拉普拉斯变换及其性质2

拉普拉斯变换及其性质第1页，共31页。拉普拉斯变换及其性质第2页，共31页。它是

+j

的函数，可以写为

设函数

f

(t)e–t

满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有F(

+j

)的傅里叶反变换为即5.1拉普拉斯变换3第3页，共31页。二．拉普拉斯变换的定义s=

+j

，s为一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。5.1拉普拉斯变换4第4页，共31页。正变换反变换记作，称为原函数，称为象函数采用系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号所以5.1拉普拉斯变换5第5页，共31页。三拉氏变换的收敛域

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1拉普拉斯变换6第6页，共31页。例信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标

0)解:要使该式成立，必须有

>

–

，故其收敛域为全s平面，

0=

–

。

>0时该式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，

0=

0。

>0时上式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，

0=

0。要使该式成立，必须有a+

>

0，即

>

–

a。故其收敛域为

–

a以右的开平面，

0=

–

a。7第7页，共31页。四．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛

3.单位冲激信号8第8页，共31页。4．幂函数tnu(t)四．一些常用函数的拉氏变换9第9页，共31页。5．正余弦信号收敛域收敛域四．一些常用函数的拉氏变换10第10页，共31页。6．衰减的正余弦信号收敛域收敛域四．一些常用函数的拉氏变换11第11页，共31页。5.2拉普拉斯变换的基本性质线性性质延时特性尺度变换特性复频移特性时域微分定理时域积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理卷积定理12第12页，共31页。一．线性性质解：例：已知求的拉普拉斯变换若为常数则13第13页，共31页。二．延时特性（时域平移）若则注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质14第14页，共31页。例：已知求因为所以解：二．延时性质（时域平移）15第15页，共31页。解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二．延时性质（时域平移）16第16页，共31页。只有信号可以用延时性质二．延时性质（时域平移）17第17页，共31页。时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。

结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以

例：周期冲击序列的拉氏变换为二．延时性质（时域平移）18第18页，共31页。例解：已知s)F((ttu(t)f求,1)-=解：例二．延时性质（时域平移）19第19页，共31页。三．尺度变换时移和尺度变换都有:若则20第20页，共31页。四．复频移特性（s域平移）若则例：求的拉氏变换解：21第21页，共31页。五．时域微分定理推广：若则22第22页，共31页。六．时域积分定理①②若则因为第一项与t无关，是一个常数23第23页，共31页。例：求图示信号的拉普拉斯变换

求导得

所以

解：六．时域积分定理24第24页，共31页。七．s域微积分定理若则取正整数证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得若则25第25页，共31页。七．s域微积分定理例解：因为所以26第26页，共31页。八．初值定理和终值定理若和拉氏变换存在，且则为真分式终值存在的条件:若的拉氏变换存在，且则初值定理

的所有极点有负实部终值定理初值存在的条件:当t<0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项27第27页，共31页。由时域微分定理可知所以初值定理证明：所以八．初值定理和终值定理28