【高中解析几何中的切线问题分析概述3300字】

高中解析几何中的切线问题分析概述目录TOC\o"1-3"\h\u529高中解析几何中的切线问题分析概述 192561.1圆的切线问题 1196371.2椭圆的切线问题 3276521.3抛物线的切线问题 9130221.4双曲线的切线问题 11切线在解析几何中没有给出定义,在导数中借助极限给出了其定义在解析几何中,只是直观表象,直线和圆或者圆锥曲线只有一个交点,那么该直线就是圆或者圆锥曲线的切线.因此,此求解切线方程的方法就是判别式法,即把直线的方程代到圆或者圆锥曲线的方程当中,消去或,得到关于或的一元二次方程,其判别式等于零,在导数当中,导数的几何意义是过切点的导数值就是该切线的斜率，其切线方程是自2004年,导数走进新教材,切线问题在高考试题当中就成为热点,时常出现在高考试题当中,这类问题,采用判别式法,其技巧性非常高,主要使用导数方式方法，应该使用复合函数有关求导法则,所以切线问题,又是高考的难点,不少学生高中毕业了,也没有弄明白切线方程如何求,这需要同学们足够重视,反复练习,才能够真正掌握这一考点.1.1圆的切线问题例题1如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；(2)设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；(3)设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围.解法：圆的标准方程为，所以圆心，半径为5.(1)由圆心在直线上，可设.因为圆与轴相切，与圆外切，所以，于是圆的半径为从而解得因此，圆的标准方程为(2)因为直线,所以直线的斜率为.设直线的方程为即则圆心到直线的距离因为而所以解得或故直线的方程为或(3)设因为,所以①因为点在圆上，所以②将①代入②，得于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以解得因此，实数的取值范围是1.2椭圆的切线问题例题2已知椭圆的一个顶点为右焦点为,且, 其中为原点.(1)求出椭圆的方程；(2)当点满足且点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点,同时为线段的中点，求出直线的方程.分析：（1）由题意，并借助可求出椭圆的方程；(2)利用直线与圆相切，得到,设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据,求出直线的斜率，从而得解.解法：（1）椭圆的一个顶点为由得，又由得所以，椭圆的方程为（2）直线与以为圆心的圆相切于点,所以根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为即，消去可得解得或将代入得所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为所以点的坐标为由得点的坐标为，所以，直线的斜率为又因为所以整理得解得或.所以，直线的方程为或教法研析：此题主要培养了学生对椭圆标准方程的求解能力，中点坐标公式、直线和圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系以及直线垂直关系的应用能力，在培养学生的运算求解能力当中，属于中档题.当看到题目当中出现直线和圆锥曲线位置关系问题时，就需要首先引导学生联立圆锥曲线与直线的方程组.例题3假设椭圆的左焦点为,而左顶点为，上顶点为，已知(为原点)，求出椭圆的离心率;经过点并且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,圆同时跟轴和直线相切,圆心在直线上,并且,求出椭圆的方程.分析：此题主要考查椭圆的标准方程以及圆、直线方程、几何性质等基础知识,考查通过代数方法研究圆锥曲线性质的能力,同时考查运算求解能力和用数形结合思想、方程思想解决问题的能力.解法：设椭圆的半焦距为，由已知条件可得，又根据，消去可得出得到所以椭圆的离心率为根据（1）可得所以则椭圆方程为根据题意可知则有直线的方程为消去并化简可得，解出，代入的方程中，可得由于点在轴上方，则点又由于圆心在直线上，则可以假设，与（1）可知，所以，解得，又由于圆与轴相切，所以可知圆的半径为2，又因为圆与相切可知，得即椭圆的方程为例题4已知椭圆的一个焦点为，同时离心率为求出椭圆的标准方程；当动点为椭圆外一点，并且点到椭圆的两条切线相互垂直，求出点的轨迹方程.解法：（1）可知，又,椭圆的标准方程为.得因为直线与椭圆相切，所有得所以是方程的一个根.同理是方程的另一个根.得其中所以点的轨迹方程为所以点的轨迹方程为因为满足上式.，综上知：点的轨迹方程为例题5在平面直角坐标系当中，当椭圆的离心率为，焦距为2时，求出椭圆的方程；如图，当动直线交椭圆于两点时，是椭圆上一点，直线的斜率为，并且是线段延长线上的一点，并且,⊙的半径为是⊙的两条切线，切点分别是.求出的最大值，并求出取得最大值时直线的斜率.分析：（1）此小题根据可得.联立方程组化简得到一元二次方程再应用韦达定理，应用弦长公式进而确定及圆的半径表达式.进而求得直线的方程并与椭圆方程联立方程组，确定得到的表达式，并研究其取值范围.在这个过程中，可以考虑利用换元的思想，应用二次函数的性质及其基本不等式.解法：（1）由题意知所以因此椭圆的方程为设联立方程得根据题意可知，且所以根据题意可知圆的半径为.再根据题设可知所以所以直线的方程为联立方程可得因此根据题意可知而令则有所以当且仅当即时等号成立，所以，即因此所以最大值为综上所述：的最大值是取得最大值时直线的斜率是教法研析：以上三题使学生掌握了椭圆的几何性质和标准方程；二次函数的性质和图像，圆锥曲线与直线的位置关系.以上三题主要还培养了学生计算能力.解答此类型题目时，首先要引导学生学会利用的关系，确定好椭圆（圆锥曲线）的方程，随之联立椭圆方程与直线方程的方程组，利用一元二次方程系数和根的关系，求出“目标函数”的解析式，同时指导学生学会应用确定函数最值的方法，例如求导、基本不等式以及二次函数等方式求解.此题具有复杂式子的变形，容易导致较多错误.以上三题能够较好的培养学生的运算求解能力、分析问题解决问题的能力以及逻辑思维能力等.1.3抛物线的切线问题例题6已知点为抛物线的焦点，且点在抛物线上，满足（1）求出抛物线的方程；（2）当点延长交抛物线于点,求证以点为圆心并且与直线相切的圆，必然与直线相切.解法：（1）由抛物线的定义得因为即解得所以抛物线的方程为（2）（方法一）因为点在抛物线上，所以由抛物线的对称性，不妨设由可得直线的方程为由得解得或从而又所以即从而这说明点到直线的距离是相等，所以以为圆心并且和直线相切的圆必然和直线相切.（方法二）假设以点为圆心并且与直线相切的圆的半径为由于点在抛物线上，可得根据抛物线的对称性，不妨假设由抛物线的对称性，不妨设由可得直线的方程为由，得，解出或进而又所以直线的方程为故又因为直线的方程为可得点到直线的距离是这说明以点为圆心并且和直线相切的圆必定和直线的距离是这说明以点为圆心并且和直线相切的圆必定和直线相切.例题7在直角坐标系当中，当曲线与直线交于两点时（1）若，分别求出曲线在分别在点处的切线方程;（2）问轴上是否存在一点，当变动时，依然成立?并说明理由.解法：（1）由题设可得或又故在处的导数值为在点处的切线方程为，即由对称性可知在点处的切线方程为，故所求切线方程为和.（2）存在符合题意的点，证明如下：假设是符合题意的点，且直线的斜率分别是把代入到的方程可知从而当时，有，则有直线的倾角和直线的倾角互补，则有,即点符合题意.1.4双曲线的切线问题例题8设点在直线上，过点作双曲线的两条切线,切点为,定点过点作直线的垂线，垂足为,试求的重心所在的曲线方程；求证：三点共线.解法：（1）设直线则设则解得，代入双曲线方程并整理得即点所在曲线方程为(2)设斜率为，则切线的方程为：由，消去并整理得：因为直线与双曲线相切，从而，及解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，即点都在直线上，又也在上，又也在上，三点共线.教法研析：在引导学生解决解析几何的切线问题时，需要提前让学生掌握几种特殊曲线的标准方程以及其性质，之后充分挖掘题目中所给的信息进而写出曲线方程的表达式，同时需要指导学生通过直线与抛物线、双曲线、圆、椭圆的垂直关系，联立直线与圆锥曲线的方程组，进而得到新的解