高中数学必修二-点线面关系知识总结和练习题

高中数学必修二-点线面关系知识总结和练习题同学们在进入高中数学的学习后，会逐渐从平面几何迈入更为抽象的立体几何世界。“点、直线、平面之间的位置关系”是高中数学必修二的核心内容之一，它不仅是后续学习空间几何体表面积、体积以及解析几何等知识的基础，更是培养空间想象能力和逻辑推理能力的关键。本文将对这部分知识进行系统的梳理与总结，并配以适量的练习题，希望能帮助同学们更好地理解和掌握。一、知识总结与梳理1.平面的基本性质立体几何的研究离不开平面。我们可以将平面想象成一个无限延展、没有厚度的平整表面。*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（符号表示：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α）此公理是判断直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否为平面（如桌面是否平整）。*公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（符号表示：若A、B、C三点不共线，则存在唯一平面α，使得A、B、C∈α）此公理也称为“确定平面的公理”，它给出了确定一个平面的基本条件。由此可引申出：*一条直线和直线外一点确定一个平面。*两条相交直线确定一个平面。*两条平行直线确定一个平面。*公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（符号表示：若P∈α，且P∈β，则α∩β=l，且P∈l）此公理说明了两个平面相交的特征是它们有一条公共的交线，所有的公共点都在这条交线上。常用于证明点共线或线共点问题。2.空间中直线与直线之间的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：*相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。*平行直线：在同一平面内，没有公共点。*异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（注意：异面直线判定的关键在于“不同在任何一个平面内”，不能仅以“没有公共点”来判定，因为平行直线也没有公共点。）*公理4（平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c）此公理表明空间平行直线具有传递性，它是判断空间两条直线平行的重要依据。*等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。（推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。）等角定理为我们将空间角转化为平面角提供了理论依据。*异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。异面直线所成角的范围是(0°,90°]。3.空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种：*直线在平面内：有无数个公共点。（符号表示：a⊂α）*直线与平面相交：有且只有一个公共点。（符号表示：a∩α=P）*直线与平面平行：没有公共点。（符号表示：a∥α）*直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（符号表示：若a⊄α，b⊂α，且a∥b，则a∥α）此定理是判断直线与平面平行的主要方法，核心思想是“线线平行则线面平行”。*直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（符号表示：若a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b）此定理告诉我们，直线与平面平行后，可以得到线线平行的结论，常用于由线面平行推导线线平行。*直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。它们唯一的公共点P叫做垂足。*直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（符号表示：若m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n，则l⊥α）此定理将线面垂直的判定转化为线线垂直的判定，且强调“平面内”、“两条相交直线”。*直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。（符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b）*直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。直线与平面所成角的范围是[0°,90°]。4.空间中平面与平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有两种：*两个平面平行：没有公共点。（符号表示：α∥β）*两个平面相交：有一条公共直线。（符号表示：α∩β=l）*平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（符号表示：若a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β，则α∥β）此定理将面面平行的判定转化为线面平行的判定，核心是“线面平行则面面平行”，且需“两条相交直线”。*平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（符号表示：若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b）此定理是由面面平行推导线线平行的重要依据。*平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。（符号表示：α⊥β）*平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（符号表示：若l⊥α，l⊂β，则α⊥β）此定理将面面垂直的判定转化为线面垂直的判定，非常实用。*平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（符号表示：若α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l，则a⊥α）此定理是由面面垂直得到线面垂直的重要途径，常用于解决面面垂直条件下的线面垂直问题。*二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。二、练习题与参考答案（一）选择题1.给出下列四个命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面。其中正确命题的序号是（）A.②③B.①②③C.①②D.②③④2.若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m⊥α，n⊥α，则m∥nD.若m⊥α，m⊥n，则n∥α（二）填空题4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有________条。5.已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是________。（三）解答题6.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，AC的中点。求证：DE∥平面PBC。（请自行画出三棱锥P-ABC的示意图，D、E分别为AB、AC中点）7.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点。求证：平面PAC⊥平面PBC。（请自行画出圆O，AB为直径，C为圆周上一点，PA⊥圆O所在平面）8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，求直线A1B与平面BB1D1D所成的角。---参考答案（一）选择题1.A（解析：①错误，如平行四边形的四个顶点共面，但任意三点不共线；④错误，如平行四边形的四个顶点，任意三点不共线，但四点共面。）2.B（解析：直线a不平行于平面α，且a⊄α，说明直线a与平面α相交，因此平面α内不存在与a平行的直线。）3.C（解析：A选项，m与n可能相交、平行或异面；B选项，α与β可能相交或平行；D选项，n可能在α内或n∥α。）（二）填空题4.4（解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有BC、CD、B1C1、C1D1。）5.b∥α或b⊂α（解析：当b在α外时，b∥α；当b在α内时，也满足a⊥b，a⊥α。）（三）解答题6.证明：在△ABC中，因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC。又因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，由直线与平面平行的判定定理可得，DE∥平面PBC。7.证明：因为AB是圆O的直径，C是圆周上一点，所以∠ACB=90°，即AC⊥BC。又因为PA垂直于圆O所在的平面，而BC在圆O所在的平面内，所以PA⊥BC。因为AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC。又因为BC⊂平面PBC，所以由平面与平面垂直的判定定理可得，平面PAC⊥平面PBC。8.解：连接AC交BD于点O，连接A1O。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC。又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD。因为BB1∩BD=B，BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D。因此，A1O是A1B在平面BB1D1D上的射影，所以∠A1BO就是直线A1B与平面BB1D1D所成的角。设正方体棱长为a，则A1B=√(a²+a²)=√2a，BO=(1/2)BD=(1/2)√(a²+a²)=(√2/2)a。在Rt△A1BO中，sin∠A1BO=A1O/A1B。（此处应为sin∠A1BO=AO/A1B，A1O是斜边，AO是对边）AO=(1/2)AC=(√2/2)a。所以sin∠A1BO=(√2/2a)/(√2a)=1/2。所以∠A1BO=30°。即直线A1B与平面BB1D1D所成的角为30°。---希望这份知识总结和练习题能对同学们的学习有所帮助。在学习过程中，要