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文档简介

综正当与分析法(习题课）推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明

比较法类比推理归纳推理

分析法综正当

反证法知识构造证为数为数证一.综正当证为数为数证证证明:要证只需证只需证只需证只需证由于成立.因此成立.二.分析法三:反证法问题一:求证:两条相交直线有且只有一种交点.注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,惯用反证法2.有且只有的背面包含1)不存在;2)最少两个.问题二:求证一元二次方程至多------有两个不相等的实根.注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证“至多有两个不相等的实根”只要证明它的背面“有三个不相等的实根”不成立刻可.问题:如图;已知L1、L2

是异面直线且

A、B∈L1,C、D∈L2,,

求证;AC,SD也是异面直线.aCDABL1L2五.归纳、类比、猜想、证明例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条但是同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.下列来考虑平面内有k+1条直线的状况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其它k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,由于已知任何两条直线不平行,因此直线l必与平面内其它k条直线都相交,有k个交点.又由于已知任何三条直线但是同一点,因此上面的k个交点两两不相似,且与平面内其它的k(k-1)/2个交点也两两不相似.从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切不不大于1的正整数都成立.阐明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是解决好当n=k+1时运用假设结合几何知识证明命题成立.注:在上例的题设条件下还能够有以下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,---则:f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域

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