最优资产组合选择

最优资产组合选择第1页，共34页。4.1证券组合的收益与风险一、证券组合的收益

1、投资于两种证券的预期收益投资者将资金投资于1、2两种证券，则两种证券投资组合的预期收益率等于各个证券预期收益率的加权平均值，用公式表示为：

rp=W1r1+

W2r2

W1=证券1的投资比例W2=证券2的投资比例

r1=证券1的预期收益r2=证券2的预期收益

W1+

W2=12、投资于三种证券的预期收益rp=W1r1+

W2r2+W3r3第2页，共34页。4.1证券组合的收益与风险

3、投资于多种证券的预期收益证券投资组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式表示如下：

rP=∑Wiri

E（rP）=∑WiE（ri）其中：rP代表证券投资组合的收益率；Wi是投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数；ri是证券i的收益率；E（rP）代表证券投资组合的预期收益率；E（ri）是证券i的预期收益率。第3页，共34页。二、证券组合的风险1、投资于两种证券的风险

p2

=w12

12+w22

22+2W1W2Cov(r1r2)W1=资产1的投资比例；W2=资产2的投资比例

s12=资产1的方差；s22=资产2的方差

Cov(r1r2)=资产1与资产2的协方差4.1证券组合的收益与风险

证券组合的风险不能简单地等于单个证券风险以投资比重为权数的加权平均数，因为两个证券的风险具有相互抵消的可能性。引入了协方差和相关系数的概念（第三章已讲授）。第4页，共34页。2、投资于三种证券的风险

2p=W12

12+W22

12+2W1W2

Cov(r1r2)+W32

32

Cov(r1r3)+2W1W3

Cov(r2r3)+2W2W34.1证券组合的收益与风险

第5页，共34页。3、投资于多种证券的风险（略）4.1证券组合的收益与风险

第6页，共34页。例题1

预期收益率=0.3×8%+0.7×18%=15%/年。标准差=0.7×28%=19.6%/年

你管理一种预期回报率为18%和标准差为28%的风险资产组合，短期国债利率为8%。1.你的委托人决定将其资产组合的70%投入到你的风险资产组合中，另外30%投入到货币市场的短期国库券基金，则该资产组合的预期收益率与标准差各是多少？第7页，共34页。投资于国库券：30.0%投资于股票A：0.7×25%=17.5%投资于股票B：

0.7×32%=22.4%投资于股票C：

0.7×43%=30.1%2.假设风险资产组合包括下面给定比率的几种投资，股票A：25%股票B：32%股票C：43%那么你的委托人包括短期国库券头寸在内的总投资中各部分投资比例各是多少？你的风险回报率=(18-8)/28=0.3571客户的风险回报率=(15-8)/19.6=0.3571

3.你的风险资产组合的风险回报率是多少？你的委托人的呢？第8页，共34页。E(r)斜率=0.357118P15委托人019.628

4.在预期收益与标准差的图表上作出你的资产组合的资本配置线(CAL)，资本配置线的斜率是多少？在你的基金的资本配置线上标出你的委托人的位置。

第9页，共34页。a.资产组合的预期收益率=rf+(rp-rf)y=8+l0y，如果资产组合的预期收益率等于16%，解出y得：16=8+l0y，y=(16-8)/10=0.880%风险资产组合，20%国库券。b.客户资金的投资比例：20%投资于国库券0.8×25%=20.0%，投资于股票A0.8×32%=25.6%，投资于股票B0.8×43%=34.4%，投资于股票Cc.标准差=0.8×σp=0.8×28%=22.4%5.假如你的委托人决定将占总投资预算为y的投资额投入到你的资产组合中，目标是获得16%的预期收益率。a.y是多少？b.你的委托人在三种股票上和短期国库券基金方面的投资比例各是多少？c.你的委托人的资产组合回报率的标准差是多少？第10页，共34页。a.资产组合标准差=y×28%。如果客户希望标准差不超过18%，则y=18/28=0.6429=64.29%。b.预期收益率=8+10y=8+0.6429×10=8+6.429=14.429%

6.假如委托人想把他投资额的y比例投资于你的基金中，以使他的总投资的预期回报最大，同时满足总投资标准差不超过18%的条件。a.投资比率y是多少？b.总投资预期回报率是多少？a.E(r)=8%=5%+y(11%-5%)，y=(8-5)/(11-5)=0.5b.σC=yσp=0.50×15%=7.5%7.假定：E（rP）=11%，δP=15%，rf=5%。a.投资者要把她的投资预算的多大比率投资于风险资产组合，才能使她的总投资预期回报率等于8%？她在风险资产组合P上投入的比例是多少？在无风险资产方面又是多少？第11页，共34页。例题2一位基金经理正在考虑三种基金：股票基金、债券基金和回报率8%的货币市场基金。风险基金的概率分布如下：期望收益率标准差股票基金（S）20%30%债券基金（B）12%15%

基金回报率间的相关系数ρ=0.10。1.两种风险基金的最小方差资产组合的投资比例是多少？该组合回报率的期望值与标准差各是多少？第12页，共34页。1.机会集合的参数为：E(rS)=20%，E(rB)=12%，σS=30%，σB=15%，ρ=0.10，协方差距阵Cov(rS，rB)=ρσSσB：债券股票债券22545股票45900

最小方差资产组合可由下列公式推出：wMin(S)=[σ2B-Cov(B，S)]/[σ2S+σ2B-2Cov(B，S)]=(225-45)/(900+225-2×45)=0.1739wMin(B)=0.8261最小方差资产组合均值和标准差为：E(rMin)=0.1739×20+0.8261×12=13.39%Min=[W2Sσ2S+W2Bσ2B+2WSWBCov(S，B)]1/2=[0.17392×900+0.82612×225+2×0.1739×0.8261×45]½=13.92%

第13页，共34页。

股票债券预期收益率标准差

0.00%100.00%12.0015.0017.39%82.61%13.3913.92最小方差20.00%80.00%13.6013.9440.00%60.00%15.2015.7045.16%54.84%15.6116.54切线资产组合60.00%40.00%16.8019.5380.00%20.00%18.4024.48100.00%0.00%20.0030.00

制表并画出这两种风险基金的投资机会集合，股票基金的投资比率从0%到100%按照20%的幅度增长。第14页，共34页。4.2证券组合理论模型的假定证券组合理论的假定：1．投资者认为，每一个投资选择都代表一定持有期内预期收益的一种概率分布。

2．投资者追求单一时期的预期效用最大化，而且他们的效用曲线表明财富的边际效用递减。

3．投资者根据预期收益的变动性，估计资产组合的风险。

4．投资者完全根据预期收益率和风险进行决策，因此，他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差(或标准差)的函数。

5．在特定的风险水平上，投资者偏好较高的收益；在一定的预期收益率水平上，投资者偏好较小的风险。第15页，共34页。关于假定的一些解释：根据4，一种证券和证券组合的特征可以由期望收益率和标准差（或方差）来描述，如果建立一个以期望收益率为纵坐标、标准差（或方差）为横坐标的坐标系，那么任何一种证券或证券组合都可由坐标系中的一个点来表示。根据5，当给定期望收益率时，投资者会选择标准差（或方差）最小的组合；而当给定标准差（或方差）时，投资者会选择期望收益率最高的组合。这被称为资产选择的共同偏好规则。4.2证券组合理论模型的假定

第16页，共34页。4.3证券组合的可行域与有效边界根据模型的假设，任何一种证券或证券组合都可由期望收益—方差坐标系中的一个点来表示。如果任意给定n种证券，那么所有这些证券及由这些证券构成的证券组合将在坐标平面上构成一个区域，称为可行域。投资者共同偏好规则会导致所谓有效边界的产生（所有投资者都按均值—方差原则来进行证券组合的选择）。第17页，共34页。一、证券组合的可行域（机会集）

1、两种证券组合的可行域E(rp)=W1r1+

W2r2

p2

=w12

12+w22

22+2W1W2Cov(r1r2)由上两式组成的方程组在E（rp）—σP坐标系中确定了一条经过1点和2点的曲线，这条曲线称为证券1与证券2的结合线。由1和2构成的所有证券组合都位于这条曲线上，这条曲线就是1、2两种证券组合的可行域。4.3证券组合的可行域与有效边界第18页，共34页。

=113%%8E(r)St.Dev12%20%

=.3

=-1

=-112证券1和证券2的组合可行域证券1与证券2的结合线在一般情况下是一条双曲线。其弯曲程度决定于这两种证券之间的相关性ρ12。ρ12=1时为一条直线，而ρ12=—1时成为一条折线。第19页，共34页。2、三种证券组合的可行域给定三种证券A、B、C，那么不允许卖空时由所有可能的证券组合构成的可行域就是AB、AC、BC三条结合线围成的区域。当允许卖空时，A、B、C三种证券对应的可行域便不再是一个有限区域，而是一个包含该有限区域的无限区域。第20页，共34页。二、证券组合的有效边界1、最小方差边界

在给定期望收益条件下，可行域中具有最小方差的组合的连线。2、有效边界最小方差边界中位于最小方差组合以上的部份称为证券组合的有效边界，落在有效边界上的证券组合称为有效组合。

均值—方差原则4.3证券组合的可行域与有效边界第21页，共34页。证券组合的可行域与有效边界E(r)有效边界最小方差组合最小方差边界单个资产St.Dev.有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益，高风险”原则；有效边界是一条向上凸的曲线；有效集曲线上不可能有凹陷的地方（凸性）

图中，单个资产位于有效边界以内，这表明，风险资产组合中只包含单一证券是无效率的，分散化投资能够带来更高的收益和更低的风险。第22页，共34页。4.4最优投资组合的选择根据模型的假定，所有投资者都会遵循均值—方差原则来选择证券或证券组合。

有效边界上的组合都满足均值—方差原则，因而，投资者会选择有效边界上的证券组合，即有效组合。最优投资组合则是根据投资者的风险偏好确定出的能够带来最大效用满足的有效组合，因而，最优投资合是由投资者的风险偏好决定，可由无差异曲线与有效边界的切点得到。第23页，共34页。E(r)组合的有效边界高风险厌恶U’’’U’’U’QPSSt.Dev低风险厌恶最优投资组合的存在性：1）几何上：有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是惟一的。（2）经济上：有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的；无差异曲线则是主观的，它是由投资者的风险—收益偏好决定的。第24页，共34页。马科维茨利用两个数值来衡量投资者的预期收益水平和不确定性(风险)。①期望收益率（均值）②收益率的方差在此基础上建立所谓的均值--方差模型，以阐述如何通过证券组合的选择来实现收益与风险之间的最佳平衡。这就是证券组合投资理论。4.5马科维茨资产组合选择模型第25页，共34页。4.5马科维茨资产组合选择模型一、马科维茨资产组合选择模型Markowitz（1952）的资产选择模型考察的是存在多个风险资产时，投资者最优资产组合的选择。边界资产组合（FrontierPortfolio）：如果一个资产组合在其期望收益相同的资产组合中拥有最小的方差，我们就称其为边界资产组合，所有边界资产组合构成的资产组合集构成一个投资组合边界（PortfolioFrontier）。Markowitz资产组合模型的假设：市场中存在N>=2个风险资产。每个资产的方差是有限的，每个资产的期望收益率都是不相等的，且各资产的回报率是线性独立的（LinearlyIndependent）。投资者是风险规避的，在收益相等情况下，投资者会选择风险最低的投资组合。投资期限为一期，在期初时，投资者按照效用最大化的原则进行资产组合的选择。第26页，共34页。市场是完善的，无交易成本，且风险资产可以无限细分，投资者还可以对风险资产进行卖空操作。投资者在最有资产最有资产组合的选择过程中，只关心风险资产的均值、方差以及不同资产间的协方差。在以上假设下，最有资产组合的选择问题就可以写成如下优化问题：其中，w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量；V为风险资产收益率的方差协方差矩阵；e为风险资产组合中各资产期望收益率构成的向量；1为单位向量。为了解这个最优化问题，构造Lagrange函数如下：第27页，共34页。该最优化问题的一阶条件为：我们容易求得其中：第28页，共34页。将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：其中，g和h为两个一维向量，其表达式分别为从上式可以看出，如果一个边界组合的期望收益率等于0，那么这一资产组合中各资产的权重就是g。如果一个边界组合的期望收益率等于1，组合中各项资产的权重就是g+h，因此，g和g+h就对应着投资组合边界上两个边界组合。事实上，投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率不相等的边界组合按照一定权重构建出来。第29页，共34页。二、存在无风险资产时的最优资产组合选择Tobin（1958a,1958b）对Markowitz的模型进行了改进，Tobin假定市场中除了N个风险资产外，还存在一个无风险资产，投资者可以按照无风险资产收