元函数在点处对的偏导数都存在，但函数在该点处不连续.解因为，.所以函数在点处对的偏导数都存在.又因为，极限值随变化，所以极限不存在，即函数在点处不连续.故二元函数在点处对的偏导数都存在，但函数在该点处不连续.由例2可知，函数在某一点处连续，但函数在该点处一阶偏导数不一定存在，由例3可知，函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定连续.综上所述，对二元函数，二元函数在某一点处连续，但函数在该点处一阶偏导数不一定存在；函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定连续.1.2可导与可微之间的关系下面探讨二元函数可导与可微之间的关系，用如下定理和例子分析说明二元函数一阶偏导数存在、一阶偏导数连续与可微之间的关系.定理3如果二元函数在点处可微，则函数在点处对的偏导数都存在，且（3）式中的.证由于函数在点处可微，则，令上式，则，即，故函数在点处对的偏导数都存在，且.由定理3可知，如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一阶偏导数一定存在.但是函数在该点处一阶偏导数存在只是函数在某一点处可微的必要条件而不是充分条件，即函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数不一定在该点处可微.例4二元函数在点处对的偏导数存在，但函数在点处不可微.解因为，，即函数在点处对的偏导数都存在.因为，所以函数在点处不可微.即二元函数在点处对的偏导数存在，但函数在点处不可微.由例4可知，二元函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定可微.对二元函数，虽然二元函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定可微，不过如果二元函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微.定理4如果二元函数在点处对的偏导数存在，并且对的偏导数在点处连续，则函数在点处可微.证把全增量写作，根据拉格朗日中值定理，可得，（6）.由于与在点处连续，因此有，（7），（8）其中当时，.将（7）（8）式代入（6）中得，由（4）式可得，函数在点处可微.由定理4可知，对二元函数，如果函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微.但二元函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续并不是函数在该点处可微的必要条件，即若函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数存在，但一阶偏导数不一定连续.例5函数在点处可微，而在点处一阶偏导数都存在，但一阶偏导数在点处不连续.解因为，所以函数在点处可微且.当时，.当时，.因为，上式利用极坐标代换得，极限值随变化，所以极限不存在，即当时，对的偏导数的极限不存在，即对的偏导数在点处不连续.由对称性可得，对的偏导数在点处不连续.即二元函数在点处可微，且在点处对的偏导数都存在，但对的偏导数在点处不连续.由例5可知，如果函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数一定存在，但一阶偏导数不一定连续.综上所述，如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一阶偏导数一定存在；二元函数在某一点处一阶偏导存在，但函数在该点处不一定可微；如果函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微；如果函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数一定存在，但一阶偏导数不一定连续.1.3连续与可微之间的关系下面探讨二元函数连续与可微之间的关系，用如下定理和例子分析说明二元函数连续与可微之间的关系.定理5如果二元函数在点处可微，则函数在点处一定连续.证由于函数在点处可微，则，当时，有，所以在点处一定连续.由定理5可知，对二元函数，如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续.但函数在某一点处可微是在该点处连续的充分条件而不是必要条件，即定理5反之不成立.例6二元函数在点处连续，但函数在点处不可微.解令，，则，所以函数在点处连续.因为，所以函数在点处不可微.即二元函数在点处连续，但函数在点处不可微.由例6可知，二元函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可微.综上所述，对二元函数，如果函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续；二元函数在某一点连续，但函数在该点处不一定可微.1.4连续、可导、可微之间的关系总结综上所述，对二元函数，二元函数在某一点处连续，函数在该点处一阶偏导数不一定存在；函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定连续；如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一阶偏导数一定存在；二元函数在某一点处一阶偏导存在，但函数在该点处不一定可微；如果函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微；如果函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数一定存在，但一阶偏导数不一定连续；如果函数在某一点处可微，则函数