中科大机械工程力学教案07压杆的稳定条件

第七章压杆的稳定条件P139构件承载能力研究三个问题：强度、刚度、稳定性，前面讲的是强度、刚度问题，本章讲稳定性问题§7-1压杆的临界压力和临界应力一、压杆失稳的概念例长锯条是直杆Q23材料[]≈118MpaA=1×10=10mm2可受拉F=118×10=1180N≈118公斤如果这个杆件受压力，只要半公斤就弯曲，即使压力不太大，截面也有很大弯矩和应力，很容易拆断但是，如果是短杆，长度只有10mm，尽管截面积一样，仍能承受大致118公斤的压力细长杆件，受轴向压力作用不能维持原有的直线平衡状态而突然变弯,称为压杆失去稳定性，简称失稳条件之一：细长杆件，截面积小,长度大。短粗杆不会失稳，例如上述长度只有10mm的短杆不会失稳条件之二：受轴向压力才可能失稳，如果受拉力，即使是细长杆，甚至是细铁丝，越拉越直.不会失稳机械工程中的压杆:例千斤顶(作用?),托架的斜撑杆,活塞连杆,钢铁桁架桥梁各杆受力有拉有压,其中的压杆钢铁桁架桥梁最早在西方国家出现，早期不知失稳，仍按第五章轴向拉压计算强度，还没做好就倒塌Q235钢[]≈118Mpa失去稳定性A=1×10=10mm2压杆失稳细长杆件F=118×10受轴向压力=1180N≈118公斤后来才知道，细长杆受压不能只考虑强度计算，还要进行稳定性计算二、临界压力和临界应力的概念受轴向压力的杆件变弯，为什么叫做“失去稳定性”，这可以借用曲面上的圆球平衡状态来解释若球放最低位置能平衡,干扰力使球偏离,去干扰后球恢复原位置。所以球在最低位置的平衡称稳定平衡球放最高位置也能平衡,干扰力使球偏离,球永远不恢复原位置。所以球在最高位置的平衡称不稳定平衡细长压杆受轴向压力作用的平衡状态，和圆球在曲面高、低位置的平衡状态很相似若压力小,能平衡,干扰力使杆弯曲,去干扰后恢复原来直线平衡状态。和低球恢复原位一样,称稳定平衡若压力大,理论也能平衡,干扰力使弯曲,去干扰不恢复原直线状态。和高球不恢原位一样,称不稳定平衡所以，细长杆受很小的轴向压力时，处于直线平衡状态，和曲面最低位置的球一样，称为稳定平衡细长杆受很大的轴向压力时理论上也处于直线平衡状态和曲面最高位置的球一样称为不稳定平衡细长杆受大轴向压力突然变弯，和干扰力作用的高位置圆球滚落一样，称为失去稳定性

在理想的条件下，轴向压力F和压杆中间截面挠度wmax（解释什么是最大挠度?）的关系如图7-6所示F较小时，wmax=0，压杆处于稳定的直线平衡状态，如图中的OA段所示F较大，没有受干扰时，仍有wmax=0，压杆处于不稳定的直线平衡状态，如图中的AB段虚线所示在该段上的任一点D，压杆受微弯干扰即产生挠度，在AB段上的E点处于稳定的弯曲平衡状态D→E这个过程就是失稳由此可知,对于细长杆来说,稳定直线平衡或不稳定直线平衡取决于压力的大小,压力小,稳定；大,不稳定如果压力自零逐渐增大,小稳定,大不稳定。由稳定到不稳定间必然存在一分界点，称临界状态或临界点对应于临界状态的压力称为临界压力，用符号Fcr表示，图7-6中的A点临界状态，可以看作在压力逐渐增大过程中，稳定平衡的结束，不稳定平衡的开始临界压力，可以看作稳定平衡状态的最大压力，或不稳定平衡状态的至少压力杆件受临界压力时稍有干扰或压力偏心,杆件就突然弯曲甚至折断，所以临界压力是杆件的危险载荷在临界状态即压杆受临界压力时横截面上的平均应力称为临界应力用符号cr表示，即临界应力并不是截面上的真实应力，而是平均应力因为杆件初弯曲材料不均压力偏心等因素，临界状态杆件微弯，是压弯组合变形，截面应力不均匀影响临界压力和临界应力的因素P141①杆件的长度杆件越长，越容易弯曲，受轴向压力时容易失稳，临界压力和临界应力的数值就越小②弯曲刚度EI(书中的“抗弯刚度”应更为“弯曲刚度”)解释P1336-2弯曲变形公式挠度w?转角?分母EIz,因其值大变形小刚度好,P129EI弯曲刚度弯曲刚度EI数值越大抵抗弯曲变形的能力越强不容易弯曲失稳临界压力和临界应力的数值越大③杆端的支承情况图7-3所示托架下方的斜撑杆两端为铰链约束，弯曲变形时杆端可以转动，但不能移动这样压杆的支承情况称为两端铰支两端铰链支承的压杆简图如图图7-2千斤顶螺杆下端既不能转动又不能移动,是固定端约束:上端没有约束,既能转,又能移是自由端这样压杆的支承情况称为一端固定一端自由一端固定一端自由的压杆简图如图还有两端固定，简图？还有一端铰支一端固定，简图？杆端的约束不同，自由度不同，弯曲变形的难易程度不同，就影响压杆临界压力和临界应力的数值临界压力Ｆcr=crA两端铰支一端固定两端固定一端铰支l：相当长度一端自由一端固定：长度系数=1.0=2=0.5=0.7三、临界应力和临界压力的计算方法P142钢材压杆的临界应力和上述各影响因素关系如图7-7的ABCD图线所示，该图称为临界应力总图图中的纵坐标就是临界应力cr，横座标称为压杆的柔度柔度综合反映了压杆的支承情况、尺寸和截面形状对临界应力的影响，是一个无单位的量柔度的计算公式P142（7-1）式中：——与杆端支承情况有关的长度因数值见表7-1两铰?两固?铰固?固自?要求记住！l——压杆的长度i——压杆横截面的惯性半径l称为相当长度,例,长度为l一端固定一端自由压杆的cr与长度2l两端铰支压杆的cr相同……惯性半径的计算公式P142（7-2）式中：Iz——压杆横截面的惯性矩。圆截面Iz=？，矩形截面Iz=？A——压杆的横截面积。圆截面A=？，矩形截面A=？在总图中,水平AB斜直BC和双曲CD三段图线上各点的纵坐标表示不同柔度压杆的临界应力根据三段图线对应横坐标的三个范围将压杆分为三种类型分别称为小柔度杆中柔度杆和大柔度杆三类压杆之间的两个分界点柔度s和p的数值见P143表7-2，例Q235钢s=60，p=100实际柔度=p时压杆的临界应力等于材料的比例极限cr=p所以p又称为对应于比例极限的柔度=s时，临界应力等于材料的屈服点应力cr=s所以s是临界应力等于屈服点应力的最大柔度不同类型的压杆，临界应力与柔度关系的图线不同，临界应力的计算公式就不同1.小柔度杆的临界应力压杆柔度≤s是小柔度杆，又称短粗杆。这种压杆承载能力由强度条件决定，不存在失稳问题在形式上可以将材料压缩强度失效的应力作为压杆的临界应力，即图中的水平线AB所对应的纵坐标对于钢材压杆，临界应力等于材料的屈服点应力s；对于铸铁压杆，临界应力等于材料的抗压强度bc2.中柔度杆的临界应力压杆的实际柔度s≤≤p是中柔度杆，又称中长杆。这种类型的压杆存在失稳的问题在总图中斜直线BC各点的纵坐标表示这类压杆临界应力的数值这是中柔度压杆失稳实验测定结果该直线的方程就是中柔度杆临界应力的计算公式，称为经验公式，即cr=a-bP143（7-3）公式后有“s≤≤p”是说明它只适用于柔度值范围为s≤≤p的中柔度杆公式中a和b是与材料有关的常数，数值见P143表7-2，例Q235钢a=310MPa，b=1.14所以Q235钢临界应力的计算公式为cr=310-1.14，以不同的实际柔度代入计算cr的单位为MPa由临界应力总图可知，中柔度压杆的临界应力cr大于材料的比例极限p，较接近材料的屈服点应力s因为压杆失稳时微弯，截面应力是压缩和弯曲应力叠加，其中最大的应力有可能超过材料的屈服点s所以这类压杆失稳后卸载，杆件一般有弯曲塑性变形，不能恢复直杆，这类压杆失稳称为弹-塑性失稳3.大柔度杆的临界应力压杆柔度≥p是大柔度杆,又称细长杆。这类压杆临界应力更小，与同截面中柔度杆相比更容易失稳CD该曲线的方程就是大柔度杆临界应力的计算公式，称为欧拉公式，即P143（7-4）公式后有“≥p”是说明它只适用于柔度值范围为≥p的大柔度杆公式中E是材料的弹性模量。几种常用材料弹性模量的数值见P126表6-1。例钢材E≈200GPa是圆周率常数，3.141565，以不同的实际柔度代入，E用“MPa”为单位计算cr单位才是MPa由临界应力总图可知，大柔度压杆的临界应力小于材料的比例极限p，与中柔度杆相比cr比s小得多这类压杆失稳时，虽然横截面上压缩与弯曲叠加的应力也不均匀，最大应力一般不超过材料屈服点s所以这类压杆失稳后卸载，一般能恢复直杆，一般没有弯曲塑性变形，这类压杆失稳称为弹性失稳由于临界应力是压杆处于临界状态时横截面上的平均应力所以，各种类型压杆的临界压力Fcr均为Fcr=crAP143（7-5）三种类型的压杆，临界应力有三种不同的计算公式，临界压力只有一种公式P143~144例7-1三根矩形截面的压杆Q235钢E=200Gpab=4mm，h=40mml1=300mml2=200mml3=100mm求：Fcr1Fcr2Fcr3题目:计算柔度时,惯性半径,矩形截面有两个惯性矩和,用哪个?回忆§5-3节：计算矩形截面惯性矩和弯曲截面系数时，梁截面在主视图投影尺寸为3次方和2次方右下图,矩形截面b×h压杆失稳弯曲时,能显示其轴线弯曲成曲线的视图,即显示短的视图,是主视图所以，计算矩形截面惯性矩应为短边b3，即惯性矩应为这是因为，矩形截面压杆失稳时，必然在抗弯刚度EI较小的平面内弯曲计算惯性半径的惯性矩应取Iz和Iy中的较小值由于截面尺寸b<h，惯性矩较小者为①长度l1=300mm的压杆②长度l2=200mm的压杆③长度l3=100mm压杆i=1.15mmi=1.15mmFcr=cA=117×40=4680N注意E×103Fcr=211×40=8440NFcr=235×40=9400N小结：①计算临界应力和临界压力前,一定要先计算惯性半径和柔度,判断大中小柔度杆,才能选用公式②不同柔度的压杆,要用不同的临界应力cr计算公式不同柔度的压杆,临界压Fcr只一个公式③矩形截面压杆在I较小平面内失稳,记住其i计算公式，不要再由定义推导

§7-2压杆的稳定性校核P145压杆的工作压力不能等于或超过临界压力P145（7-6）其中[nst]>1，称为规定的稳定安全因数书P145，钢材,[nst]=1.8~3，铸铁,[nst]=5.0~5.5，木材,[nst]=2.8~3.2安全因数比强度计算大得多，是因为失稳有许多无法预计的偶然因素：压力偏心,材料不均,杆初曲度将上式移项P145（7