2027届高考数学一轮总复习6.2等差数列【课件】

第2节等差数列课标解读

1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.强基础•固本增分1.等差数列的有关概念

定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于

,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的

,通常用字母d表示.定义表达式为

等差中项若三个数a,A,b组成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有2A=

同一个常数

公差an+1-an=d(n∈N*,d为常数)

a+b2.等差数列的有关公式公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an),…所在直线的斜率

通项公式an=a1+(n-1)d前n项和公式

ak+al=am+an

md

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(

)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(3)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大值.(

)×解析

例如等差数列1,3,5,7,…中,m=1,n=2,p=3,a1+a2=4≠a3=5.√√

B

3.(2025·全国2,7)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(

)A.-20B.-15C.-10D.-5B

4.(人A选二教材例题改编)某剧场有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则该剧场总共的座位数为

.

820

5.(人A选二教材习题)在等差数列{an}中,an=m,am=n,且m≠n,则am+n=

.

0

6.(苏教选一教材习题改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=100,S16=392,则S24=

.

876解析

∵S8,S16-S8,S24-S16成等差数列,∴2(S16-S8)=S8+(S24-S16),得S24=3S16-3S8=876.研考点•精准突破考点一等差数列的基本量运算例1

(1)(2025·山东德州三模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=4,S5=3a4+6,则a8=(

)A.2 B.8 C.16 D.32C

(2)(2025·湖北武汉二模)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=0,S6=2S3-12,则a1=(

)A.6 B.8 C.10 D.12A解析

设等差数列{an}的公差为d,由S6=2S3-12,得6a1+15d=2(3a1+3d)-12,整理得9d=-12,由S10=0,得10a1+45d=0,则2a1=-9d=12,所以a1=6.故选A.规律方法

[对点训练1](1)(2025·江西萍乡三模)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若数列{an}的公差为d,S4=7S1,则a8=(

)A.7d B.8d

C.9d D.10dC解析

由S4=7S1,得4a1+6d=7a1,即a1=2d,所以a8=9d.故选C.

A

考点二等差数列的判定与证明

规律方法

C

考点三等差数列的性质及应用考向1

等差数列项的性质例3

(1)(多选题)(2025·云南昆明期中)已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则下列选项正确的是(

)A.若S15<0,则a8<0B.若a2+a8=7,则a10=7C.若a1+a2=6,a7+a8=18,则a3+a4=10D.若{an}为递增数列,则{an·an+1}为递增数列AC

(2)(2024·新高考Ⅱ,12)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=

.

95

教考衔接(人A选二教材例题)已知数列{an}是等差数列,p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t.求证ap+aq=as+at.证明

设数列{an}的公差为d,则ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d.所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d.因为p+q=s+t,所以ap+aq=as+at.

D

考向2

等差数列前n项和的性质例4

(1)(2025·广东韶关模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=2S6=6,则S9=(

)A.-9 B.-6 C.-3 D.9A解析

由等差数列片段和的性质可知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+S9-S6,又S3=6,S6=3,所以S9=3S6-3S3=3×3-3×6=-9.故选A.(2)(2025·山西晋中模拟)已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,则此数列的项数为(

)A.15 B.17 C.19 D.21C

A

A

D

[对点训练4](1)(2025·江西上饶模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,S6-S3=24,则S12-S9=(

)A.36 B.48 C.60 D.120B解析

因为S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以S9-S6=2(S6-S3)-S3=36,则S12-S9=2(S9-S6)-(S6-S3)=48.故选B.(2)(2025·湖北黄冈模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4,则m=(

)A.8 B.7 C.6 D.5C

考向3

等差数列前n项和的最值例5

已知数列{an}是等差数列,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?

(方法四)设数列{an}的公差为d.由S3=S11,得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11,可知d<0,所以a7>0,