计量经济学 课件 第4章 多元线性回归模型 -

第4章多元线性回归模型2026/6/141湖南大学经济与贸易学院第4章多元线性回归模型4.1多元线性回归模型概述4.2多元线性回归模型的参数估计4.3多元线性回归模型的统计检验4.4部分线性约束的显著性检验2026/6/142湖南大学经济与贸易学院4.1多元线性回归模型概述寻找单个解释变量与被解释变量之间的关系的回归分析被称为一元回归分析，但很多时候影响被解释变量的解释变量不止一个。因此，需要引入多元回归模型来分析多个解释变量与被解释变量之间的关系。多元线性回归模型的一般形式为2026/6/143湖南大学经济与贸易学院在多元线性回归模型中，称为偏回归系数（偏效应），它表示在其它自变量保持不变的条件下，该自变量变化一个单位将引起因变量平均变化多少个单位。2026/6/144.1多元线性回归模型概述4湖南大学经济与贸易学院相应地，多元线性回归的总体回归模型为总体回归方程为2026/6/144.1多元线性回归模型概述5湖南大学经济与贸易学院为方便计算，引入多元回归分析的矩阵表达式2026/6/144.1多元线性回归模型概述6湖南大学经济与贸易学院样本回归模型为样本回归方程为

2026/6/144.1多元线性回归模型概述7湖南大学经济与贸易学院矩阵表达式:其中2026/6/144.1多元线性回归模型概述8湖南大学经济与贸易学院假设1：参数线性。假设2：解释变量在所抽取的样本中具有变异性，且各解释变量之间不存在严格线性相关性。假设3：随机扰动项具有条件零均值性。假设4：随机扰动项具有同方差性以及序列不相关。假设5：随机扰动项服从多元正态分布。

为了书写方便，上述假设2至假设5也可用矩阵符号来表示。见教材P61。2、多元线性回归模型的基本假设2026/6/144.1多元线性回归模型概述9湖南大学经济与贸易学院2、多元线性回归模型的基本假设2026/6/144.1多元线性回归模型概述10湖南大学经济与贸易学院2、多元线性回归模型的基本假设2026/6/144.1多元线性回归模型概述11湖南大学经济与贸易学院4.2多元线性回归模型的参数估计一元线性回归分析类似，利用普通最小二乘法对多元线性回归模型进行参数估计。根据最小二乘原理，参数估计值应使残差平方和达到最小。2026/6/1412湖南大学经济与贸易学院求Q关于回归系数的偏导并令其等于0，就可得到回归系数估计值的正规方程组：2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计13湖南大学经济与贸易学院矩阵形式下由样本回归模型与样本回归方程可得残差平方和为求导可得2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计14湖南大学经济与贸易学院由于X列满秩，，可逆因此，可以得到参数的最小二乘估计量2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计15湖南大学经济与贸易学院2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计16湖南大学经济与贸易学院拟合值和残差的重要性质（1）残差的样本均值为0；（2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合值与残差之间的样本协方差也为0；（3）点总位于OLS回归线上；（1）线性性（2）无偏性（3）有效性2、参数估计量的性质2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计17湖南大学经济与贸易学院（1）线性性

其中,C=(X´X)-1X´

为一仅与固定的X有关的矩阵2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计18湖南大学经济与贸易学院

（2）无偏性

这里利用了假设:2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计19湖南大学经济与贸易学院

（3）有效性

根据参数估计量的协方差矩阵由于2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计20/1湖南大学经济与贸易学院（3）有效性

则有由于则有2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计21/1湖南大学经济与贸易学院3、样本容量问题

最小样本容量

所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量所要求的样本容量的下限。

因为，必须满足。由于X为n×(k+1)阶矩阵，其秩最大为k+1，则此时必须有n≥(k+1)，即最小样本容量必须不少于模型中待估计参数的个数。

2026/6/144.2多元线性回归模型的参数估计22/1湖南大学经济与贸易学院则1、总离差平方和的分解记总离差平方和回归平方和残差平方和4.3多元线性回归模型的统计检验2026/6/1423湖南大学经济与贸易学院调整的拟合优度

在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验24/1湖南大学经济与贸易学院可得：在实际应用中，比更准确地反映了解释变量对被解释变量的影响程度，但这并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经济意义，会适当牺牲拟合优度。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验25/1湖南大学经济与贸易学院3、方程的显著性检验——F检验对于多元回归方程总体线性的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立做出推断。对建立假设若原假设成立，则表明模型的线性关系不成立。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验26/1湖南大学经济与贸易学院构建统计量服从自由度为（k,n-k-1）的F分布。给定显著性水平，可查表得到临界值通过来拒绝（或不拒绝）原假设。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验27/1湖南大学经济与贸易学院F检验与拟合优度检验的一致性

可知：当R2=0时，F=0；当R2接近1时，F越大。因此，方差分析与相关分析建立了联系，F检验既是对回归模型的总体显著性的检验，也是对模型拟合优度的显著性检验。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验28/1湖南大学经济与贸易学院4、变量的显著性检验对多元线性回归模型而言，在方程的总体线性关系呈显著性时，并不能说明每个解释变量对被解释变量的影响是显著的，必须对每个解释变量进行显著性检验。参数估计量的方差为以cjj

表示矩阵主对角线上的第j个元素，参数估计量的方差为2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验29湖南大学经济与贸易学院构造

t统计量：原假设与备择假设为给定的显著性水平，查t分布表，得临界值若|t|小于临界值，则未通过检验，大于临界值则通过检验。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验30湖南大学经济与贸易学院注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致

一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：

1=0

进行检验;另一方面，两个统计量之间有如下关系：

2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验31/1湖南大学经济与贸易学院例4.1中国居民人均消费模型——基于1999-2020年的中国宏观经济数据被解释变量Y：中国居民人均消费解释变量：人均GDP（GDPP）、居民前一期的人均消费CONSP(-1)利用Eviews得到如下回归结果：2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验32湖南大学经济与贸易学院表4.2中国居民人均消费模型回归DependentVariable:CONSP

Method:LeastSquares

Sample:20002020

Includedobservations:21afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C201.0222162.73771.2352530.2326GDPP0.1806980.0315655.7245390.0000CONSP(-1)0.5551340.0882866.2879150.0000

R-squared0.998026

Meandependentvar2.174118AdjustedR-squared0.997807

S.D.dependentvar0.153290S.E.ofregression382.8155

Akaikeinfocriterion-2.125876Sumsquaredresid2637859.

Schwarzcriterion-2.026397Loglikelihood-153.0777

Hannan-Quinncriter.-2.104286F-statistic4550.116

Durbin-Watsonstat0.150649Prob(F-statistic)0.000000

2026/6/1433湖南大学经济与贸易学院

模型检验

给定显著性水平α=0.05，可得临界值:t0.05/2(18)=2.101可以看出，两个解释变量的t值均大于临界值，因此可以拒绝原假设，即人均GDP（GDPP）与中国居民前一期的人均消费CONSP(-1)都在95%的水平下显著，都通过了变量显著性检验2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验34/1湖南大学经济与贸易学院5、参数检验的置信区间估计由于置信区间为在实际应用中，我们希望置信度越高越好，置信区间越小越好。可采用以下思路：（1）增大样本容量。（2）提高样本观测值的分散度。2026/6/144.3多元线性回归模型的统计检验35湖南大学经济与贸易学院

根据经济理论或研究问题的要求，有时需要对模型中变量的参数施加一定的约束条件。在模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归，与此对应，不加任何约束的回归称为无约束回归。4.4部分线性约束的显著性检验2026/6/1436湖南大学经济与贸易学院

不受约束模型（unrestrictedmodel）

例如：假设施加约束：则受约束模型（restrictedmodel）所研究的具体问题施加约束条件后模型的回归结果是否有效，还需进一步进行相应的检验。2026/6/144.4部分线性约束的显著性检验37湖南大学经济与贸易学院对多个线性约束的F检验不受约束模型（unrestrictedmodel）受约束样本回归模型：残差项可写为受约束样本回归模型的残差平方和RSSR为可得其中e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU2026/6/144.4部分线性约束的显著性检验38湖南大学经济与贸易学院构建F统计量：

其中kU和kR为无约束与受约束回归模型的解释变量的个数。也可利用R2来计算F值。利用的公式为2026/6/1439湖南大学经济与贸易学院2、遗漏和冗余变量（1）遗漏变量：“过低拟合”模型

回归（1）：Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+εi

其中，Y表示婴儿健康水平，X1表示医疗水平，X2表示女性识字率。

回归（2）Yi=a0+a1Xi1+vi

回归（2）遗漏了变量X2，a1反映了医疗水平对婴儿健康水平的总效果，其包含了直接的医疗水平效应以及间接的女性识字率的效应；回归（1）中的偏回归系数β1代表了假设女性识字率为常数时，医疗水平对婴儿健康水平的净影响或者净效果。两个回归结果的差异性反映了偏回归系数的“偏”的含义。

回归（2）与（1）相比没有考虑女性识字率对婴儿健康水平的影响，出现了遗漏变量偏差，导致设定误差。2026/6/144.4部分线性约束的显著性检验40湖南大学经济与贸易学院遗漏变量检验的原理与过程

检验对现有模型添加某些变量后，新变量是否对因变量的解释有显著贡献。

零假设：新变量都是不显著的检验统计量为对数似然比统计量：其中右边中括号内分别表示约束条件和无约束条件下方程的对数似然值，在零假设下统计量服从渐进的χ2（m)分布，这里m代表约束条件的个数，比如增加变量的数目。利用Eviews软件进行遗漏变量检验：View——CoefficientDiagnostics——OmittedVariablesTest——LikelihoodRatio2026/6/144.4部分线性约束的显著性检验41湖南大学经济与贸易学院（2）冗余变量：“过度拟合”模型考虑如下回归：Yi=β0+β1Xi1+εi若加入了多余变量X2