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文档简介

素能培优(九)数列中的构造问题求数列的通项公式时,构造法也是一种重要方法.其基本思想是根据数列递推公式的特征,通过构造转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘法求解的数列)解决问题.题型一形如an+1=pan+f(n)型考向1

an+1=pan+q(p≠0,1,且q≠0)型例1

(2025·山西晋中模拟)若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为(

)A.an=2n-1 B.an=2n-1-1C.an=2n+1-1 D.an=2n-2A

C

考向2

an+1=pan+qn+c(p≠0,1,且q≠0)型例2

(2025·广东大联考)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公式为

.

an=3n-2(n-1)

(方法二)因为an+1=3an+4n-6(n∈N*),所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)].因为a1=3,所以a1+2×(1-1)=3,所以数列{an+2(n-1)}是首项为3,公比为3的等比数列,则an+2(n-1)=3·3n-1=3n,所以an=3n-2(n-1).规律方法

满足an+1=pan+qn+c(p≠0,1,且q≠0)的数列{an}的通项公式的求法:设an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B),通过待定系数法确定A,B的值,转化成以a1+A+B为首项,p为公比的等比数列{an+An+B},再利用等比数列的通项公式求出{an+An+B}的通项,整理可得an.考向3

an+1=pan+qn(p≠0,1,且q≠0,1)型例3

(2025·江西宜春调研)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为an=(

)A.-3×2n-1

B.3×2n-1C.5n+3×2n-1

D.5n-3×2n-1D

(方法二)设an+1+k×5n+1=2(an+k×5n),则an+1=2an-3k×5n,与an+1=2an+3×5n比较可得k=-1,所以an+1-5n+1=2(an-5n),所以数列{an-5n}是首项为a1-5=-3,公比为2的等比数列,所以an-5n=-3×2n-1,所以an=5n-3×2n-1.故选D.

[对点训练2]已知数列{an}满足an+1=2an+4×3n-1,a1=-1,则数列{an}的通项公式为

.

an=4×3n-1-5×2n-1

题型二形如an+1=pan+qan-1型(相邻项的差为特殊数列)例4

(2024·江苏七市模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an.证明:(1){an+1-2an}是等比数列;(2)存在两个等比数列{bn},{cn},使得an=bn+cn成立.

解题思维链

规律方法

对于形如an+1=pan+qan-1型的递推关系式,可以化为an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两个根,若1是方

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