2026年上海数学卷高考真题及答案解析

2026年上海数学卷高考真题及答案解析一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）1.若集合A={2,1+a},且-1∈A,则a=___.【答案】-2

【解析】本题考查了集合中的元素的性质

A={2,a+1},且-1∈A

∴a+1=-1∴a=-2

故答案为-22.已知数列是等比数列,且,则.【答案】54【解析】本题考查了等比数列的性质

已知已知

故答案为：543.已知,则.【答案】

【解析】本题考查了三角函数的运算,二倍角公式

故答案为

4.已知事件A和事件B互斥,且P(A)=0.2,P(B)=0.5,则.【答案】0.7

【解析】本题考查了概率运算,互斥事件的概率

∵A与B互斥

故答案为0.75.函数f(x)是偶函数,当x≥0时,,若f(-4)=3,则a=____.【答案】-1

【解析】本题考查了函数的奇偶性,分段函数,求函数值

∵f(x)是偶函数,x≥0时

∵f(-4)=3,∴f(-4)=3,

,∴2-3=a,∴a=-1故答案为：-16.在的二项展开式中,项的系数为.【答案】10

【解析】

令10-r=7,∴r=3的系数为故答案为107.已知,则ab的最大值为.【答案】

【解析】本题考查了基本不等式求最值,注意等号成立的条件

,即

∴4ab≤1,

当且仅当时“=”成立

故ab的最大值为

故答案为.8.已知X的分布为,E[X]=0.5,则b=____.【答案】0.6

【解析】本题考查了分布列、期望.由分布列可得E(X)=(-1)×a+0×0.3+1×b=-a十b.∴-a+b=0.5①又∵a+0.3+b=1②由①②得:a=0.1,b=0.6.故答案为ab.9.已知等差数列,d为公差,为前n项和,至少有两项介于(0,1),则d的取值范围为____.【答案】

【解析】本题考查等差数列的求和公式;数列的单调性.

当n=1时,不在区间(0,1)内

当d≤0时,对任意n≥1时,都有,不符合题意.

则必有d＞0,对于n≥2时,,严格递增.

则只需,且

则10.已知两两不平行,若对任意的k∈R成立,则k=______.【答案】-6【解析】本题考查了平面向量共线定理,基础题.

由题意可得.

整理得.

∴k=-6.

故答案为-6.11.已知三角函数,若v==f(t),当v=0或v=4时其导数为0,初始速度为0,且速度第一次达到4时用时为0.1秒,求f(t)=____.【答案】【解析】本题考查了三角函数图象的性质,导数的几何意义,三角函数的实际应用.由三角函数在最高点和最低点处的导数为0,且当v=0或4时,其导数为0;

最低点取得v=0,最高点取v=4又初始速度为0及速度第一次达到4时,用时为0.1秒.

可得：周期T=2×0.1,则

又最低点取得v=0,最高点取得v=4

,

又

由题意可得,12.已知A,B,C为一椭圆4个顶点和2个焦点中任意三个,,则该椭圆的离心率为____.【答案】

【解析】本题考查了椭圆的性质、椭圆的离心率.由椭圆的对称性可得,A、B、C三点,必为椭圆的四个顶点、两个焦点中的三个点.AB,BC,AC应设为a+c,a,(可变顺序)

或者AB,BC,AC应设为a-c,a,(可变顺序)

又∵AB=5,,AC=3,且在椭圆中.a＞b,a＞c①②(舍)③,不满足④(舍)

故答案为.二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.a为不为1的任意实数,则

A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查了指数幂运算.

故选B.14.已知事件A、事件B为独立随机事件,事件C表示为事件A、B至少有一件发生,则.

A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查了随机事件的相互独立、对立事件、和事件等知识.

事件C为A,B至少有一个发生,

则为事件A发生,或事件B发生,或者二者都发生.

由集合并补关系,

可得：

故选C.15.对于任意两个复数z,w,如果满足“或,那么就称z与w伴随“品”中学生为,如果z与w伴随,则w-i与z+i伴随的充要条件是().A.Rez+Rew=0B.Rez-Rew=0C.Imz+Imw=0D.Imz-Imw=0【答案】C【解析】本题考查了复数的新定义,考查了复数的共轭.

设z=a+bi,w=c+di(a,b,c,d∈R)已知z与w伴随,z+w=a+c+(b+d)i∈R∴b+d=0z-w=a-c+(b-d)i∈R∴b-d=0若w-i与z+i伴随,w-i+z+i=w+z∈R可得:b+d=0w-i-(z+i)=w-z-2i=(a-c)+(b-d-2)i∈R可得∴b-d-2=0∴Imw+Imz=0故选C.16.如图,在一个空间直角坐标系中,存在一个正方体,其中A为坐标原点,将该正方体绕体对角线为旋转轴旋转一周,点C将经过()个卦限.

A.1

B.5

C.4

D.7【答案】A【解析】本题考查空间几何直观想象能力和立体几何的卦限.考查了圆的定义.过C作的垂线,垂足为H,因为直线面∴当点C绕对角线旋转时,其轨迹为以H为圆心,CH为半径的圆,该圆经过和建立如图:则=(1,1,1),C(1,1,0)

设H,,,则=,,

,,,设旋转后点的坐标为(x,y,z).

则令,解得,

圆H与xoz面有且只有一个交点

该方程组不存在y为负的解

同理,该方程不存在x为负数或z为负数的解

点C只经过第一卦限.故选A.三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17.某工厂为进行环境保护与改善,对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录,数据如下：(1)为进一步研究,从这9年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少?(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性,该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析,并请你判断相关系数在(-1,0),(0,1),(1,2)哪个区间内（直接写结论）.

(3)2023年前9年的年份(x)的平均数为2018,y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用,或y=a(x-2014)+83.743.已知2023年实际颗粒物浓度为3.88,则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？【答案】(1)(2)散点图,(0,1)(3),对于2023年预测值与实际值的差值绝对值更小.【解析】本题考查了统计知识,散点图、回归分析,考查了计算能力.

(1)由题意,设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件A,显然满足共有7年,故.

故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为.(2)选择散点图,r∈(0,1)

(3)由题意,设样本中心

≈33.499故33.499=a(2018-2014)+83.74,a≈-12.561y=-12.561(x-2014)+83.743

故x=2023时,此时差值绝对值为2.199y=-12.56(2023-2014)+83.743≈29.306差值绝对值为33.186＞2.199

故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.18.如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,PH⊥底面,AH=1,HD=4,AB=2.(1)证明:HC⊥PB;

(2)若四棱锥体积,求二面角C-PB-H的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】本题考查了立体几何的线面垂直,线线垂直,棱锥的体积,利用空间向量求二面角的大小.(1)过H作L∥AB,以H为原点,以HD,HP所在直线为x,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图)

H(0,0,0)C(2,4,0)B(2,-1,0)

设P(0,0,h),

∴HC⊥PB.(2)由题意：,

故,,,

设平面CPB的法向量为

则

令,则z=2

设平面PBH的法向量为

则

令x=1,则y=2,

设二面角C-PB-H为,

故二面角C-PB-H的大小为19.已知a∈R,函数

(1)已知f(1)=4,求的解集;

(2)a≠0,是f(x)在点(0,3)处的切线,是过点(0,3)且垂直于的直线,g(x)与、在第一象限内均无公共点,求的取值范围.【答案】(1)

(2)【解析】本题考查了解不等式,导数的几何意义,利用导数研究函数的性质,求参数的取值范围问题(1)由题意：x≠0.

.

.由,得

,解得x＞3或x＜1

又

不等式的解集为(2)由题意,

为y=ax+3,

为

故,在无解.即在内无解

不妨设

时,

故即a＜2,又

同理

综上:20.定义,、为的左右焦点

(1)求点(2,0)到渐近线的距离;

(2)P为上一点,,求的面积;

(3)设,其中或,过点的直线交于P、Q两点(分别位于一、四象限),过点直线m交于M、N两点(分别位于三、四象限),是否存在正数,对于任意的,都存在唯一的m,使成立,若存在,求出所有的,若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)(3)【解析】本题考查了双曲线与直线的位置关系,双曲线的渐近线、点到直线的距离,弦长公式,探究性题目.

(1)已知双曲线,则渐近线为

则点(2,0)到其中一条渐近线的距离d

∴(2,0)到渐近线的距离为(2)

设P(x,y)则①

.②

由①②得

(3)设

设,联立得

则,

设m：,

同理得,

得

且关于n是严格减函数,

对于任意的,,

,要存在唯一的m使成立.

只需

即得21.(i,j,k)是1,2,3的一个排列,对函数,对于任意,都有且,则称(i,j,k)是关于的一个排列,关于的排列总数记为.

(1)对,判断(3,1,2)是否为排列?

(2)对满足条件的,求的取值范围？

(3)对,且对任意,令,,证明:若F(x)严格减,则存在a＞0,使;若F(x)严格增,则存在;【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】本题考查函数的新定义,考查了分类讨论思想.

抽象函数的单调性,考查探索性思维的创新性.

(1)由题意：恒成立.

恒成立.

故且,

故(3,1,2)是T-排列.(2).,即任意排列皆成立.

故

对于任意上恒成立

设在处

故(3)对于F(x)严格减,由(2)易得,

若则必然有,

同理若则必然有,

故此时(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)必然成立,

故只需证明且即可.

不妨设,

由单调递减得单调递增,故单调递增,

由单调递增,且,

故必然存在,

即取,此时;设,

由得,

同理易得必然存在使得,

即取,此时;

故只需取a大于,必然有成立;

对于F(x)严格增,假设任意的,,

由(1,2,3)天然成立,故其余排列仅有一个成立,

若,则,

即,设,

故,

显然当足够大时,与矛盾,

故无法使恒成立,即(2,1,3),(2,3,1)显然皆不成立,舍;当(3,1,2)成立时,,则(