教学材料《建筑力学》-模块6

任务6-1重心和形心６.１.１重心的概念地球上的任何物体都受到地球引力的作用,这个力称为物体的重力.可将物体看作是由许多微小部分组成的,每一微小部分都受到地球引力的作用,这些引力汇交于地球中心.但是,由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多,因此,这些引力可近似地看成是空间平行力系.这些平行力系的合力就是物体的重力.由实验可知,无论物体在空间的方位如何,物体重力的作用线始终是通过一个确定的点,这个点就是物体重力的作用点,称为物体的重心.下一页返回任务6-1重心和形心６.１.２重心的坐标公式为确定物体重心的位置,将物体看作由微体积ΔV１,ΔV２,ΔV３,...,ΔVn组成,物体的总体积为

设每一微体积单位体积的重力为γi,则ΔV１的重力为γ１ΔV１,ΔV２的重力为γ２ΔV２,...,ΔVn的重力为γnΔVn.取直角坐标系如图６—１所示,其中y轴铅垂向上,ΔV１的作用点位置为C１,ΔV２的作用点位置为C２,...,ΔVn的作用点位置为Cn.各微体积的重力作用线均平行于y轴,视为分力.则物体所受的重力的合力为上一页下一页返回任务6-1重心和形心

根据合力矩定理,可以求得合力作用点(即重心)的位置,即对x轴取矩:上一页下一页返回任务6-1重心和形心当将物体视为刚体时,无论物体在空间中处于何种位置,或物体如何放置,其重心在物体内的位置都是固定的.因而,若将图６—１中的空间坐标系绕z轴旋转９０°(图６—２)时,可得重心在y轴方向的位置.对于均质物体,微体积单位体积的重力相等,即γ＝γ１＝γ２＝γ３＝...＝γn,由式(６—１)~式(６—３)可得均质物体的重心坐标公式为上一页下一页返回任务6-1重心和形心由式(６—４)可以算出,均质物体的重心与重力无关.所以,均质物体的重心就是其几何中心,称为形心.对于均质物体,其重心和形心重合在一点上.如果将物体分割的份数无限多,且每份的体积无限小,在极限情况下,则式(６—１)~式(６—３)可写成积分形式.式中dW———物体微小部分的重量(或所受的重力);x、y、z———物体微小部分的空间坐标;上一页下一页返回任务6-1重心和形心W———物体的总重力.对于均质物体,形心坐标公式式(６—４)也可写成积分形式为

式中dV———均质物体微小部分的体积;x、y、z———物体微小部分的空间坐标;V———均质物体的总体积.对于均质、等厚的薄平板,在计算形心坐标时,可将坐标面xOy建立在与板平行的板的中间平面上(图６—３),用δ表示其厚度,ΔAi表示微面积,则由式(６—４)得形心坐标计算公式如下:上一页下一页返回任务6-1重心和形心６.１.３平面图形的形心形心就是物体的几何中心.当平面图形具有对称轴或对称中心时,则形心一定在对称轴或对称中心上.若平面图形是一个组合平面图形,则可先将其分割为若干个简单图形,然后可按式(６—７)求得其形心的坐标,这时公式中的ΔAi为所分割的简单图形的面积,而yi、zi为其相应的形心坐标,这种方法称为分割法.上一页下一页返回任务6-1重心和形心另外,有些组合图形,可以看成从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成,如果将挖去的面积用负面积表示,则仍可应用分割法求其形心坐标,这种方法又称为负面积法.上一页返回任务6-2静矩６.２.１静矩的定义如图６—６所示,任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)乘积的总和,称为该平面图形对z轴(或y轴)的静矩,用Sz(或Sy)表示,即Sz＝∫AydA,Sy＝∫AzdA(６—９)式(６—９)也称作平面图形对z轴和y轴的一次矩,或面积矩.从式(６—９)可知,平面图形的静矩是对某一轴而言的,同一平面图形对不同的坐标轴,其静矩不相同.静矩的值可能为正,可能为负,也可能等于零.静矩的量纲是长度的三次方,常用单位为m３或mm３.下一页返回任务6-2静矩６.２.２形心与静矩的关系图６—６中,C为截面的形心,yC、zC为形心坐标.由前述第一节的形心坐标公式,结合式(６—９)可以得到yC＝Sz/A,zC＝Sy/A(６—１０)式(６—１０)也可改写成Sz＝A.yC,Sy＝A.zC(６—１１)式(６—１１)表明,平面图形对z轴(或y轴)的静矩,等于图形的面积A乘以形心的坐标yC(或yz).若静矩Sz＝０,则yC＝０;Sy＝０,则zC＝０.所以,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心;反之,若某一轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩必等于零.上一页下一页返回任务6-2静矩工程实际中,有些杆件的截面是由矩形、圆形、三角形等简单几何图形组合而成的,称为组合截面.组合截面对某轴的静矩等于各简单几何图形对该轴静矩的代数和,即:

式中n———简单几何图形的个数;Ai———第i个几何图形的面积;yci,zci———第i个几何图形的形心坐标.上一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径６.３.１惯性矩、惯性积、惯性半径１.惯性矩如图６—８所示,任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)平方乘积的总和,称为该平面图形对z轴(或y轴)的惯性矩,用Iz(或Iy)表示,即Iz＝∫Ay２dAIy＝∫Az２dA(６—１３)式(６—１３)表明,惯性矩恒为正值.其常用单位为m４或mm４.下一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径２.惯性积如图６—８所示,任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、y乘积的总和,称为该平面图形对z、y两轴的惯性积,用Izy表示,即Izy＝∫AzydA(６—１４)惯性积可为正,可为负,也可为零.其常用单位为m４或mm４.可以证明,在两正交坐标轴中,只要z、y轴之一为平面图形的对称轴,则平面图形对z、y轴的惯性积就一定等于零.上一页下一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径３.惯性半径在工程中,为了计算方便,将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积,即

式中,iz、iy为平面图形对z、y轴的惯性半径,其常用单位为m或mm.上一页下一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径(４)简单图形(图６—９)的惯性矩及惯性半径.１)简单图形对形心轴的惯性矩[由式(６—１３)积分可得]型钢的惯性矩可直接由型钢表查得.上一页下一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径２)简单图形的惯性半径上一页下一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径６.３.２惯性矩的平行移轴公式１.惯性矩的平行移轴公式同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不相同的,但它们之间存在着一定的关系.现给出图６—１０所示平面图形对两个相平行的坐标轴的惯性矩之间的关系.Iz＝IzC＋a２AIy＝IyC＋b２A(６—１６)式(６—１６)称为惯性矩的平行移轴公式.它表明平面图形对任一轴的惯性矩,等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩再加上其面积与两轴间距离平方的乘积.在所有平行轴中,平面图形对形心轴的惯性矩为最小.上一页下一页返回任务6-3惯性矩、惯性积与惯性半径２.组合截面惯性矩的计算组合图形对某轴的惯性矩,等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩之和.６.３.３形心主惯性轴和形心主惯性矩若截面对某坐标轴的惯性积Izoyo＝０,则这对坐标轴zo、yo称为截面的主惯性轴,简称主轴.截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩,简称主惯矩.