2027届高考数学一轮总复习3.3导数中的函数构造问题（课件）

第三章一元函数的导数及其应用3.3导数中的函数构造问题高三一轮数学内容索引课时作业关键能力提升考试要求三年考情能够利用已知条件构造对应的函数,并判断其单调性,再利用单调性比较大小或解不等式等.202320242025

关键能力提升

(2,+∞)

规律总结命题角度2

利用f(x)与ex构造函数【例2】

已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则

(

)A.f(1)>ef(0) B.f(1)<ef(0)C.ef(ln2)<2f(1) D.f(2)>ef(1)B

规律总结

A

规律总结

B(2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,f(x)+f'(x)<0恒成立,则下列结论一定正确的是

(

)A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)<e2f(3)解析:构造函数g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为f(x)+f'(x)<0恒成立,故g'(x)<0恒成立,因此可得g(x)在R上单调递减,由于2<3,故g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.A

C

C若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.规律总结

B

D

当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.规律总结

A

教材深研

4.泰勒公式的价值泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来,这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数,我们主要用其证明不等式及比较大小.

A

课时作业191.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)>3,f(2)=6,则f(x)>3x的解集为(

)A.(-∞,0) B.(-∞,2)C.(0,+∞) D.(2,+∞)解析:令函数g(x)=f(x)-3x,求导得g'(x)=f'(x)-3,而f'(x)>3,则g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增.又f(2)=6,所以g(2)=f(2)-6=0,不等式f(x)>3x⇔f(x)-3x>0⇔g(x)>g(2),解得x>2,所以所求解集为(2,+∞).故选D.基础巩固D2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x)+f'(x)>0(f'(x)为f(x)的导函数),设a=ef(1),b=e3f(3),c=e2f(2),则

(

)A.a>b>c B.b>c>aC.b>a>c D.a>c>b解析:令g(x)=exf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)].因为f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为1<2<3,所以b>c>a.故选B.B

D

A

B

C

B

A

AC10.(8分,多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0(f'(x)为f(x)的导函数),则下列结论正确的是

(

)A.f(2)-ln2>f(1)B.f(4)-f(2)>ln2C.f(2)+ln2>f(e)+1D.f(e2)-f(e)>1ABD

BD

12.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为______.解析:构造函数F(x)=xf(x)-2x,因为F'(x)=xf'(x)+f(x)-2>0,所以F(x)在R上单调递增.因为f(1)=3,所以F(1)=f(1)-2=3-2=1.x2[f(x2)-2]<1可化为x2f(x2)-2x2<1,即