2027届高考数学一轮总复习7.6空间中的角和距离（课件）

第七章立体几何与空间向量7.6空间中的角和距离高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题.2.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.202320242025新课标Ⅰ卷T18新课标Ⅰ卷T17全国一卷T17新课标Ⅱ卷T20新课标Ⅱ卷T17全国二卷T17必备知识回顾用空间向量研究夹角、距离问题1知识梳理分类图示计算公式夹角异面直线所成的角直线与平面所成的角两个平面的夹角

分类图示计算公式距离点到直线的距离点到平面的距离

利用法向量的方向判断二面角二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角.法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面;法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面;当法向量m,n“一进一出”时,m,n

的夹角就是二面角的大小;当法向量m,n“同进同出”时,m,n的夹角就是二面角的补角.知识拓展

基础检测×××√

C

关键能力提升

A

用向量法求异面直线所成角的步骤规律总结

考点2

直线与平面所成的角【例2】

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,侧面PAD是等边三角形,且二面角P-AD-B为120°.

用向量法求线面角的步骤规律总结注意:线面角的正弦值对应直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值.【对点训练2】

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=120°,PA=AC,D为PC的中点.(1)求证:BD⊥AC;解:证明:如图1,取AC的中点E,连接BE,DE.因为D为PC的中点,所以DE∥PA.因为PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,所以DE⊥AC.因为AB=BC=1,所以BE⊥AC.因为DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE.又BD⊂平面BDE,所以BD⊥AC.

(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;【解】证明:如图1,记AC∩BD=O,因为AB=BC,AD=CD,所以BD是线段AC的垂直平分线,则AC⊥BD(题眼).因为PA⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以PA⊥BD.又AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.

方法三(几何法)

如图4,过点A作AM⊥PD,垂足为M,过点A作AN⊥平面PBD,垂足为N,连接MN.因为PD⊂平面PBD,所以AN⊥PD.又AM∩AN=A,AM,AN⊂平面AMN,所以PD⊥平面AMN.又MN⊂平面AMN,所以PD⊥MN,

利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)找与棱垂直的向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.规律总结【对点训练3】

(2025·山东临沂二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=1,AB=2,△PAD为等边三角形,PA⊥CD.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;解:证明:因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB⊥AD.又因为PA⊥CD,所以AB⊥PA.又因为PA,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又因为AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.解:取AD的中点E,连接PE.因为△PAD为等边三角形,所以PE⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

B

C

规律总结

B

教材深研

高考真题教材典题(人教A版选择性必修第一册P39例10)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.考教衔接高考真题教材典题(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.

解:取AM的中点O,连接BO,FO.因为M为AD的中点,BC∥AD,且AD=4,BC=2,所以BC∥MD,且BC=MD,所以四边形

BCDM

为平行四边形,

高考真题

课时作业53

基础巩固

3.(15分)(2026·T8联考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,O是BC的中点.(1)求证:平面BCC1B1⊥平面A1AO;解:证明:如图1,连接A1B,A1C.∵AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A,∴△A1AB≌△A1AC,∴A1B=A1C.∵O为BC中点,∴BC⊥A1O.又AC=