中科大机械工程力学教案06杆件的变形和刚度条件

第六章杆件的变形和刚度条件P123§6-1杆件拉伸和压缩时的变形.一、杆件拉伸和压缩时的变形和应变因为材料力学研究强度与刚度，强度问题要计算应力，刚度问题要计算变形，本节讲拉压杆的变形杆件受力变形现象和弹簧相似,受拉力伸长,受压缩短，只是变形量不同,弹簧大,钢铁杆小,肉眼看不见用图示一端固定杆件说明受力与变形关系,设原长为l,横截面直径为d,受力F后,长度l1,直径d1拉伸，轴向绝对变形l=l1-l>0，横向绝对变形d=d1-d<0，大于零小于零是因长度伸长截面变细相反，受压缩的杆件长度缩短了，截面变粗了，有Δl=l1-l<0，Δd=d1-d>0所以无论拉杆还是压杆，轴向绝对变形和横向绝对变形的正负符号总是相反上述变形Δld只反映变形量大小,不能反映变形程度,1m杆伸长1mm和半m杆伸1mm变形程度不同用相对变形反映杆件变形程度，即变形量ΔlΔd除以杆件原长l直径d，表示每单位长度的变形量轴向相对变形e=，横向相对变形，分别称为轴向应变和横向应变，两者的正负号也是相反轴向绝对变形横向绝对变形拉伸Δl=l1-l>0Δd=d1-d<0压缩Δl=l1-l<0Δd=d1-d>0相对变形轴向应变e=横向应变s≤sp时e1=-e-泊松比钢材=0.25~0.33经实验测量发现，当杆件的应力没有超过材料的比例极限时，横向应变e1和轴向应变e成正比，即e1=-eP123（6-1）（音niu钮。条件:s≤sp）s≤sp时s=Ee胡克定律EA--拉压杆的刚度式中，称为泊松比。一般钢材=0.25~0.33。常见材料的值可参考P126表6-1的数据二、胡克定律伸缩量Δl可以由P81式4-3导出，在比例阶段，应力与应变成正比s=Ee（s?E?e?）P124（6-3）式中：Δl?FN?l?E?A?是英国科学Hook167年提出的杆件受力与变形之间关系的定律，称为胡克定律该定律说明：当杆件应力不超过材料的比例极限时，杆件的绝对变形Δl和轴FN及杆件长成正比和横截面积A成反比由式（6-3）可知，受力和长度相同的杆件，绝对变形和EA的乘积成反比，该乘积愈大，变形愈小所以，材料的弹性模量E和横截面积A的乘积EA称为拉压杆的刚度P124例6-1已知：E＝200Gpa，F＝10kNAB杆d1＝10mml1＝400mmBC杆d2＝20mml2＝200mm求：l1，l2销钉BΣFy=0F1sin60-F=0F1×0.866-10=0F1=11.5kNΣFx=0-F1cos60+F2=011.5×0.5+F2=0F2=5.77kNAB杆BC杆外力F1=F1=11.5kN外力F2=F2=5.77kN轴力FN1=+F1=+11.5kN轴力FN2=-F1=-5.77kN小结：①计算外力，第二章列平衡方程的方法②正负内力，±FNi求得±Δli③变形计算的单位：；

§6-2圆轴扭转时的变形和刚度条件P125一、剪切胡克定律为说明扭转应力与变形的关系在薄壁圆管(薄壁?)表面画横线条(?)和纵线条(?)两种线条形成矩形网格在两个相距很近的横线条和纵线条之间假想截取出一个微体，放大如图微体相邻的两截面是互相垂直的圆管一端固定另一端加力使之扭转变形纵线条倾斜了原来纵横线条间的矩形变成平行四边形这说明微体相邻两截面不再相垂直,互成锐角的两截面比原直角减角；成钝角两截面…增大相角所以，g角是薄壁圆管扭转时纵截面和横截面夹角的改变量由五章知,扭转圆轴横截面有切应力,薄壁圆管壁厚度比直径小得多,可视切应力在截面壁厚上均匀分布上述直角改变量g表示由切应力产生的构件变形的程度，称g角为切应变，单位为弧度（rad）实验表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限p时，切应力和切应变g成正比（画g图），即P125（6-4）(条件≤p)式（6-4）称为剪切胡克定律式中的常数称为材料的切变模量，其数值大小表示材料抵抗剪切变形的能力常用材料的值可参考P126表6-1相对扭转角fmax=GgGIp--扭转刚度单位长度相对扭转角单位长度许用扭转角]=2~4/m条件≤pg剪切胡克定律--材料切变模量g角--切应变（rad）

二、扭转角在实心圆轴端面画直径AOB，扭转变形使直径绕圆心O转到‘OB’，说明左右两端面相对转动f角各截面的横线条和纵线条交点沿圆周方向位移不同，这说明不同间距的两横截面间相对转动的角度不同这个转角称为相对扭转角，用符号f表示扭转角f可以由P125式6-4切应力与切应变成正比的式导出max=Gg（max?G?g?）（g≈tgg=）P126（6-5）式中：f?T?l?G?Ip?（注意：此式f单位是“弧度”）由式（6-5）可知，受力和长度相同的圆轴，扭转角f和GIp的乘积成反比，该乘积愈大，变形愈小所以，材料的切变模量G和截面极惯性矩Ip的乘积GIp称为圆轴的扭转刚度三、圆轴扭转的刚度条件表示杆件拉、压变形程度的方法是：用单位长度的杆件变形量表示变形程度，用符号e表示也用单位长度的两截面间的相对扭转角表示圆轴扭转变形程度，称单位长度相对扭转角，用表示（注意：此式单位“弧度/毫米”）机械工程中有刚度要求的圆轴，有关设计标准和规范规定了单位长度许用扭转角数值，用]表示，如P128精密度较低的轴]=2~4/m一般传动轴]=0.5~0.1/m精密机械的轴]=0.25~0.5/m由于单位长度许用扭转角的单位不“弧度/毫米，而“度/米”(m)，所以圆轴扭转刚度条件为P128（6-6）式中，圆轴横截面极惯性矩Ip的单位为毫4(mm4)切变模量G的单位为吉帕（GPa）时，扭矩的单位为千牛顿·毫米（kN·mm）切变模量G的单位为兆帕（MPa）时，扭矩的单位为牛顿·毫米（N·mm）

P127~128例6-2已知：n＝200r/min，PC＝40kW，PD＝25kW，PE＝15kWd＝50mm，G＝80Gpa，]=1.5/m求：校核扭转刚度题目：即P64例3-2，应是P66合理布置轮子后的轮轴在P65已经计算各轮外力偶矩，P66并画圆轴扭矩图由扭矩图知：CD段扭矩最大，等截面圆轴只要计算扭矩最大CD段的刚度刚度足够小结：①单位：②绝对值：虽然扭矩T＝-1194N.m，校核刚度仍取绝对值（正像强度计算应力的负轴力绝对值）③右段扭矩T＝+716<∣-1194∣,不必校核刚度

§6-3梁弯曲时的变形和刚度条件P128一、挠度和转角上图简支梁，变形前梁轴线是直线，受力F弯曲变形后轴线是光滑平面曲线，变形前后梁轴线简化如下图横截面nn移n'n'，形‘点。横截面形心在垂直于原轴线方向的位移，称为截面的挠度，用w表示横截面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用表示。截面形心轴线方向位移很小,高阶微量,略不计弯曲变形后梁的轴线变成一条连续而光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线在图示的Oxw坐标系中，表示挠曲线的方程为w＝w(x)称为挠度方程P129（6-7）例w=x2-3,x=2m,w=1m，即:挠度方程中,x为截面位置横坐标，方程w=w（x中w值=该截面挠度由于截面转角等于挠度曲线在该截面的切线与x轴的夹角，小变形有*（6-8）即任一截面转角近似等于挠度方程对x的一阶导数，上例w‘=2x，x=2m，w‘=4rad，即:2m截面转角4radl=(a+b)=8m①求x=2m截面的挠度(Ｃ截面)②求x=6m截面的挠度(Ｄ截面)③求截面Ｂ的转角ＣＣ’挠度w=w（x中的w值上正下负④求截面Ｃ的转角？转角逆正顺负序号梁的简图挠度方程转角挠度123所以挠度和转角的数值都可以由挠度方程及其一阶导数确定，只要有了挠度方程，就可以计算挠度和转角P133表6-2为各种梁在简单载荷作用下挠度方程,以及某些截面转角和挠度公式（2列?3列?4列?转角方程?）坐标系x向右向上为正公式中挠度向上为正值,向下为负值转角逆时针方向为正值,顺时针方向为负值由表可知，在一定外力作用下，梁的挠度转角都和材料的弹性模量E与截面惯性矩Iz的乘积EIz成反比该乘积愈大，挠度和转角愈小，所以，乘积EIz称为梁的抗弯刚度

梁在单个载荷作用下的变形可直接查表计算例一，左图所示简支梁在集中力F=9N作用下求变形时，用P134表序号6：①求x=2m截面的挠度(C截面)……②求x=6m截面的挠度(D截面)③求B截面的转角④求C截面的转角注意：变形表公式中字母F、M、q分别表示集中力、力偶、分布开荷集度字母l,a,b是表示梁的长度、力作用点位置的尺寸，x是计算变形截面位置的尺寸(x=2、6)梁在多个载荷下的变形，可分别计算单个载荷的变形，再叠加例二、下图简支梁，在集中力F=9N，集中力偶M=7N.m作用下，求x=4m截面E的挠度（以下①②③是演算顺序，wF=-5wM=+3是假定的计算结果）③wE=wF+wM=……=-5+3=-2mm①用P134表序号6求yF时a=5m，b=3m②P134表序号9求wM时a=2m，b=6m注意:①不同载荷作用点位置，尺寸a、b的数据不同，求yF时a=5m，b=3m，求wM时a=2m，b=6m②实际力的方向与表格相反，变形量前面要更改±符号③两载荷单独的变形量叠加时，数值相加还是相减？假如wF=-5mm、wM=+3mm，wE=-5+3=-2mm二、梁的刚度计算所有构件都要有强度要求，但不是所有构件都要有刚度要求，只有变形会影响正常工作的构件才有刚度要求机械工程中有刚度要求的梁，有关设计标准和规范规定了许可挠度或许可转角数值，分别用[w]和[]表示其中许可挠度一般表示为梁的跨度l的倍数，如一般的传动轴[w]=（0.0003~0.0005）l（万分之3、5）许可转角，如安装齿轮或滑动轴承处[]=0.001rad（千分之1）所以，梁的刚度条件为|wmax|≤[w]P129（6-9）|max|≤[]（6-10）为什么有绝对值符号？如l=2m=2000mm，[w]=0.0004l=0.8mm，例一：wE=-5+3=-2mm<0.8mm刚度足够?错误|wE|=|-5+3|=+2mm>0.8mm刚度不够

P129例6-3已知：25a工字梁l＝10m考虑梁的自重Ｅ＝210Gpaw]=0.002lW＝10kN（包括电机重量）校核梁的弯曲刚度题目：桥式吊车横梁弯曲变形过大,葫芦爬坡困难。所以不但要计算强度,还要计算刚度,才够移动被吊物体钢梁重量大,要考虑梁自重,是分布载荷，其集度P194表3，q＝38.1×9.8＝373N/m。惯性矩Iz＝5023.54cm4吊W＝10kN是集中力，葫芦可移动，简支梁受力任何位置,中点受力挠度最大，集中力作用中点计算刚度已知：l？Ｅ？w]？W？校核刚度使用叠加法：自身重量分布载荷作用下的挠度+吊重集中力的挠度=总挠度梁自身量的挠度，P134表6-2序号7吊重集中力的挠度，P133表6-2序号5计算许可挠度w]=0.002l=0.002×10000＝20mm计算实际挠度wC=wCq+wCF=∣-4.6-19.7∣＝24.3mm>w]刚度不够注意：①表6-2公式前有“-”号，若两载荷挠度方向不同，应+-号叠加，但刚度计算结果取绝对值+号②单位：因为E-Gpa即kN/mm2，所以l-mm，Iz-mm4，力-kN，q-kN/mm，力矩-kmm③钢材工字梁自身重量较大，要考虑自重分布载荷，否则wC=∣wCF∣＝19.7mm<w]，结论错误

P131例6-4已知：F，M＝Fl，ＥIz求：wＣ，B③叠加①F作用②M作用（以下①②③是演算顺序）③叠加①F作用②M作用若再求：wB③叠加①F作用②M作用注意：两载荷挠度方向不同，应+-号叠加只计算变形,不校核刚度，计算结果应保留+-号才能说明变形方向再求wB时，没有载荷的斜直线段BC产生的挠度

P131~132例6-5已知：D＝80mm，d＝40mm，G＝210Gpa[w]D=0.0002l，[]B=0.001radF1＝3kN，F2＝2kN，校核主轴的弯曲刚度（l＝a+b梁的跨度）题目：主轴产生图b过大弯曲变形,影响加工精度,齿轮啮合不正常,轴承磨损不均,缩短寿命,规定刚度要求俯视图,车刀和齿轮位置在轴不同边,但切削工件时,工件受切削力F1和齿轮啮合力F2都向上,简图如右上图已知：D，d，G，[w]D，[]B，F1，F2。校核主轴的弯曲刚度F1作用，表6-2序号10F2作用，表6-2序号6许可挠度w]＝0.0002l＝0.0002×400＝0.08mm实际挠度实际转角刚度足够注意：①表6-2中公式前“-号，若两载荷挠度方向不同，应+-号叠加，但刚度计算结果取绝对值+号②单位：因为E-Gpa即kN/mm2，所以l-mm，Iz-mm4，力-kN，q-kN/mm，力矩-kmm

*§6-4静定和静不定问题P135静定和静不定的概念三个实例：轮轴，简图？受力图？车床卡盘上的工件，简图？受力图？两杆铰接受力，销钉B受力图?轮轴和工件,主动力?三个约束力?平面一般力系三个平衡方程,可求未知力。销钉B,汇交力系,亦可求如果未知力数目等于相应平衡方程式的数目，可以用平衡方程求解全部未知力，这样的问题称静定问题有时采用增加约束的方法提高构件的刚度或强度，轮轴,加一支座，工件,加尾座顶尖，铰接杆,加一杆相应简图?受力图?轮轴和工件,四约束力,一般力系三平衡方程,不可求解。铰接杆,三未知力,亦不可解未知力数目多于相应平衡方程式数目，只列平衡方程不能求解全部未知力，这样问题称为静不定问题为什么不能求解？以右图三杆铰接结构为例，说明只列平衡方程不能求解静不定问题的全部未知力在主动力F作用下，三杆件都伸长变形，使铰接点B发生位移，各杆变形量要保证接点B仍铰接一起如果增大其中一个杆件横截面积，或选择弹性模量较大的材料，该杆件的拉伸变形刚度EA增大了要使它伸长变形后仍和其他两杆铰接于位移后的B点，该杆的内力要增大，对节点B的约束力也要大反之，如果减小其中一个杆件的刚度，该杆对节点B的约束力也减小（其他两杆内力、约束力也变化）由此例可知，许多静不定结构的约束力，和构件或约束物体的刚度有关平衡方程没有考虑刚度对约束力的影响，所以，只列平衡方程，不能求解静不定结构的未知力图6-12怎样求解静不定未知约束力既要列平衡方程还要考虑增加约束的变形特点以图6-12a静不定梁为例这相当于在图6-12b所示静定的悬臂梁中，B端受力FB等于图6-12a支座B的约束力利用计算弯曲变形的叠加方法：如果没有支座B，在主动力F的作用之下，截面B的挠度为w1（图6-12c）有了支座B，在其约束力FB的作用之下，截面B的挠度为w2（图6-12d）在主动力F和约束力FB的共同作用之下，B