北师大版八年级下册数学第一章测试题

北师大版八年级下册数学第一章测试题同学们，经过一段时间对“三角形的证明”这一章的学习，想必大家对等腰三角形、直角三角形的性质与判定，以及线段垂直平分线、角平分线的相关知识有了一定的掌握。这份测试题旨在帮助大家检验学习成果，巩固所学知识，发现并弥补薄弱环节。请大家认真审题，仔细作答，相信你一定能交出一份满意的答卷！考试时间：一百分钟满分：一百分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级填写清楚。2.请将答案写在答题卷的对应位置上，在本试卷上作答无效。3.注意卷面整洁，字迹工整。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列命题中，是真命题的是（）A.有两边相等的三角形是等边三角形B.有一个角是60°的三角形是等边三角形C.三个角都相等的三角形是等边三角形D.有两个角互补的三角形是等腰三角形【考查点】等边三角形的判定，等腰三角形的判定，真命题。2.到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点【考查点】线段垂直平分线的性质。3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若BD=2，则BC的长为（）A.2B.3C.4D.5（此处应有示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，AD为顶角平分线，交底边BC于D）【考查点】等腰三角形的“三线合一”性质。4.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设（）A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中有一个内角等于60°C.三角形中三个内角都大于60°D.三角形中三个内角都小于或等于60°【考查点】反证法的步骤。5.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.两条直角边对应相等B.一条直角边和一个锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个内角对应相等【考查点】直角三角形全等的判定方法（HL,SAS,ASA,AAS）。6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB的长为（）A.4B.6C.8D.10（此处应有示意图：一个直角三角形ABC，直角顶点C，∠A为30°，对边BC=4）【考查点】直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半。7.已知线段AB和一点P，若PA=PB，则点P在（）A.线段AB的垂直平分线上B.线段AB的延长线上C.线段AB的垂直平分线的中点处D.以上都不对【考查点】线段垂直平分线的判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。8.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（）A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PC（此处应有示意图：射线OA,OB相交于O，OP是∠AOB的平分线，点P在OP上，PC⊥OA，PD⊥OB）【考查点】角平分线的性质定理及全等三角形的性质。9.下列命题的逆命题是真命题的是（）A.若a=b，则a²=b²B.全等三角形的周长相等C.若a=0，则ab=0D.有两边相等的三角形是等腰三角形【考查点】逆命题的概念及命题真假的判断。10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形共有（）个。A.1B.2C.3D.4（此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D）【考查点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理。二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________________________________。【考查点】逆命题的概念。12.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB上的中线CD=5，则AB=__________。【考查点】直角三角形斜边中线的性质。13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，若CD=2，则BD=__________。（此处应有示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，过D作AB垂线等辅助线示意可能更好，但原题可不带）【考查点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形性质。14.已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足(a-b)²+|b-c|=0，则△ABC的形状是__________三角形。【考查点】非负数的性质，等边三角形的判定。15.用尺规作图法作一个角等于已知角的依据是全等三角形判定方法中的“__________”（填判定方法的简写）。【考查点】尺规作图的原理，全等三角形的判定。16.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点E是AC上一点，且DE⊥AC，则DE的长为__________。（此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，D为底边BC中点，DE⊥AC于E）【考查点】等腰三角形的性质，勾股定理，等面积法（或相似三角形）。三、解答题（本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（6分）如图，已知AB=AD，BC=DC。求证：∠B=∠D。（此处应有示意图：一个四边形ABDC，连接了AC，形成两个三角形ABC和ADC，AB=AD，BC=DC）【考查点】全等三角形的判定（SSS）及性质。18.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE。求证：BE=CD。（此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，BD=CE，连接BE、CD）【考查点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定（SAS或ASA/AAS）。19.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=6。（1）求BC和AB的长；（2）说明△ABC是等腰直角三角形。（此处应有示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，∠A=45°，AC=6）【考查点】等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理。20.（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：BE=CF。（此处应有示意图：三角形ABC，AP平分∠BAC，MN垂直平分BC于D，P在MN上，PE⊥AB，PF⊥AC）【考查点】角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质。21.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB=AD+BC，求证：BE⊥AF。（此处应有示意图：梯形ABCD，AD平行于BC，E为CD中点，AE延长线交BC延长线于F）【考查点】全等三角形的判定（AAS/ASA），等腰三角形的“三线合一”性质。22.（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°。（1）用尺规作图法作△ABC的角平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，AB=10，求点D到AB的距离。（此处应有示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10）【考查点】尺规作图（角平分线），角平分线的性质，三角形面积法。---参考答案与解析一、选择题1.C解析：等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形，或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。A选项少“等角”条件，B选项少“等腰”条件，D选项两个角互补与等腰三角形无直接必然联系。2.D解析：三角形三边垂直平分线的交点是外心，它到三个顶点的距离相等。3.C解析：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。所以AD也是BC边上的中线，故BC=2BD=4。4.C解析：反证法先假设结论不成立，“至少有一个”的反面是“一个都没有”，即“三个内角都大于60°”。5.D解析：D选项“斜边和一个内角对应相等”，若这个内角一个是锐角一个是直角，则无法判定全等。A(SAS)，B(AAS/ASA)，C(HL)均可判定。6.C解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。BC所对的角是∠A=30°，所以AB=2BC=8。7.A解析：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.D解析：由角平分线性质知PC=PD(A正确)，可证△OCP≌△ODP，得OC=OD(B正确)，∠CPO=∠DPO(C正确)。OC与PC不一定相等。9.D解析：A的逆命题“若a²=b²，则a=b”是假命题；B的逆命题“周长相等的三角形全等”是假命题；C的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题；D的逆命题“等腰三角形有两边相等”是真命题。10.C解析：△ABC（AB=AC），△ABD（AD=BD），△BCD（BD=BC），共3个等腰三角形。二、填空题11.有两个角相等的三角形是等腰三角形解析：交换原命题的题设和结论。12.10解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故AB=2CD=10。13.4解析：过D作DE⊥AB于E，则CD=DE=2。在Rt△BDE中，∠B=30°，所以BD=2DE=4。14.等边解析：由非负数性质得a-b=0且b-c=0，即a=b=c。15.SSS解析：尺规作一个角等于已知角，是利用圆规截取相等的边，构造全等三角形。16.12/5或2.4解析：连接AD，AD⊥BC（三线合一），AD=4。S△ADC=(AD×DC)/2=(AC×DE)/2，即(4×3)/2=(5×DE)/2，解得DE=12/5。三、解答题17.证明：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD（已知），BC=DC（已知），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SSS）。∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）。18.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）。∵BD=CE（已知），∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE。在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已证），∴△ABE≌△ACD（SAS）。∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）。（或证△BCE≌△CBD，SAS）19.解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=∠A=45°。∴AC=BC（等角对等边）。∵AC=6，∴BC=6。根据勾股定理，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+6²)=√72=6√2。（2）∵AC=BC，∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形。20.证明：连接PB、PC。∵P在BC的垂直平分线上，∴PB=PC（线段垂直平分线上点到线段两端距离相等）。∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF（角平分线上点到角两边距离相等），∠PEB=∠PFC=90°。在Rt△PEB和Rt△PFC中，PB=PC（已证），PE=PF（已证），∴Rt△PEB≌Rt△PFC（HL）。∴BE=CF（全等三角形对应边相等）。21.证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F（两直线平行，内错角相等），∠ADE=∠FCE（两直线平行，内错角相等）。∵E是CD的中点，∴DE=CE（中点定义）。在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）。（2）由（1）知△ADE≌△FCE，∴AD=FC，AE=FE（全等三角形对应边相等）。∵AB=AD+BC，∴AB=FC+BC=BF。在△ABF中，AB=BF，AE=FE，∴BE⊥AF（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）。22.解：（1）作图痕迹（略