自动控制原理-二阶系统的时域响应

二阶系统的时域响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义；2一、数学模型二阶系统的结构图：闭环传递函数为：二阶系统的主要参数：R(s)E(s)C(s)-开环传递函数为：

:自然振荡频率（无阻尼振荡频率）:阻尼比特征方程：两个特征根：

的取值不同,特征根不同。

202s2=++nnswxw1s21,2-±-=xwxwnn

特征根在[S]分布分析

1s21,2-±-=xwxwnn1、过阻尼j0二、二阶系统的阶跃响应两个不相等负实根

单位阶跃响应（>1）j0阶跃响应：无振荡、无超调2、临界阻尼=1闭环系统的极点为

闭环传递函数为

j0两个相同的负实根阶跃响应：j0单位阶跃响应（=1）无振荡、无超调j0一对共轭复根

=cos

0

s1

ωn-

n

s2

j

j

d

阶跃响应：

单位阶跃响应（0<<1）

y(t)衰减振荡阻尼振荡频率--无阻尼振荡角频率响应等幅振荡阶跃响应y(t)=1-cos

ntj0一对纯虚根二阶系统响应特点1、=0时，等幅振荡；3、=1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态；5、-1<<0时，振荡发散，系统不稳定；6、<-1时，单调发散，系统不稳定。4>1时，越大，曲线单调上升过程越缓慢；2、0<<1时，越小，振荡越严重，超调越大（最大超调量100%），衰减越慢；由曲线进一步知道：1、阻尼比越大，超调量越小，响应越平稳。反之，越小，超调量越大，振荡越强。2、当取=0.707左右时，Ts和%都相对较小，故一般称=0.707为最佳阻尼比。3、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。

在一定下欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。阻尼比与极点分布和系统性能的关系(脉冲响应曲线变化情况)

特征根的分布与阶跃响应平面上的分布

小结

0=z

10<<z

1>z

1=z

s

wj

0=z

0<z

0<z

三、欠阻尼二阶系统响应性能指标闭环极点坐标与阻尼比的关系18

阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。

•即

•得

•此时

单位阶跃响应

1、欠阻尼二阶系统阶跃响应时域指标

单位阶跃响应

欠阻尼二阶系统阶跃响应时域指标

单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

单位阶跃响应中最大偏差量与稳态值之比。

单位阶跃响应

欠阻尼二阶系统阶跃响应时域指标%的大小完全决定于

，

越小，%越大。

单位阶跃响应进入±

误差带的最小时间。

调节时间ts

•有

•根据定义

•则

c(t)t01包络线(=5)•

工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。

（=2时）nstzw4=

欠阻尼二阶系统阶跃响应时域指标由此可见：越大，就越小，当为一定时，则与成反比，这与的关系正好相反。图3-12典型二阶系统的结构图

例4

如图3-12所示系统，其中，。当输入为单位阶跃信号时，试求系统响应的上升时间、峰值时间、最大超调量和调节时间。

解：根据题目给出的和，可以求得（1）、上升时间因此，可求得上升时间为（2）、峰值时间其中（3）、最大超调量（4）、调节时间对于的允许误差，调节时间为对于的允许误差，调节时间为二阶系统时域响应——举例例5设控制系统的方框图如图所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标tr、tp、ts和

%。解：系统的闭环传递函数

根据二阶系统性能指标的公式可以计算二阶系统的性能指标：稳态分量：瞬态分量：

2、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应误差响应：稳态误差：4、二阶系统性能改善1）比例微分控制特征方程中，一次项系数为

引入了比例-微分控制，增大了系统的等效阻尼比，自然振荡角频率不变，系统的超调减小。

同时增加了一个零点引入比例-微分控制后系统的特征根将发生变化

例6单位负反馈系统的开环传递函数为求（1）单位阶跃输入响应。（2）性能指标。解：系统的闭环传递函数为

系统的输出为

系统的输出时域响应为

对输出响应求导，并令导数为0，得

根据峰值时间很容易得到2、输出反馈控制系统的闭环传递函数为

其等效阻尼为

系统的等效阻尼比增大，抑制了输出量的超调和振荡，改善了系统的平稳性。系统的误差传递函数单位斜坡输入作用下由终值定理稳态误差增大例7

如图3-29所示系统图3-29例7系统结构图1)当时，确定。2)当时，确定系统的和。3)若要为时，，确定系统中的以及此时前向通道的放大系数为多少。解：⑴当

时，所以斜坡输入时，⑵当时,

所以，，其中取，则⑶若前向通路的放大系数为此时不难得到

而对应于时，有而时，有解出比例微分控制与输出微分反馈的比较1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系统阻尼，但来源不同；2、对于噪声和元件的敏感程度不同；3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不同；4、对动态响应的影响不同。（1）增加阻尼的来源比例微分的阻尼来自误差信号的速度；输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度；因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分的稳态误差更大；（2）对于噪声和元件的敏感程度比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，输入噪声大，不宜使用；输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用，对噪声不敏感；比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力强；输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；（3）开环增益和自然振荡角频率的影响比例微分控制对于开环增益和自然