初中数学相似三角形专题练习题及解析

初中数学相似三角形专题练习题及解析相似三角形是初中几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决几何计算与证明问题的重要工具。掌握相似三角形的判定与性质，能极大提升我们分析和解决复杂几何问题的能力。下面，我们通过一些典型练习题，帮助同学们巩固所学知识，深化理解。一、知识梳理在开始练习之前，我们先简要回顾一下相似三角形的核心知识点：1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2.相似三角形的判定定理：*（AA）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*（SAS）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*（SSS）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。*（直角三角形）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。3.相似三角形的性质：*对应角相等，对应边成比例。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。二、专题练习题及解析（一）基础巩固型题目1：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=6，求EC的长。解析：这道题主要考察相似三角形的预备定理（平行线分线段成比例定理的推论）。因为DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”，我们可以得到：AD/DB=AE/EC。已知AD=3，DB=2，AE=6，代入上述比例式：3/2=6/EC。通过交叉相乘解得：3×EC=2×6，即3EC=12，所以EC=4。因此，EC的长为4。解题点拨：看到平行线和三角形结合，首先要想到可能产生相似三角形或比例线段。本题直接应用了平行线分线段成比例的基本模型。（二）模型应用与判定题目2：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AC=6，BC=8，求AD的长。解析：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°。在△ACD和△ABC中，∠A=∠A（公共角），∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC（AA，两角对应相等的两个三角形相似）。（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10。由（1）知△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC（相似三角形对应边成比例）。即6/10=AD/6。解得AD=(6×6)/10=36/10=3.6。所以AD的长为3.6。解题点拨：这是一个非常典型的“母子型相似”模型（也叫射影定理模型）。在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个与原三角形相似的小直角三角形。记住这个模型及其比例关系，能快速解决相关计算和证明。（三）综合应用与动态思考题目3：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=3，BC=6，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为每秒1个单位；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动时间为t秒（0<t<3）。连接PQ，当t为何值时，△PQB与以P、D、Q、C为顶点的四边形中的某一个三角形相似？（注：四边形PDQC的顶点顺序按顺时针或逆时针排列均可构成不同三角形）解析：由题意可知：AP=t，CQ=2t。∵AD=3，BC=6，∴PD=AD-AP=3-t，BQ=BC-CQ=6-2t。∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°。过点P作PE⊥BC于E，则四边形ABEP为矩形，PE=AB=8，BE=AP=t，EQ=BQ-BE=(6-2t)-t=6-3t。我们需要考虑△PQB与四边形PDQC中的某一个三角形相似。四边形PDQC可以分割成△PDQ、△PQC、△DQC等（需根据顶点顺序判断，这里我们考虑可能的情况）。但根据运动方向和位置，比较可能的是△PDQ或△QCP。我们先分析△PQB的形状：∠B=90°，所以△PQB是直角三角形。因此，它要相似的三角形也必须是直角三角形。情况一：考虑△PQB与△PDQ相似。△PDQ中，∠PDQ不一定为直角。若PQ⊥QD，则可能构成直角。但此情况相对复杂，我们先看另一种更明显的直角三角形。情况二：考虑△PQB与△QCP相似。△QCP中，∠C是AD和BC的同旁内角，但AD∥BC，∠A=90°不能直接得出∠C=90°。过D作DF⊥BC于F，则FC=BC-AD=3，DC可求，但可能不是直角。情况三：考虑△PQB与△CDQ相似。（若Q、C、D、P构成△CDQ）同样需看角度。更直接的思路：由于△PQB是直角三角形（∠B=90°），那么与之相似的三角形也必须有一个直角。在四边形PDQC中，比较容易出现直角的是∠DPQ或∠PQC。假设∠DPQ=90°，则PD⊥PQ。∵AD∥BC，PE⊥BC，∴PD∥EQ，PE⊥EQ。若PD⊥PQ，则四边形PDQE为矩形，PD=EQ。即3-t=6-3t，解得t=1.5。此时，PD=3-1.5=1.5，EQ=6-3×1.5=1.5，PE=8。PQ=√(PE²+EQ²)=√(8²+1.5²)。PB可通过勾股定理在Rt△PAB中求得：PA=t=1.5，AB=8，PB=√(1.5²+8²)。BQ=6-2t=3。此时△PDQ是直角三角形（∠DPQ=90°）。判断△PQB与△QPD是否相似：∠B=∠DPQ=90°。PQ/PB=EQ/BQ？或者PQ/BQ=PD/PB？计算PQ=√(64+2.25)=√66.25=8.14（约），PB=√(2.25+64)=√66.25=PQ。所以PQ=PB。PD=1.5，BQ=3。PD/BQ=1.5/3=1/2。PQ/PB=1。不相等。所以这种情况相似不成立。另一种可能：△PQB∽△CQP。∠B=∠QCP？若∠QCP为直角，则PC⊥BC。但P在AD上，AD距离BC为AB=8，PC不可能垂直BC除非P与A重合，t=0，不符合题意。再考虑△PQB与△PDC相似？可能性较低。换个角度，考虑△PQB与△QEP相似？（E为前面作的垂足）△QEP是直角三角形。∠PEQ=∠B=90°。若△QEP∽△PBQ，则EQ/BQ=PE/BP。EQ=6-3t，BQ=6-2t，PE=8，BP=√(AP²+AB²)=√(t²+8²)。代入得(6-3t)/(6-2t)=8/√(t²+64)。这个方程比较复杂，对于初中生而言可能超出范围。我们回到题目“以P、D、Q、C为顶点的四边形中的某一个三角形”。最直接的是△PDC和△QPC，以及△PDQ。若考虑△PQB∽△CDP。∠B=90°，则∠CDP需为90°。CD可求，过D作DF⊥BC于F，则DF=AB=8，FC=3，DC=√(8²+3²)=√73。PD=3-t，PC=√(AB²+(BC-AD-QC+AP)^2)似乎繁琐。或许题目暗示的是△PQB与△PDQ相似，且∠QPD=∠B=90°。则有PQ/PD=QB/QP或PQ/QB=PD/QP。即PQ²=PD·QB或PQ²=QB·PD。（两者是一样的）PQ²=PE²+EQ²=8²+(6-3t)^2=64+(6-3t)^2。PD·QB=(3-t)(6-2t)。所以64+(6-3t)^2=(3-t)(6-2t)。展开右边：(3-t)(6-2t)=18-6t-6t+2t²=2t²-12t+18。左边：64+36-36t+9t²=9t²-36t+100。则9t²-36t+100=2t²-12t+18。7t²-24t+82=0。判别式=24²-4×7×82=____=-1720<0。无解。若△PQB∽△QPD，∠QBP=∠QPD=90°，∠PQB=∠PQD（公共角）。则△PQB∽△DQP。∴BQ/QP=QP/QD=BP/PD。QP²=BQ·QD。QD可在Rt△QED中计算，ED=FC=3，EQ=6-3t，QD=√(ED²+EQ²)=√(3²+(6-3t)^2)。BQ=6-2t，QP²=64+(6-3t)^2。代入QP²=BQ·QD：64+(6-3t)^2=(6-2t)·√(9+(6-3t)^2)。令u=(6-3t)，则6-2t=6-2*((6-u)/3)=(18-12+2u)/3=(6+2u)/3=2(u+3)/3。方程变为64+u²=[2(u+3)/3]·√(9+u²)。两边平方：(u²+64)^2=[4(u+3)^2/9]·(u²+9)。9(u²+64)^2=4(u+3)^2(u²+9)。这显然非常复杂，可能不是预期的解法。反思：或许四边形PDQC中的三角形是△PCQ？△PCQ中，若∠PCQ为钝角或锐角。△PQB是Rt△。若△PQB∽△CPQ，则∠B=∠CQP=90°。∠CQP=90°，即PQ⊥BC。∵PE⊥BC，∴PQ与PE重合。则Q与E重合。此时EQ=0，即6-3t=0，t=2。此时CQ=2t=4，BQ=6-4=2。AP=t=2，PD=3-2=1。PQ=PE=8。PC可在Rt△PEC中求：EC=BC-BE=6-t=6-2=4，PE=8，PC=√(4²+8²)=√80=4√5。PQ=8，QB=2，PB=√(AP²+AB²)=√(4+64)=√68=2√17。CQ=4，QP=8，CP=4√5。△PQB中，PQ=8，QB=2，PB=2√17。△CPQ中，CQ=4，QP=8，CP=4√5。PQ/QB=8/2=4，CP/CQ=4√5/4=√5≠4。PQ/CQ=8/4=2，QB/QP=2/8=0.25≠2。不相似。此时，我们可能忽略了一种简单情况：△PQB与△PDC不相似，那么与△QDA呢？不对，Q在BC上。或许题目中的“某一个三角形”是△PDQ，且∠PDQ=∠B=90°？∠PDQ=90°，则DQ⊥AD。∵AD∥BC，∴DQ⊥BC。则DQ=AB=8，QC=FC=3。即2t=3，t=1.5。这与前面情况一相同。此时PD=1.5，DQ=8，PQ=√(PD²+DQ²-2PD·DQ·cos∠PDQ)（但∠PDQ=90°），PQ=√(1.5²+8²)=√(2.25+64)=√66.25。QB=6-2*1.5=3。△PQB中，PQ=√66.25，QB=3，PB=√(1.5²+8²)=√66.25。是等腰三角形。△PDQ中，PD=1.5，DQ=8，PQ=√66.25。显然不相似。经过上述尝试，我们可能需要考虑题目是否存在更简洁的相似情况。重新审视：AD=3，Q的速度是2，t<3，所以CQ=2t<6，BQ=6-2t>0。P在AD上，PD=3-t>0。△PQB是Rt△，∠B=90°。四边形PDQC内，是否存在另一个Rt△与它相似？过Q作QF⊥AD于F，则QF=AB=8，FD=FC=3-(CQ-(BC-AD))？不对，CQ=2t，BQ=6-2t，AD=3，FC=BC-AD=3。DQ²=QF²+FD²=8²+(3-(3-t))²=64+t²？（FD=AD-AF=AD-(BC-BQ)=3-(6-(6-2t))=3-2t？）可能越算越乱。回到题目最初的条件和问题，或许答案是t=1或t=某个简单值。我们尝试t=1：t=1时，AP=1，