2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学第三次阶段试题及答案

2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学第三次阶段试题及答案本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器．选择题部分共40分一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A.C.B.D.【答案】A【解析】【分析】根据从上面看到的图形即可得到答案．【详解】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．2.下列说法中，正确的是（ꢀꢀ）A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB(ꢀꢀ).34453543A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，BCAB35cosB=故选C.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦是解题的关键．4.关于x的一元二次方程x26xm0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x26xm0有两个不相等的实数根，6241m0，解得：m＜9，∴m的值可能是：8．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有b24ac0，是解题的关键．两个不等的实数解，则5.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）1161323A.B.C.D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．,B,C【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：CAB小华\小丽ABCABAABACAABBBCCCCCB总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，31则她们恰好选到同一个宣传队的概率是=．93故选C【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．6.四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC．若测量员从四分仪中读得）交于点．图中，四分仪为正方形．H2ABCDBEFGAB10.5，实地测得为，为为方井为矩形BG．则井深为（A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】根据题意得出ABHFEH，代入数据即可求解．【详解】解：依题意，AB∥EF，∴ABHFEH，ABBH∴，EFEH∵测量员从四分仪中读得AB为1，为0.5，实地测得为．10.5∴EF2.50.5解得：EF4，BG4∴故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．k和7.在同一平面直角坐标系中，函数yk0)y(k0)的图像大致是（x）A.C.B.D.【答案】D【解析】【分析】分k0或k0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．kx【详解】解：当k0时，一次函数y1经过第一、二、三象限，反比例函数y位于第一、三象限；k当k0时，一次函数y1经过第一、二、四象限，反比例函数y位于第二、四x象限；故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握k0，图像经过第一、三象限，k0，图像经过第二、四象限是解题的关键．8.Ay,By,Cy点均在二次函数2x3y1y,y，的23yx的图象上，则123大小关系是（）yyyyyyyyyC.123A.B.D.321123yyy231【答案】D【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象的性质；根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x1，根据x1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵yx2x3x4，22∴图象的开口向上，对称轴是直线x1，x1时，y随x的增大而增大，关于对称轴的对称点为，A1∵64，∴B，y2yyy，312故选：D．9.ABCDBDEFBC，EGCD如图所示，E是正方形的对角线上一点，，垂足分别是F、G，若4，CF3，则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7【答案】C【解析】【分析】先用正方形的性质判断出△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判断出四边形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．【详解】解：如图，连接CE，ABCD∵四边形是正方形，BD是对角线，∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC，在△ABE和△CBE中ABCBCBE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠EGC=∠CFE=90°，∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，∴四边形EFCG是矩形，∴EF=CG=4，根据勾股定理得，CE=2CF2=5，CE=5．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及矩形的判定和性质，解决本题的关键是判断出AE=CE．10.如图，二次函数yaxbxc的图象经过点AB01,0，，与y轴交于点C．下列2结论：ac0x0时，y随x的增大而增大；③ac0abambm①；②当；④2．其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断；②由对称轴和函数的图像可以判断；③算出a和c的关系即可；④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断；【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)bxabc0∴对称轴2a∴b=-2a，c=-3a∵二次函数的图象开口向下∴a<0∴2a+b+c=-3a>0，∴ac＜0故①错误；bx1，∵二次函数的图象开口向下，对称轴2a∴当x>1时，y随x的增大而减小；故②错误；∵c=-3a∴3a+c=0，故③正确；由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=ambmc2∴abam2bm故④正确；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．非选择题部分共110分二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.关于x的方程2x【答案】x2=-2【解析】2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________．【分析】设方程的另一根为x，根据根与系数的关系可得x=-2，解答出即可．22【详解】解：设方程的另一根为x2，∵关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1，4则1×x2==-2，2解得x2=-2．故答案为：x2=-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：x，x是一元二次方程ax2+bx+c=012bac（a≠0）的两根时，x+x=1，x•x=1．22ayx103yx12.若，那么的值为_______．x7132【答案】##3【解析】xky10k，代入求解即可．【分析】设，yx10【详解】解：∵，3xky10k，∴设，yx10kk73∴，xk73故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握设“k”法是解题的关键．13.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是_______m.【答案】16【解析】ACAB的长．【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出BC8m【详解】解：∵迎水坡AB的坡比是1:3，坝高，BC81∴，ACAC3解得：AC83，则ABBCAC16（m）．22故答案为：16．AC【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．14.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段AB的黄金分割点（ACCB），AB，则BC______．（结果保留根号）【答案】555##555【解析】【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．点C51可看作是线段AB(CB)，AB的黄金分割点，51105，22故答案为：5．15.3x0的图象经过菱形OABC的顶点Cy，点B在轴上，过点如图，反比例函数yxyB作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若A60，则点D的坐标是____________________．32【答案】【解析】2312是等边三角形，从而表示点A的坐标为，a【分析】根据题意得出，根据2菱形的对称性表示出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式y2代入解析式即可求得点D的横坐标．进行计算即可求得菱形边长a2，把【详解】解：设菱形OABCA60，a的边长为，是等边三角形，13a，a点A的坐标为，22312Ca,a，23反比例函数yx0的图象经过菱形OABC的顶点C，x31aa3，22a2（负数舍去），菱形OABC的边长为2，D点的纵坐标为2，330得，2把y2代入yx，xx3解得x，23,2点D的坐标是．23,2故答案为：．2【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键．16.ABCD平分BCEEFAE，交CD于点F如图，在矩形中，，交于点，，以AE，EF为边，作矩形AEFG，与DA相交于点H．若CE3，AH4AE______．，则【答案】23【解析】【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的，ECFABE判定与性质，解答本题的关键是得到GAHCEF．首先证明推导出AEEF，结合矩形AEFG，推导出四边形AEFG为正方形，然后利用CEGAHFEC，GC，推导出，，进而得到GAHCEF4312．CE，代入数据得到2四边形ABCD是矩形，AD∥，CDABC90，，B90EFAE，，AEF90，AEBCEF90，CEF，平分，1CDEADC45，2在Rt中，CECD，在△ECF和中，BCCEABEABCEF，ECFABE，AEEF，在矩形AEFG中，，四边形AEFG为正方形，G90，\AG∥，，，GC又GAHCEF，CE，CE，AE4312，223，故答案为：23．三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11432tan45017.计算：．【答案】6【解析】【分析】根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．【详解】解：原式=413216．【点睛】本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数值是解题的关键．18.已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为、．，11（1）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形OA1B，使新图与原图相似比为12:1；（2）OA1B的面积为______．1【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质．（1）根据位似图形的性质即可求得新图形的坐标；（2）根据割补法即可得到OA1B的面积．1【小问1详解】解：如图所示OA1B即为所求，1；【小问2详解】1121S441432247解：．OA1B221故答案为：7．19.如图，点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，求DE的长．94【答案】【解析】AE【分析】证明△ADE∽△ABC，得到，代入数据即可求出DE的长．ACBC【详解】解：∵∠A=∠A，且已知∠ADE＝∠B，∴△ADE∽△ABC，AE∴∴，代入数据AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，ACBC1.5DE，239解得：DE=，49故DE的长为．4【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，属于基础题，熟练掌握相似三角形的性质及判定是解决本类题的关键．20.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y7yx2x2（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）．4（1）柱子OA的高度是______米；（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？7【答案】（1）4112（2）水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外2【解析】7yx2x2【分析】（1）OA在y轴上，中，令x=0，可得y即为OA；47yx2x2（2）水流落得最远时，落点在x轴上，在中，当y＝0时，47112x22x0，求得x1．4【小问1详解】7474yx2x2在中，令x=0，则y=，7∴柱子OA的高度为米；474故答案为；【小问2详解】74yx22x（2）在中，7x22x0，当y＝0时47x2-2x-0，474=-412-，211112∴x1，2112211∴1x，2·，22又∵x＞0，112∴解得x米．2112答：水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外．2【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0，解方程．21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．【答案】（1）证明见解析（2）40【解析】【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，则四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，在Rt△CDN中，由勾股定理得出方程，求出BN＝10，即可求解．【小问1详解】证明：∵AD∥BC∴∠DMO＝∠BNO∵MN是对角线BD的垂直平分线∴OB＝OD，MN⊥BD在△MOD和△NOB中DMOBNOMODNOBODOB∴△MOD≌△NOB（AAS）∴OM＝ON∵OB＝OD∴四边形BNDM∵MN⊥BD∴平行四边形BNDM是菱形．【小问2详解】解：∵四边形BNDM是菱形∴BM＝BN＝DM＝DN设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD即8+（16﹣x）＝x2+CN2＝DN2222解得：x＝10即BN＝10∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．22.鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanMC503米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：231.73）【答案】（1）1003米；（2）263米【解析】【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长；（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解．【详解】（1）由题意可得AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CMtan（2）如图，过点B作BH⊥MD，50321003(米);在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=10033∴DH=BH÷tan30°=1003÷=300米，3∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四边形ABHM是矩形∴MH=AB=50米∴CH=CM-MH=503-50(米)∴CD=DH-CH=300-（503-50）=350-503≈263（米）故河流的宽度CD为263米．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．23.“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为（2）补全条形统计图；度，图中m的值为；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．2【答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．3【解析】【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），4表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；208C级所占的百分比为×100%=40%，故m=40，20故答案为20，72，40．（2）故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），补全统计图，如图所示；（3）列表如下：男女女男（女，男）（女，男）（女，女）女女（男，女）（男，女）（女，女）所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名423男生和一名女生）==．6考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．24.k2xy1xby3如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的纵1坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D(0,2),tanAOC．3（1）求双曲线和直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，OCP的面积是的面积的3倍，求点P的坐标．（3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3yAB的解析式为yx2；【答案】（1）双曲线的解析式为，直线x(（2）（3）(0)(【解析】tan3求出点A的【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先根据和点A的横坐标为坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）根据题意先得出OC、OD和点B的坐标，再根据OCP的面积是的面积的3倍得出等式，即可求出P点坐标；（3）由（2）得，根据等边对等角得到OCD，再由等角的补角相ECDODB，故以点E，C，D为顶点构成的三角形与等得到相似有两种情况，分类讨论求解即可．【小问1详解】如图，过点A作AF⊥x轴于点F1AFtan3且点A的横坐标为33AF1(k双曲线y2过A点xk2313k解得3y双曲线的解析式为x(，D(0,2)代入直线y1xb得将1kbk1b211解得2b直线AB的解析式为：yx2【小问2详解】如图，连接OB、PO、PCyx20x2时，当C(0)2D(0,2)2点B的纵坐标为33x2x1BOCP的面积是的面积的3倍1121y3ODxPB212y321y3P即解得P223y3即xx1P(【小问3详解】由（2）得OCDECDD(0,2)，B3)，C(0)1(32)2，CD22222222ECD与①ECD相似有两种情况讨论如下：BD22即CECDCE22CE4E(0)②DCEBD22即CDCE22CE∴CE2E(0)(0)(综上，点E的坐标为．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．25.如图，抛物线yax2bx3交x轴于点A0和点，，交y轴于点C．B10（1）求抛物线的表达式；DNON（2）D是直线点D的坐标；AC上方抛物线上一动点，连接交AC于点N，当的值最大时，求（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使有点P的坐标；若不存在，请说明理由．是等腰三角形？若存在，请直接写出所【答案】（1）yx22x331524D，（2）；或2833或（3）点P的坐标为或21，．【解析】0)和B(0)yaxbx3，待定系数法求二次函数解析2【分析】（1）把点式即可求解；代入2m3∥yACD,m2AC的解（2）过点D作轴，交于点H，设，得出直线△OCN∽，根据相似三角形的性质yx3H(m,m△析式为，则，证明DN求得，进而根据二次函数的性质即可求解；ON（3）分BCP90，解即可．CBP90和BPC90，分三种情况结合勾股定理进行求【小问1详解】9ab30解：把点0)和B(0)代入得：，ab30a1解得：，b2∴抛物线的解析式为y【小问2详解】x22x3；∥yAC于点H，如图所示：解：过点D作轴，交2m3D,m2设，ACyb，直线的解析式为由（1）可得：，C3kb0∴，b3k1解得：，b3ACyx3的解析式为，直线H(m,m，m2m．∥y轴，OCN△∽，．m2m13132234m2mm．331a0，332DNON3m∴当时，的最大值是；4324D，此时；【小问3详解】解：∵yx2x3x24，2∴对称轴为直线x1，设，P，t∵B0C3，，∴BC321210，BP212t2t24，CP212t32t31；22当为直角三角形时，分三种情况进行讨论：①当BCP90时，由勾股定理，得：CP2，22410t31，2∴t283解得：t；8∴点P的坐标为，；3CBP90PB2，②当时，由勾股定理，得：CP22