【高中解析几何中的数列问题分析案例2300字】

高中解析几何中的数列问题分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u19114高中解析几何中的数列问题分析案例 1277881.1两类基本数列问题 1304471.2点列问题 5在当前的高中数学课程中,数列占据着不可忽视的位置,其与不等式、函数之间进行融合与渗透，并且展现在解析几何中，数列和解析几何相关内容交汇与融合，是近几年高考命题的新热点,它不仅体现了高中阶段对数学基础知识与基本能力的双重考查功能，与此同时，还保障数学命题内容的合理性与新颖程度.1.1两类基本数列问题例题1已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:；（2）设为的右焦点,为上一点,且证明:成等差数列,并求该数列的公差.解法:(1)设则两式相减,并由可得由题设可知于是①由此可得，故(2)由题可知假设可得由（1）及假设可得又因为点在上，所以从而所以同理可得所以故即成等差数列.假设此数列公差为，则②将代入①得所以的方程为代入的方程，整理得故，代入②得所以该数列的公差为或例题2已知椭圆的两个焦点分别为且椭圆经过点求椭圆的离心率；设过点的直线与椭圆交于两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程.解法:（1）所以,又由已知可知所以椭圆的离心率（2）由(1)得椭圆的方程为设点的坐标为①当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于，两点,此时点坐标为②当直线与轴不垂直时，假设直线的方程为由于在直线上，可假设点的坐标分别为，可得又有因为所以，即③将代入中，可得④又因为所以通过④可推出代入到③中化简可得⑤由于点在直线上，可得，代入⑤中化简可因为⑤且，所以，即又因为点满足所以由题可知在椭圆的内部，所以又因则有并且，即所以点的轨迹方程是且，例题3已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为，直线与的两个交点间的距离为.(1)求；(2)设过的直线与的左、右两支分别相较于两点，且,证明：成等比数列.解法：（1）由题设知，即，故.所以的方程为将代入上式，求得由题设知，，解得所以(2)证明：由（1）知，的方程为①由题意可设的方程为代入①并化简得设则于是由得即故解得从而由于故因而所以成等比数列.例题4点在椭圆直线与直线互相垂直，为坐标原点，假设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.(1)求证点是椭圆与直线的唯一交点；(2)求证构成等比数列.证明：（1）（方法一）根据可得代入到椭圆方程得将代入上式中，可得进而所以，方程组有唯一解所以直线与椭圆有唯一交点.(方法二)显然是椭圆与的交点，假如是椭圆与的交点，代入的方程得出即故与重合.（方法三）在第一象限内，根据得出椭圆在点处的切线斜率为切线方程为可得所以，就是椭圆在点处的切线.由椭圆切线的性质，可得是椭圆与直线的唯一交点.（2）由于的斜率为的斜率为所以可得构成等比数列.1.2点列问题解析几何当中的点列问题，不仅把握了数列的内在联系，还体现了数列函数性质，它对培养学生综合运用知识来解决问题的能力是大有裨益的.解决这类问题的关键就是把几何当中的点列问题化归为代数当中的数列问题.而实现这一转化的方法具有多种.例题5已知是各项均为正数的等比数列，且（1）求出数列的通项公式；（2）如下图所示，在平面直角坐标系当中，连接点得出折线，求出由该折线与直线所围成的区域的面积.分析：（1）依题意布列和公比的方程组.（2）利用梯形的面积公式，记梯形的面积为求得，应用错位相减法计算机得到解法：（1）设数列的公比为，由已知由题意得所以因为所以因此数列的通项公式为（2）过向轴作垂线，垂足分别为由（1）得记梯形的面积为由题意所以①又②②得所以教法研析：此题主要使学生掌握等比数列的通项公式；等比数列的求和；错位相减法.这类型的题目就是数列问题当中的一类常见题型.此题覆盖面比较广，提高了学生的计算能力.但在指导学生解答此题时，应当先引导学生写出方程组，进而得出其通项公式，从而准确的进行求和计算，同时应注意在“错位”之后求和时，准确等比数列的项数.此小题把数列和解析几何结合起来，非常好的培养了学生的基本计算能力、逻辑思维能力以及数形结合思想等.例题6函数，数列定义如下：是过两点的直线，与轴交点的横坐标.求证；求出数列的通项公式.分析：本校题主要考查函数和数列结合起来的综合运用能力以及数列的通项公式.此题应由函数入手，写出直线方程，从而可得到交点坐标，之后再运用数学归纳的方法进行验证，利用递推公式构造等比数列最终求得数列的通项.解法：（1）由于，故在函数的图像上，即由所给出的两点得直线斜率存在.所以直线的直线方程是当，求出所以.下面应用数学归纳的方法求证当时，满足条件设时，成立，则时，由于即也成立.综上可得对任意正整数恒成立.下面继续求证由于由所以有即综上可得恒成立.(2)由于得出该数列的特征方程是所以即或或①②两式相除，可知由于所以数列为以为首项以为公比的等比数列，故教法研析：在指导学生解决解析几何与数列联系的问题时，先引导学生将函数当背景，再引出点坐标，根据直线和坐标轴的交点可知数列的递推公式.从而使得学生既掌握了直线的方程，同时又掌握了不等式的证明函数的解析式，以及函数解析式，这类题性比较综合，又有一定的难度.解决这类试题的时候，首先引导学生通过已得的条件，慢慢的翻译成代数式，再整理得到我们需要找的关系式.注意在引导学生去解决数列运算问题时，一般是两个方式，一个是应用基本量，把多元问题转化成一元问题，需要有一定量的运算，但是思路非常简洁同时其目标也明确；二是应用等比、等差数列的性质.其性质深刻体现着两种数列的基本规律，同时在