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文档简介

第二节

换元积分法本节内容提要一、第一类换元积分法（凑微分法）

二、第二类换元积分法

教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分重点：

凑微分法、根式置换法求不定积分难点：

凑微分法求不定积分教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：6课时返回

第二节

换元积分法

引例：求

解:

错在哪里？一、第一类换元积分法（凑微分法）

定理1、若

则这种将利用中间变量化为，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将还原成的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法。这里将凑微分成du是难点，理解起来较困难，我们这样处理：dx=故例1：求解：设u=2x

我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下：

Ⅰ、被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量，

例2：求解：设则

在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写格式如下：解：=例3求解：练习：求下列不定积分1、

2、

3、

4、

、被积函数是两个函数乘积形式

1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式。

Ⅱ例1、求解：

例2、求解：=例3、求解例4、求解：

例5、求解：

练习：求下列不定积分1、

2、

3、

4、

5、2、被积函数中，其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因式。

例1求解

例2求解例3求解例4求解例5求解例1、

例6求解练：求1、

2、

3、

4、

5、

6、

第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为，其中u可以是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。常用的凑微分形式有：

例：求

解：方法一：

方法二：

方法三：

上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们的正确性。

使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角变换对被积函数作适当变形才能积分。例1求练习：求

例2求：解：

练习：①

②例3求：

练习：①

②例4求：

练习：求例5求：练习：求①

②例6求：练习：求

例7求：练习：求

例8求：练习：求

练习求

① ② ③

④ ⑤二、第二类换元积分法定理2：设是单调可微函数，且若则：

下面通过例题说明第二类换元积分的应用。

Ⅰ、被积分函数中含有类型--------根式置换法

例1：求解：设

,则

注意：在最后的结果中必须代入,返回到原积分变量.练习：①②返回例2求解：被积函数含、，为了去掉根号，设t=

则x=练习：求例3．求解：设则

1、

Ⅱ、

被积分函数中含有类型--------三角置换法例1求

解

设则

例2、求

解

设则为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形如图

由图可得

其中

空例3、求

解

设

则

与前例相同，为了返回原积分变量，由作出辅助三角形如图

由图可得：

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