上海大机械原理讲义03平面机构的运动分析

PAGE14PAGE第三章平面机构的运动分析本章重点：平面Ⅱ级机构速度和加速度分析的图解法（包括基点法和重合点法），平面机构运动分析的封闭向量多边形法。本章难点：重合点法中哥氐加速度的正确确定，解析法中机构位置方程组的正确建立和求解。模型：铰链四杆机构等。第6讲运动分析——瞬心法§3-1机构运动分析的任务、目的和方法一、任务在已知机构尺寸及原动件运动规律的前提下：1、确定从动件的位置、角速度和角加速度；2、确定构件上点的轨迹、位移、速度和加速度。二、目的1、了解现有机构的运动性能；2、根据运动学条件设计新机构；3、为机械的动力分析提供速度、加速度等信息。三、方法1、图解法：简单直观，但图解工作量大，精度低，可作验证用；2、解析法：计算精确、迅速，但需推导公式和编制程序，应大力推广；3、实验法：可用于验证理论分析及计算结果的正确性，用于重要机构的分析和设计。§3-2用速度瞬心法作机构的速度分析一、速度瞬心的定义1、定义两个互作平面相对运动的构件上，相对速度为零或绝对速度相等的重合点称为该两构件间的相对速度瞬心，简称速度瞬心。2、释义1）速度瞬心为同速点；

图3-12）若两构件之一是静止的，则速度瞬心为绝对速度瞬心；若设构件1为静止的，则，P12是构件2的绝对速度瞬心。3）两构件之间的相对运动可视为绕速度瞬心的转动；如图3-1所示，；。4）瞬时性；不同时刻，有不同的速度瞬心；5）相对速度，但相对加速度；6）只要相对角速度，则速度瞬心存在且唯一。二、速度瞬心的数目其中，——构件总数。三、速度瞬心位置的确定1、常见速度瞬心如图3-2所示，4种速度瞬心易定：1）若两构件组成回转副，则回转副中心为其速度瞬心；2）若两构件组成移动副，则速度瞬心位于过任一点的垂直于导路方向的无穷远处；图3-23）若两构件组成纯滚动平面高副，则接触点为其速度瞬心；4）若两构件组成平面高副，则速度瞬心位于过接触点的高副元素的公法线上；2、三心定理三个互作相对平面运动构件间的三个速度瞬心位于同一直线上。如：构件1、2、3，共有3个速度瞬心：P12，P13，P23，他们共直线。四、速度瞬心法的应用1、铰链四杆机构对图3-3所示的铰链四杆机构：瞬心数目：；易定：P12、P23、P34和P14；图3-3图3-4作出图3-4所示的机构拓朴图：顶点表示构件，顶点间的连线线段表示对应两构件间的速度瞬心。个速度瞬心，应使该拓朴图成为完全图（即所有顶点间均有线段连接）。定P13：若两顶点的连线线段能成为两个三角形的公共底边，则由三心定理知，该线段代表的速度瞬心可以确定。脚注法则：P34、P14P13（消去脚注中的4）；P12、P23P13（消去脚注中的2）。同理可定P24。求速比P24为构件2和构件4的速度瞬心，两构件在P24处应有相等的绝对速度，即2、凸轮机构对图3-5所示的凸轮机构，P23应在过接触点K点的公法线n-n上；P12，P13P23，P23应在过P12的与导路方向相垂直的垂线上。由同速点的含义知：图3-5注意：1）速度瞬心法只适合于简单平面机构的速度分析；2）存在速度瞬心不可求机构。即仅依据三心定理，并不能确定全部速度瞬心位置的机构。

第7讲运动分析——基点法§3-3平面机构运动分析的相对运动图解法一、基点法1、基点法的实质基点法的实质是：动点和基点为同一刚性构件上的两点，动参考系取为以基点为原点的平动参考系。因此，动点的牵连速度和牵连加速度等于基点的速度和加速度。对于作平面运动的构件且动点和基点都位于同一运动平面内的情况，动点相对动参考系的相对运动是动点绕基点的圆周运动，且无哥氐加速度。只有同一构件上的点，才能应用基点法进行运动分析。如图3-6所示，对于同一构件上的两点A和B，A—基点，B—动点其中，，的方向：⊥，顺向，图3-6同理有下列加速度方程式成立：其中，的方向：；，的方向：⊥,顺向。2、速度图和加速度图在图3-7所示的铰链四杆机构中，已知各构件长度及原动件1的位置、角速度和角加速度，求构件2和构件3的角速度和、角加速度和，以及构件2上E点的速度和加速度。解（1）取合适的长度比例尺，根据原动件1的给定位置及机构尺寸，准确作出机构运动简图，如图（a）所示。（2）速度分析B—基点，C—动点方向：⊥⊥⊥大小：？？图解法：取速度比例尺，作出速度图p—bc，如图（b）所示；则：；图3-7（），（↘）；（），（↖）；B—基点，E—动点方向：？大小：？在图（b）的基础上，过点b作=，得e点，则。—称为速度图；—速度极点；b、c、e分别称为构件2上相应点B、C、E的速度影像；速度图有以下性质：1）绝对速度矢过速度极点，如；2）相对速度矢脚注相反，如；3）同一构件上的速度影像附合影像原理，即：△∽△且字母顺序相同；4）速度极点是构件绝对速度瞬心的速度影像。（3）加速度分析作加速度分析时，基点和动点的取法与速度分析相同。或：方向：大小：？？图解法：取加速度比例尺()，作出加速度图，如图（c）所示；则：（），（↖）；（），（↖）；方向：？√大小：？√在图（c）上，过点，作得；过作，得点，则。称为加速度图；加速度极点；、、分别称为构件上相应点B、C、E的加速度影像；加速度图具有和速度图相类似的以下性质：1）绝对加速度矢过加速度极点，如；2）相对加速度矢脚注相反，如；3）同一构件上的加速度影像附合影像原理，即△∽△且字母顺序相同；4）加速度极点是构件上绝对加速度为零的点（即加速度瞬心）的加速度影像。注：同一机构只有一张速度图和一张加速度图。

第8讲运动分析——重合点法§3-3平面机构运动分析的相对运动图解法二、重合点法对于两个活动构件组成移动副的情况，需用重合点法进行运动分析。在图3-8所示的导杆机构中，已知构件的长度及原动件1的匀角速度，求导杆3的角速度和角加速度。解：（1）取合适的长度比例尺，准确作出机构运动简图，如图（a）所示。（2）速度分析B3—动点，滑块2—动参考系方向：⊥CB⊥AB//C大小：？？图3-8取合适的速度比例尺，作出图（b）所示的速度图，则（）（↘）（3）加速度分析方向：//Cx大小：？？其中，哥氐加速度的大小和方向可按如下方法确定：大小：，；方向：将相对速度矢绕其起点沿牵连角度的方向转过90°，即为哥氐加速度的方向。取合适的加速度比例尺，作出图（c）所示的加速度图，则（）（↖）注意：在重合点法中，应取已知运动的点所在的构件为动参考系，与动参考系组成移动副的另一构件上的未知运动的点为动点。例题：西工大《机械原理》多媒体软件，例3-1，P55。

第9讲运动分析——解析法§3—5平面连杆机构运动分析的封闭向量多边形法有多种平面机构运动分析的解析法，如封闭向量多边形法、矢量方程解析法、复数法和矩阵法。不管是什么方法，其共同点是：利用平面机构的几何特点——封闭的几何多边形建立矢量方程式；不同点在于对矢量方程式的处理方法及处理结果的表达方式不同。本节主要介绍封闭向量多边形法。一、独立封闭形及其个数1、独立封闭形设一个机构共有个封闭形：（=1,…,）,则：对第1个封闭形Loop1：本身肯定是独立的，也即一个平面机构至少有1个独立封闭形；对第2个封闭形Loop2：与Loop1相比若，在Loop2中出现新的构件，则该机构有2个独立封闭形；对第3个封闭形Loop3：与Loop1和Loop2相比，若在Loop3中出现新的构件，则该机构有3个独立封闭形；否则，该机构的独立封闭形个数仍为2；依次比较，可找出一个机构全部的独立封闭形，其个数记为。2、独立封闭形个数根据图论理论，一个机构的独立封闭形个数可由下列欧拉公式计算；（1）式中，一机构的运动副个数，N一机构的构件总数。二、位移分析1、机构位移方程组的建立1）取定坐标系，用矢量代表构件，标注每个矢量的位置角；坐标系必须与机架相固联，一般只画轴；若是连架杆，则其代表矢量起自机架；矢量的位置角为轴正向沿逆时针方向转到与该矢量指向相一致时的角度。2）对每一个独立封闭形列出矢量封闭方程；3）将各矢量封闭方程向、轴投影，可得机构的位置方程组，记为，，…，（2）式中，一单自由度机构的原动件的已知位置；——从动件的未知位置列阵。2、机构位置方程组的求解。机构位置方程组（2）是一个关于的非线性代数方程组。其求解方法仍是当前数学中一个没有彻底解决的难题。对于机构学中遇到的非线性方程组问题，已有许多有效解法，可参见作者编著的《机械学的数学方法》等著作。1）Freudenstein方程（3）半角正切法求：令，则，，代入三角方程（3），消去分母，整理可得，其解为求得后，原三角方程（3）的解为应根据点所在象限定。在C语言和Fortran语言中，可用内部函数计算：()。2）装配构形装配构形：在机构尺寸和原动位置确定后，从动件系统可能有多个装配形式。此即机构学中的装配构形。如图3-9所示，在原动件位置和机构尺寸、、和给定后，铰链四杆机构有2种装配方式：ABCD和ABC′D。即铰链四杆机构的装配构形数为2。图3-9装配构形问题是当前机构学中的难题之一，其关键是求得机构位置方程组的全部实数解。可参见作者编著的《计算机构学》和《机械学的数学方法》等著作。三、速度分析将机构位置方程组（2）对时间求导，可得：若用矩阵表示上式，可得速度方程（4）式中，——从动件的未知速度列阵；——已知列阵；——已知的雅可比矩阵速度方程（4）是关于的线性代数方程组，只要非奇异，则（5）四、加速度分析将速度方程（4）对时间求导，可得加速度方程：（6）式中，——从动件的未知加速度列阵；——已知列阵。只要J非奇异，则（7）

第10讲运动分析题解例1在图3-10所示的铰链四杆机构中，已知机构尺寸及原动件的位置角θ1和等角速度ω1，试对该机构进行运动分析。解1、位移分析1）建立坐标系A，以矢量代表构件，标注各矢量的位置角；2）列封闭矢量方程3）将封闭矢量方程向，轴投影，得机构位置方程组图3-104）求解机构位置方程组将上述机构位置方程组改写为：将上述方程两边先平方，再相加，整理可得：式中，。用半角正切法可求得（有二个解，与2个装配构形相对应），进而可得，2、速度分析若令：，，，则，，。由可得：3、加速度分析可令：，，，则由可得，==4、连杆点P的运动分析将上式对时间求导，可得P点的二个速度分量为：将上式对时间求导，可得P点的二个加速度分量。例2在图3-11所示的导杆机构中，已知机构尺寸及原动件1的匀角速度，试对该机构进行运动分析。解1、位移分析1）取图示坐标系，以矢量代表构件，并标注各矢量的位置角；其中，，；2）列封闭矢量方程式3）将封闭矢量方程式向、轴投影得机构位置方程组图3-114）求解机构位置方程组从上述位置方程组中消去，可得式中，。用半角正切法求得（有二个解，分别对应于二个装配构形），进而可得：或：2、速度分析将三角方程对时间求导，可得：将代入上式，整理可得：易得：或：3、加速度分析将上述速度解对时间可导，可得：或：例3在图3-12所示的平面六杆Ⅲ级机构中，已知：，，当原动件1的位置角时，求该机构的所有装配构形。解1、独立闭环个数。2、建立坐标系，以矢量代表构件，并标注各矢量位置角，如图3-12所示。图3-123、列矢量封闭方程对封闭形ABCDGA和GDEFG二个独立封闭形，成立：4、将矢量封闭方程向x、y轴投影，可得机构位置方程组式中，，。5、机构位置