《数学 基础模块（下册）》全套课件 第5-8章 平面向量 -排列组合与概率统计

平面向量第5章1目录5.1平面向量的概念及其线性运算5.2平面向量的坐标表示5.3平面向量的数量积2教学要求：1.能通过物理学中的实例，了解向量的实际背景；了解平面向量与有向线段的有关概念；了解单位向量、零向量、相等向量、负向量（相反向量）和平行向量（共线向量）的含义.2.会进行向量的线性（加法、减法、数乘）运算，理解其运算的几何意义.3.了解向量的坐标表示，知道向量的坐标与点的坐标之间关系.会用坐标进行向量的线性（加法、减法、数乘）运算，初步了解向量坐标运算的几何应用.3教学要求：4.掌握两个非零向量平行（共线）的充要条件.5.了解平面向量数量积（内积）的含义及物理意义，了解向量数量积的基本性质.会进行向量数量积的运算.6.了解向量数量积的几何应用，掌握两点间距离公式和两个向量垂直的充要条件.45.1平面向量的概念及其线性运算5实例考察从本章引言中我们知道，速度是既有大小又有方向的量.你还能举出这样的量吗?位移如图所示，飞机从北京飞到重庆的位移s1

的大小是1300km，方向是西南方向；飞机从重庆飞到北京的位移s2

的大小也是1300km，方向是东北方向.6力如图a所示，物体受到的重力G

是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大；如图b所示，木块在水中受到的浮力F

是竖直向上的，木块浸在水中的体积越大，它受到的浮力也就越大.7平面向量的概念我们把类似位移、速度、力等既有大小又有方向的量称为向量，而把那些只有大小没有方向的量（如长度、时间、年龄等）称为数量.处在平面内的向量常被称为平面向量.本章讨论的向量都是平面向量.在实例考察关于力的实例中，重力G、浮力F

都是用带箭头的线段表示的.线段的长度表示力的大小，线段的箭头方向表示力的方向.由于带箭头的线段能直观形象地反映向量的大小和方向，因此，我们通常用这种带箭头的线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向.8如图a所示，A，B

是线段的两个端点.如果向量的方向是从A

到B（A

为起点，B

为终点），则该向量可记作，读作“向量AB”.如果方向相反（B

为起点，A

为终点），则该向量可记作，读作“向量BA”.显然，

与

的大小相等且方向相反.9用带箭头的线段表示一个已知向量时，线段的起点可以在平面上任何位置，被限定的只是终点相对于起点的位置.如上图b所示，一个水平向右、大小为50N的力F

可以用

来表示，也可以用

来表示，即向量只与大小和方向有关，而与起点选取的位置无关.这样的向量常被称为自由向量.本章讨论的向量都是自由向量.10向量也可以用小写英文字母a，b，c，···表示.这些字母印刷时用黑体，手写则应写成

的形式.向量有两个基本要素：大小和方向.向量的大小称为向量的模（或长度），向量，a，的长度分别记作丨

丨，丨

a丨，丨

丨.把模为1的向量称为单位向量.我们把模为零的向量称为零向量，记作0.零向量的方向是任意的.11一排学生一起前进（如图所示），在这一过程中，他们的位移方向相同；飞机在北京和重庆之间往返的位移方向相反.我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量.如图所示，a，b，c是三个平行向量，可记作a∥b∥c.我们规定：零向量与任意向量平行，即0∥a.12模相等且方向相同的向量称为相等向量.一排同学一起齐步前进，他们的位移就是相等向量.与向量a

模相等且方向相反的向量b

称为向量a

的负向量（或相反向量），记作b=-a.我们规定：零向量的负向量仍是零向量，即-0=0.13如图所示，a，b，c

是一组平行向量，在平面内任意地作一条平行于上述向量的直线l.任选l上的一点O，可以作=a，=b，=c.这就是说，任一组平行向量都可以被移到同一条直线上.所以，我们也将平行向量称为共线向量.14平面向量的加减运算如图所示，我们用字母A，B，C分别表示北京、上海、广州三个城市所在的位置.如果一架飞机从A处（北京）飞到B处（上海），然后再从B处飞到C处（广州），那么这架飞机两次（飞行）位移

和

的和，与飞机从A处直接飞到C处的位移

相同.我们把位移

称为位移

与

的和，记作15如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量

称为a

与b

的和向量，记作a+b，即求向量和的运算称为向量的加法，上述这种求两个向量和的方法称为向量加法的三角形法则.16如图所示，四边形ABCD是平行四边形，因为，所以

可见，

与

的和正好是以向量，为邻边的平行四边形的对角线AC

表示的向量.这种求不共线的两个向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.17对于向量加法，我们规定：1.a+0=0+a=a.2.a+（-a）=0.向量加法还满足下列运算律：1.a+b=b+a.2.（a+b）+c=a+（b+c）.通常我们将（a+b）+c记作a+b+c.18下面我们讨论向量的减法运算.我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数.同样地，我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量等于加上这个向量的负向量，所得到的向量称为a与b的差向量.求向量差的运算称为向量的减法.19由向量减法的定义，起点相同的两个向量

和

的差向量应为由此，我们可以得到a-b

的作图方法.20如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b.即起点相同的两个向量a

与b的差a-b可以表示为从向量b

的终点指向向量a的终点的向量.21向量的数乘运算如图所示，桌面上放有质量相等的4个铁球，每个铁球对桌面的压力F是相等的，则桌面受到的总压力是22如图所示，我们作出则我们把F+F+F+F

记作4F.可以看出，向量4F

的方向与F

的方向相同，向量4F

的模是F

的模的4倍，即23实数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算.对任意向量a，b，设λ，μ为实数，有1.λ（μa）=（λμ）a.2.（λ+μ）a=λa+μa.3.λ（a+b）=λa+λb.由数乘向量和共线向量的概念，可以得到一般地，若向量c=λa+μb（λ，μ均为实数），则称向量c

可由向量a，b

线性表示.我们把向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称为向量的线性运算.245.2平面向量的坐标表示25实例考察向量除了可用符号和几何图形表示外，还可用坐标表示，因此可以用代数运算的方法来讨论有关向量的问题.如图a所示，一个物体受到力F1

和F2

的作用：丨F1

丨=45N，F1

的方向水平向右；丨F2丨=60N，F2

的方向竖直向上.请按图b所示建立平面直角坐标系，并尝试使用F1

和F2

的终点坐标，求合力F

的大小和方向.26向量的坐标表示如上图b所示，力F1=，F2=，它们的起点为同一个点O，的终点M

的坐标为（45，0），

的终点N的坐标为（0，60）.根据向量加法的平行四边形法则，两个力F1，F2

的合力F=的终点A的坐标为（45，60）.因此，合力F

的大小和方向分别为可以看出，在平面直角坐标系中，当向量的起点位于坐标原点时，向量的长度和方向就由终点的坐标唯一确定.27如图a所示，在平面直角坐标系中，对于给定的一个向量a，我们总可以通过平移，使向量a

的起点位于坐标原点O，这时向量a的终点A

是唯一确定的.根据平行四边形法则，向量a=可以看成是两个向量

与

的和.即28设点A

的坐标是（x，y），向量i，j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量.则所以29我们把用xi+yj

来表示向量的形式称为向量a

的代数形式.把有序实数对（x，y）称为向量a

的坐标，记作这种用坐标（x，y）来表示向量a

的形式称为向量a

的坐标形式.而且，向量a的模为显然，向量

终点A

的坐标（x，y），就是向量

的坐标；反之亦然.30如上图b所示，对于直角坐标系中任一向量，起点A的坐标是（x1，y1），终点B的坐标是（x2，y2）.由向量的减法，得到根据向量的代数形式，可知所以

=（x2-x1，y2-y1），即31向量的坐标运算在平面直角坐标系中，已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）.类似地，有a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）.32由此，我们得到：设a=（x1，y1），b=（x2，y2）.当a≠0时，如果a∥b，那么存在一个实数λ，使得b=λa，则33当λ≠0时，上述方程组消去λ，得x1y2-x2y1=0.当λ=0时，x2=y2=0，同样有x1y2-x2y1=0.上述过程也可进行逆向推导.由此，我们得到：345.3平面向量的数量积35实例考察由物理学知识可知，力做的功等于力与受力物体在力的方向上移动距离的乘积.如图所示，某同学在推小车，水平方向位移为s，推力F

的方向与地面夹角为45°.那么，他做的功W等于力F

在小推车位移方向上的分量丨F丨cos45°与小推车移动的距离s

的乘积，即W=丨F丨cos45°·丨s丨=丨

F丨丨s丨cos45°.36平面向量的数量积在实例考察中，某同学做的功W=丨

F丨丨

s丨

cos45°，在这里，丨F丨是推力的大小，丨s丨是水平位移的大小，45°是力F

和位移s的夹角，我们把W

称为向量F

和s的数量积，它是一个数量.如图所示，对于非零向量a和b，作=a，=b，称射线OA、OB

所成的最小正角为向量a

和b

的夹角，夹角一般用θ表示.当向量a

和b

同向时，θ=0；当向量a

和b反向时，θ=π.因此，0≤θ≤π，即θ∈[0，360°].37我们把丨a丨丨b丨cosθ称为向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即对于两个非零向量a，b，由数量积的定义，有如下基本性质：对于任意向量a，b，c和实数m，有下列运算律：38数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），在x轴上的单位向量为i，在y轴上的单位向量为j，则有39所以即

a·b=x1x2+y1y2.①40式①称为平面向量的数量积公式.由此可推出以下结论：设a=（x，y），则所以式②可用来计算平面内任意一点到坐标系原点的距离.41如果向量a

是用起点A（x1，y1）和终点B（x2，y2）表示的，向量

的坐标为（x2-x1，y2-y1），从而点A

和点B

之间的距离为式③可用来计算平面上任意两点之间的距离.由式①及互相垂直的向量数量积为0可以得到：设a，b

都是非零向量，且a=（x1，y1），b=（x2，y2），则设a，b

都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ是a与b

的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得42平面解析几何第6章43目录6.1直线的倾斜角和斜率6.2直线的方程6.3两条直线的位置关系6.4曲线和方程6.5圆6.6椭圆6.7双曲线6.8抛物线44教学要求：1.掌握两点间的距离公式和线段的中点坐标公式.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线（不垂直于x轴）的斜率的计算公式.2.由一次函数、二元一次方程与直线之间的关系，理解直线方程的概念.了解直线的点向式、两点式及截距式方程，掌握直线的点斜式、斜截式及一般式方程，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化.3.掌握两条直线平行或垂直的判定方法.会求两条相交直线的交点坐标.45教学要求：4.了解点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.5.了解曲线与方程的对应关系.了解求曲线方程的基本思路与方法.6.回顾确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程，会写出圆的参数方程.7.能根据给定的直线与圆，判断直线与圆的位置关系.初步掌握用直线和圆的方程解决实际问题的方法.8.经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的概念及标准方程.初步掌握它们的几何性质及应用.9.通过本章的学习，进一步体会数形结合的思想.466.1直线的倾斜角和斜率47知识回顾在直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面上的任意两点，点M（x0，y0）是线段AB

的中点.在平面向量的学习中，我们利用向量知识得到了两点之间的距离公式和线段AB的中点坐标公式.两点之间的距离公式中点坐标公式48实例考察用代数的方法可以计算平面内两点间的距离，并能确定线段的中点位置.除此之外，能否用代数方法解决几何中有关直线的问题呢?钢索所在的直线我们知道，平面上两点能确定一条直线l，这两个已知点就是确定直线l的几何要素.观察钢索斜拉桥（下图中的上海徐浦大桥），就会发现，用于固定桥塔的每条斜拉钢索所在的直线都是由两个已知点（桥塔和桥栏上各一个点）来确定的.一个点能确定一条直线l的位置吗?49通过观察可以发现，在同一平面内的两条斜拉钢索尽管都过一个定点，但由于倾斜程度不同，拉索所在的直线也不同.也就是说，如果知道了它的倾斜程度，则直线l就被确定了.那么，直线的倾斜程度应该用什么来表示呢?50如图a所示，在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角α，可以很好地反映直线l的倾斜程度，我们把α称为直线l的倾斜角.下图b可以表示上海徐浦大桥桥塔上过同一点P

的两条拉索（同一平面内），左侧拉索所在直线的倾斜角α1是锐角，右侧拉索所在直线的倾斜角α2

是钝角.下图c中的直线l垂直于x轴，它的倾斜角α是90°.下图d中直线l垂直于y轴，我们规定它的倾斜角α是0°.因此，直线l的倾斜角α的取值范围是5152这样，平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等.当直线l的倾斜角α≠90°时，α与其正切tanα是一一对应的，因此，直线的倾斜程度也可用tanα表示.我们把直线倾斜角α（α≠90°）的正切称为直线的斜率.通常用小写英文字母k表示，即根据正切函数的知识，可以得到直线的倾斜角α与斜率k之间的关系如下：当直线垂直于y轴时，α=0°⇔k=0；当直线的倾斜角是锐角时，0°<α<90°⇔k>0；当直线垂直于x轴时，α=90°⇔k不存在；当直线的倾斜角是钝角时，90°<α<180°⇔k<0.53在平面直角坐标系中，经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是设向量=（v1，v2）与直线l平行，则向量

称为直线l的方向向量.若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是l上的两点，则向量=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量.由直线l的斜率公式k=（x2≠x1）可得546.2直线的方程55实例考察已知一次函数y=x+1，在直角坐标系中画出它的图像并指出点P（2，3）是否在它的图像上.当x=0时，y=1；当x=-1时，y=0.在坐标系中找出两点（0，1）和（-1，0），经过这两点画出一条直线l，即为所求图像（如图所示）.56当x=2时，y=3，因此，点P（2，3）在直线l上.由上例我们看到，满足函数y=x+1的每一对x，y的值都是直线l上的点的坐标；而直线l上每一点的坐标都满足函数式.一般地，一次函数y=kx+b的图像是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x，y的值为坐标的点构成的.但函数式y=kx+b也可看成是二元一次方程，所以我们也可以说，这个方程的解和直线上的点也有这样的对应关系.以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解.这时，这个方程就称为这条直线的方程，这条直线称为这个方程的直线.如何根据已知条件求出直线的方程呢?下面我们来讨论这个问题.57直线的点向式方程如图所示，如果直线l与两条坐标轴都不垂直（斜率存在且不等于0），方向向量=（v1，v2），且经过点P1（x1，y1），求直线l的方程.58设点C（x，y）是直线l上的不同于点P1的任意一点，因为

为直线l的方向向量，且=（x-x1，y-y1），所以方程①称为直线的点向式方程.若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则向量=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量.如果直线l与两条坐标轴都不垂直，由点向式方程可得方程②称为直线的两点式方程.59直线的点斜式方程如图所示，已知直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k.设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，由直线的斜率公式，得60将上式两边同乘以x-x0，得因为点P0

的坐标（x0，y0）同样满足上述关系式，所以关系式③就是所求直线l的方程.由于这个方程是由直线l上一定点P0（x0，y0）和直线l的斜率k所确定的，所以把方程③称为直线的点斜式方程.61直线的斜截式方程与截距式方程如图所示，点P0

是直线l与y轴的交点，设其坐标为

（0，b），我们把b称为直线l在y轴上的截距.此时，直线l的点斜式方程为y-b=k（x-0），即方程④是由直线l的斜率k和在y轴上的截距b确定的，所以把方程④称为直线的斜截式方程.62若直线l与x轴相交于点A，设其坐标为（a，0），我们把a称为直线l在x轴上的截距.我们把方程称为直线的截距式方程.63直线的一般式方程从上述讨论可知，直线的方程无论是点斜式还是斜截式，都是关于x，y的二元一次方程.二元一次方程的一般形式是：Ax+By+C=0（A，B

不全为零）.那么，形如Ax+By+C=0（A，B

不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢?我们通过下表来讨论这个问题.6465综上所述，方程Ax+By+C=0（A，B

不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线.我们把形如的二元一次方程称为直线的一般式方程.666.3两条直线的位置关系67实例考察已知两直线l1：y=x+1，l2：y=x+2.求它们的倾斜角，并作图说明l1，l2有什么关系.不难得到，两直线的斜率均为

，所以l1，l2的倾斜角也相等，均为60°.如图所示，由平面几何知识，同位角相等，两直线平行.故l1∥l2.从本例能否推出直线位置关系的一般规律呢?下面我们就来研究一下.68两条直线平行的判定如图所示，设直线l1和l2的倾斜角分别为α1和α2，斜率分别为k1和k2.如果l1∥l2，那么直线l1与l2的倾斜角相等，即α1=α2，则tanα1=tanα2，即k1=k2.因此，若l1∥l2，则k1=k2.69如果直线l1

与l2

不重合，且k1=k2，即tanα1=tanα2（α1，α2∈[0，π）），则α1=α2，得到l1∥l2.因此，若k1=k2，则l1∥l2.于是，对于两条不重合的直线l1

与l2，若它们的斜率分别为k1

与k2，则有若它们的斜率都不存在，那么它们的倾斜角均为90°，也有l1∥l2.70两条直线垂直的判定设两条直线l1

与l2

的倾斜角分别为α1与α2（α1，α2≠90°），l1

的方程为y=k1x+b1（k1≠0），l2

的方程为y=k2x+b2（k2≠0）.下面讨论当l1⊥l2

时，它们的斜率k1与k2

之间的关系.由下图a可得α1+（180°-α2）=90°，71则所以k1=-

，即k1·k2=-1.因此，对斜率都存在的两条直线l1

与l2，当l1⊥l2

时，必有k1·k2=-1.反之，当k1·k2=-1时，有k1=-

，则所以α1+（180°-α2）=90°，72即l1⊥l2.因此，有如果两条直线l1

与l2

的斜率一个等于0，另一个不存在，如上图b所示，显然，这两条直线也垂直.73相交直线的交点设平面内两条不重合的直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.如果l1，l2

不平行，则必然相交于一点，交点的坐标既满足l1

的方程，又满足l2

的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1

与l2

的交点.因此，求两条相交直线的交点，只需解以下方程组：这个方程组的解就是l1

与l2

的交点坐标.74点到直线的距离如图所示，在平面直角坐标系中，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0.过点P0作直线l的垂线P0Q，Q为垂足，则垂线段P0Q

的长度就是点P0到直线l的距离，记作d.可以证明，点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式为756.4曲线和方程76实例考察下图a中：直线l的方程是

.若点A的坐标满足上述方程，则点A在直线l

；若点P为直线l上任意一点，则点P的坐标（x0，y0）满足方程

.因此，我们把直线l称为方程

的直线，把该方程称为直线l的方程.下图b中：二次函数y=x2

的图像是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线是由所有以方程

的解为坐标的点组成.77曲线和方程的概念下面以上图b所示抛物线为例进行分析.二次函数y=x2

的图像是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线由所有以方程x2-y=0解为坐标的点组成的.也就是说，如果点P（x0，y0）是这条抛物线上的点，则（x0，y0）一定是这个方程的解.反之，如果（x0，y0）是方程x2-y=0的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上.由此推广到一般情况：在平面直角坐标系中，如果某条曲线C（可以将其看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上点的坐标都是二元方程F（x，y）=0的解；同时以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C

上，那么，方程F（x，y）=0称为曲线C的方程，而曲线C是这个方程F（x，y）=0的曲线.78求曲线的方程以线段AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标xOy（如图所示）.设丨AB丨=2a（a>0），则点A，B

的坐标分别为（-a，0），（a，0）.现设点P（x，y），由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即整理得x2+y2=a2（x≠±a）.所以方程x2+y2=a2（x≠±a）就是点P

的轨迹方程.79由此，我们可以总结出已知平面曲线求曲线方程的主要步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设曲线上任意一点P（或动点）的坐标为（x，y）；（3）写出点P

的限制条件，即列出等式；（4）将点P的坐标代入等式，得方程F（x，y）=0；（5）化简方程F（x，y）=0（此过程应为同解变形）.由于化简过程是同解变形，所以可以省略证明“以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点”的过程.80求两条曲线的交点两条曲线（包括直线）的交点坐标也就是两条曲线的公共点的坐标.由曲线上点的坐标和其方程的解之间的关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解.反之，方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；若方程组无实数解，则两条曲线就没有交点.因此，求两条曲线的交点就是求这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解.816.5圆82知识回顾在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.那么，在平面直角坐标系中，该如何确定一个圆呢?圆是完美的几何图形.在初中，我们就比较系统地学过圆的知识，知道圆是平面内到一个定点C的距离等于定长r的动点的轨迹，定点C

称为这个圆的圆心，定长r称为这个圆的半径.圆上任意一点P到圆心C的距离丨PC丨=r.依照圆的定义，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.83圆的标准方程如图所示，在平面直角坐标系中，已知一个圆以点C（a，b）为圆心、r为半径，设P（x，y）是圆上任意一点，则丨PC丨=r.由两点之间的距离公式，可以得到关于点P

的坐标的关系式将上式两边平方，得84若点P（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点P

的坐标满足方程①；反之，若点P的坐标（x，y）满足方程①，则表明点P到圆心C的距离为r，即点P

在以点C为圆心的圆上.所以方程①就是以点C（a，b）为圆心、r为半径的圆的方程.我们称这个方程为圆的标准方程.如果圆心在坐标系的原点，这时a=0，b=0，那么圆的标准方程就是85圆的一般方程下图中，已知圆的圆心为C（6，-5），半径r为4.由此，我们可以写出这个圆的标准方程（x-6）2+（y+5）2=16.将上面的方程展开并整理得x2+y2-12x+10y+45=0.我们把方程x2+y2-12x+10y+45=0称为这个圆的一般方程.86通常，如果形如的方程能够表示一个圆，我们就把它称为圆的一般方程.需注意的是，与方程③类似的方程并不是都能表示一个圆.例如方程x2+y2-6x+4y+15=0，经配方得（x-3）2+（y+2）2=-2.由于这个方程无解，也就是说不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.又如方程x2+y2+8x-2y+17=0，经配方得（x+4）2+（y-1）2=0.由于这个方程只有一组解，即x=-4，y=1，所以这个方程表示的图形是一个点，即点（-4，1）.87直线与圆的位置关系已知圆C的半径为r，设圆心C到直线l的距离为d.1.直线和圆有两个公共点，称为直线与圆相交（如右图a），这时直线称为圆的割线.直线l与圆C

相交⇔d<r.2.直线和圆有唯一公共点，称为直线与圆相切（如右图b），这时直线称为圆的切线，唯一公共点称为切点.直线l与圆C相切⇔d=r.3.直线和圆没有公共点，称为直线与圆相离（如右图c）.直线l与圆C相离⇔d>r.88以上应用了几何方法判定直线与圆的位置关系.在平面直角坐标系中，圆的圆心为C（a，b），直线l的方程为Ax+By+C=0，则圆心C到直线l的距离d为比较d与r的大小，即可判定直线与圆的位置关系.应用代数方法，从联立方程组的解的个数，也能判定直线与圆的位置关系.通过方程组中的第一式用含有x的式子表示出y，代入第二式，得出一个关于x的一元二次方程，由这个一元二次方程的判别式Δ的符号就能判定直线与圆是相交、相切还是相离.89我们把上述讨论的直线与圆的位置关系及判定方法总结如下：90如图a所示，设直线l：Ax+By+C=0与圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2相交于P和Q两点，则线段PQ为圆的一条弦.求这条弦的长度丨PQ丨.如图b所示，因为圆心C与弦PQ

的中点R

的连线垂直且平分弦PQ，所以91圆的参数方程我们前面学习了直线的方程Ax+By+C=0（A，B

不全为零）和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.直线和圆的方程都可以表示为F（x，y）=0的形式.方程F（x，y）=0描述了曲线上任一点的坐标x，y之间的关系，习惯上，我们把方程F（x，y）=0称为曲线的普通方程.92如图所示，设圆心在原点、半径为r的圆O与x轴的正半轴的交点是A.设在圆上的点从点A

开始按逆时针方向运动到达点P，∠AOP=θ，则点P

的位置与旋转角θ有关.当θ确定时，点P在圆上的位置也就确定了.点P

在圆上的位置是随θ的变化而变化.点P

的横坐标与纵坐标都是θ的函数，由三角函数的定义得并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在圆O

上.93方程组①称为圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，其中θ是参数.一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点P

的坐标x，y都是某个变量t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x，y）都在这条曲线上，则方程组就称为这条曲线的参数方程.变量t称为参变数，简称参数.94由上述讨论可知，圆心在原点O、半径为r的圆的参数方程为圆心为C（a，b）、半径为r的圆可以看成是由圆心为原点O、半径为r的圆沿向量v=（a，b）平移得到的（如图所示）.此时，圆的参数方程为95将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，它们都表示曲线上任意一点的坐标之间的关系.曲线的参数方程

消去参数t后即化为曲线的普通方程，但要注意的是消参数的过程中一定要保证不使方程的取值范围发生改变.966.6椭圆97实例考察观察下面图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗?一杯水如图所示水杯的杯口为圆形，杯中盛有水.竖直放置时，杯中水面的轮廓为圆形；现将杯口倾斜（无水溢出），观察杯中水面轮廓形成的曲线.这一曲线与圆相比具有什么特征?一条曲线取一根没有伸缩性的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1

和F2

两点，且使绳长大于F1

和F2

之间的距离.用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，笔尖就画出了如图所示的一条曲线.98椭圆的定义及其标准方程实例考察中，上图中杯中水面的轮廓和上图中画出的曲线都是椭圆.分析上面的作图方法不难看出，椭圆上的任意一点到点F1

和F2

的距离之和为定值.我们定义：99下面，我们来建立椭圆的方程.如图所示，以过焦点F1，F2

的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0，c称为椭圆的半焦距），那么，焦点F1，F2

的坐标分别是（-c，0），（c，0）.又设点P与F1，F2

的距离之和等于常数2a（a>0），于是有100应用两点间的距离公式，并把P，F1

和F2

的坐标代入，得整理得由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c>0，所以a2-c2>0.为了使方程变得简单整齐，可令a2-c2=b2（b>0），则方程变为两边同除以a2b2，得101这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）和F2（c，0），其中a2=b2+c2.如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y

轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，如图所示，用同样的方法，可得椭圆的方程为这个方程是一个焦点在y

轴上的椭圆的标准方程，焦点为F1（0，-c）和F2（0，c），其中a，b，c之间仍然满足a2=b2+c2.102椭圆的几何性质1.范围从椭圆的标准方程可知，，因此，，从而可得-a≤x≤a.同理可得，，于是有-b≤y≤b.这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框里，如图所示.1032.对称性在椭圆的标准方程中，将y

换成-y，方程不变.这说明，当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点P1（x，-y）也在椭圆上.因此，椭圆关于x轴对称.同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点P1（-x，y）也在椭圆上.因此，椭圆关于y轴对称.进一步，将x换成-x，同时将y换成-y，方程不变.这说明，当点P（x，y）在椭圆上时，其关于原点O

的对称点P1（-x，-y）也在椭圆上.因此，椭圆关于原点O对称.综上所述，椭圆关于x轴对称，又关于y轴的对称，也关于原点对称.我们把x轴与y轴称为椭圆的对称轴，坐标原点O

称为椭圆的对称中心（简称中心）.1043.顶点在椭圆的标准方程

中，令y=0，得x=±a.这说明，椭圆与x轴有两个交点A1（-a，0）和A2（a，0）.同理，令x=0，得y=±b.这说明，椭圆与y轴有两个交点B1（0，-b）和B2（0，b），如图所示.我们把椭圆与它的对称轴的四个交点A1，A2，B1，B2称为椭圆的顶点.线段A1A2

和B1B2称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.显然，椭圆的焦点的它的长轴上.值得注意的是，由于a，b，c满足关系式a2=b2+c2，所以长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形.如图所示，Rt△B2F2O

直观地反映了a，b，c三者之间的关系.1054.离心率我们把椭圆的焦距2c与长轴长2a之比

称为椭圆的离心率，记作e，即因为a>c>0，所以0<e<1.容易看出，e越接近于1，c越接近于a，从而

越小，椭圆就越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆就越接近于圆.因此，离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度.同样，我们可以得到椭圆

的几何性质.106椭圆的几何性质，总结如下表.107借助上表所列的几何性质可以画出椭圆的草图.其步骤是：1.根据椭圆的标准方程标出四个顶点；2.过这四个顶点作坐标轴的平行线，得到椭圆的界定矩形；3.用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆，连接时要注意椭圆的对称性及顶点附近的平滑性.108椭圆的参数方程我们知道在同角三角函数基本关系式中有恒等式cos2θ+sin2θ=1，且椭圆的标准方程为因此，可以令（θ

为参数）这就是椭圆的参数方程.其中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.根据椭圆的参数方程，椭圆上任一点的坐标可设成（acosθ，bsinθ），这为解决椭圆问题提供了一条新的途径.

1096.7双曲线110实例考察观察下面的图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗?电站通风塔电站通风塔（如图所示）轴心线的平面与塔的侧轮廓面的交线是条什么样的曲线?它有什么特征?111一条曲线取两个小钉，相距2c（c>0）钉在平板上，再取两段长度之差为定长2a（0<a<c）的绳子，两绳的一端分别系在两个小钉上，另一端放在一起打成绳结.用该绳结套住笔尖，右手握笔顺势转动，笔尖在平板上画出一条曲线.交换系在小钉上的两绳端点，可以画出另一支曲线（如图所示）.112双曲线的定义和标准方程显然，如图所画曲线的特点是，其上任意一点到点F1

和F2的距离之差的绝对值相等.我们定义：113与椭圆类似，以过焦点F1，F2

的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图所示）.设P（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0，c称为双曲线的半焦距），则两个焦点的坐标分别为F1（-c，0）和F2（c，0）.114又设点P

与F1，F2的距离之差的绝对值为2a（0<a<c），即由两点间的距离公式得所以整理得115由于0<a<c，所以c2-a2>0.令c2-a2=b2（b>0），代入上式，得两边同除以a2b2，得这个方程称为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，c之间的关系是c2=a2+b2.116如图所示，如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x

轴，用同样的方法可得双曲线的方程为这个方程是焦点在y轴上的双曲线的标准方程，其中a，b，c间的关系仍然为c2=a2+b2.117双曲线的几何性质1.范围从双曲线的标准方程可知，，因此，，从而可得x≤-a或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示.1182.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助双曲线的标准方程=1可以发现，双曲线关于x轴、y轴对称，也关于原点对称.我们把x轴与y轴称为双曲线的对称轴，坐标原点O

称为双曲线的对称中心（简称中心）.1193.顶点在双曲线的标准方程=1中，令y=0，得x=±a.这说明，双曲线与x轴有两个交点A1（-a，0）和A2（a，0），如上图所示.我们把双曲线与它的对称轴的两个交点A1，A2称为双曲线的顶点.线段A1A2

称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长.显然，双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上.在双曲线的标准方程=1中，令x=0，得y2=-b，这个方程没有实数解，因此，双曲线与y轴没有交点.但我们仍将点B1（0，-b）和B2（0，a）画在y轴上，如上图所示.把线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长.1204.渐近线经过点A1，A2分别作y轴的平行线x=-a，x=a，经过点B1，B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b，这四条直线围成一个矩形，如图所示，则矩形的对角线所在直线的方程为从图中可以看出，当双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近，但又永远不相交.我们把这两条直线y=±x

称为双曲线的渐近线.1215.离心率我们把双曲线的焦距2c与实轴长2a之比

称为双曲线的离心率，记作e，即因为c>a>0，所以双曲线的离心率e>1.由可以看出，e越大，

的值越大，从而渐近线y=±x

的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率e反映了双曲线的“张口”大小.同样，我们可以得到双曲线=1（a>0，b>0）的几何性质.122双曲线的几何性质，总结如下表.123124借助上表所列的几何性质，可以快速画出双曲线的草图.步骤是：1.根据双曲线的标准方程画出双曲线的渐近线（渐近线把平面分割成四个部分）；2.标出双曲线的顶点，用描点法画出双曲线在第一象限的草图；3.利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.当然，也可以使用计算机软件便捷地绘制图像.125在方程=1（a>0，b>0）中，如果a=b，那么双曲线的方程为

x2-y2=a2，它的实轴长和虚轴长都等于2a.这时直线x=±a，y=±b围成正方形，渐近线方程为y=±x.这种双曲线称为等轴双曲线，e=，如图所示.1266.8抛物线127实例考察仔细观察下面两幅图片所显示的曲线，你还能举出类似的曲线吗?一个喷泉观察喷泉（如图所示），其喷出的水的运动轨迹是一条条优美的曲线.128一条曲线取一把直尺、一根绳子和一块三角板.如图所示，将直尺固定在平板上直线l的位置处，将三角板的一条直角边紧靠着直尺，再将绳子的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A

处.取绳长等于点A

到直角顶点C的长（点A

到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在平板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A

到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在平板上描出了一条曲线.129抛物线的定义及其标准方程喷泉喷出的水的运动轨迹（曲线）正是我们见过的二次函数的图像，即抛物线.用实例考察中的方法画出的曲线也是抛物线，对称轴是水平直线.分析画抛物线的作图方法不难看出，曲线上的任意一点到直尺的距离与到点F的距离相等.我们定义：130如图所示，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为H，并使原点O

与线段HF

的中点重合，建立直角坐标系xOy.设|HF|=p（p>0），那么焦点F的坐标为

准线l的方程为x=.设P（x，y）是抛物线上的任意一点，作PN⊥l，垂足为N，由抛物线的定义可知丨PF丨=丨PN丨.131由两点间的距离公式得展开整理得y2=2px（p>0）.这个方程称为抛物线的标准方程，它表示焦点在x

轴的正半轴上的抛物线（开口向右），它的焦点为F

，准线方程为x=.132在建立抛物线的标准方程时，如果建立的直角坐标系使焦点在不同的坐标轴上，则得到的标准方程也不同，所以抛物线的标准方程还有另外三种形式.四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程见下表.133134抛物线的几何性质根据抛物线的标准方程，研究抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等，列表如下：135立体几何第7章136目录7.1空间几何体7.2空间几何体的三视图和直观图7.3简单几何体的表面积和体积7.4空间直线的位置关系7.5直线与平面的位置关系7.6平面与平面的位置关系137教学要求：1.利用实物、模型，观察大量空间图形，认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构特征.2.了解三视图的初步知识，能画简单几何体的三视图，初步掌握由几何体的三视图想象表示几何体的能力；会用斜二测法画出水平放置的简单几何体的直观图.体会三维空间问题向二维平面问题转化的思想.3.理解直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥的侧面积、表面积和体积公式；了解球的表面积和体积公式.1384.了解平面的基本性质，会判定空间几何体中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.5.会根据判定定理和性质定理判断直线与直线、平面与平面之间的平行或垂直的关系，并能解决有关的简单实际问题.6.了解空间点到直线的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并能进行有关的简单计算.7.了解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的概念，并能在简单几何体中进行有关角度的计算.1397.1空间几何体140知识回顾初中阶段，我们已经初步接触了空间直线与平面、平面与平面的垂直与平行的检验方法.可以根据下表来回忆这些知识.141142143实例考察观察下图中物体（几何体）的整体结构，尝试将它们分类.144棱柱和棱锥的几何特征由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体称为多面体.构成多面体的各个平面多边形称为多面体的面.一个多面体中，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点.145棱柱

如图所示的计算机机箱和茶叶盒我们都非常熟悉.仔细观察两者的外形简图，就会发现它们的共同特点：两幅简图所示的几何体都是多面体；每个多面体都至少有两个平面平行，且总能找到这样的两个互相平行的平面；不在这两个面上的棱都互相平行.由此，我们可以把具有上述特点的几何体归为一类.146棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；两底面间的距离为棱柱的高；其余各面称为棱柱的侧面；相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形······的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱······我们常用底面顶点的字母表示棱柱.147右图中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱结构的物体.观察这些棱柱可知，它们的侧棱与底面垂直，我们把这样的棱柱称为直棱柱.其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多边形，侧面都是全等的矩形，我们把它们称为正棱柱.右图中的（1）（11）（12）和（13）分别是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱.148棱锥观察上图中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以发现，它们都有一个面是多边形，其余各面是具有一个公共顶点的三角形.在棱锥中，多边形的面称为棱锥的底面（或底）；有公共顶点的各个三角形称为棱锥的侧面；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱；各侧棱的公共点称为棱锥的顶点；顶点到底面的距离称为棱锥的高.底面是三角形、四边形、五边形······的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥······其中三棱锥又称四面体.棱锥也用顶点和底面各顶点的字母表示.149下图中的（3）（7）（10）和（16）都是棱锥，而且它们的底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，我们把这样的棱锥称为正棱锥.下图中的（3）（7）（10）和（16）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥.150圆柱和圆锥的几何特征圆柱我们用一个长方形的硬纸片绕其一边旋转一周，就能得到一个几何体.下图所示是矩形O'OBB'以一边O'O

所在的直线为旋转轴旋转而成的圆柱.我们把旋转轴称为圆柱的轴；垂直于轴的边O'B'，OB

旋转而形成的圆面称为圆柱的底面；两个底面之间的距离称为圆柱的高；平行于轴的边B'B

旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边B'B

都称为圆柱的母线.圆柱可以用表示它的轴的字母表示.151152我们通常将圆柱和棱柱统称为柱体.圆锥与圆柱一样，圆锥也是由平面图形旋转而成的.如图所示是直角三角形SBO

以一条直角边SO所在的直线为旋转轴旋转而成的圆锥.我们把旋转轴称为圆锥的轴；直角边SO

的长度称为圆锥的高；另一条直角边OB

旋转而成的圆面称为圆锥的底面；斜边SB

旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边SB

都称为圆锥的母线.圆锥可以用表示它的轴的字母表示.153球的结构特征同样，球也是由平面图形旋转而成的.下图a所示的球是半圆以直径AB

所在的直线为旋转轴旋转而成的.在这个球中，AB

的中点O

称为球心；通过球心，且两端在球面上的线段称为球的直径；两端分别为球心和球面上任意一点的线段称为球的半径.球常用表示球心的字母表示.154155用一个平面去截球，截面是圆面，这个圆面称为球截面，如图b所示.经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆，不经过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆.156当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质：（1）球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面；（2）设球心到球截面圆心的连线OO'的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有以上讨论的多面体（棱柱和棱锥）以及旋转体（圆柱、圆锥和球），都是简单的几何体.简单组合体记得小时候玩过的积木吗?我们可以使用很多简单的几何体，例如圆柱、长方体等搭建出各种各样的房屋、城堡、家具（如图a）等.再观察如图b所示的零件，从整体看，它不属于前面学过的任何一种几何体，但它是由一个正六棱柱和一个圆柱组成的，我们把它称为简单组合体.1577.2空间几何体的三视图和直观图158实例考察已分组进行下面的两个游戏，在游戏中体会对物体形状的描述方法，同时锻炼自己的空间想象能力.游戏一选出四个同学围坐在一张桌子的四周，桌子上面放着一张写有数字“9”的纸（如图所示），甲同学看到了“9”，乙同学看到了“

”，丙同学看到了“6”，丁同学看到了“

”.根据他们看到的图形你能确定他们的座次吗?15999游戏二如图所示，准备13个边长为a的小正方体.选出同学甲，以不同数目的小正方体搭建不同的几何体，然后向其他同学描述自己所搭建的几何体的形状.根据同学甲的描述，其他同学在纸上绘出示意图（不要求精确，但要求体现出大致形状）.同学甲在描述几何体时可以使用任意方式，但要求其中一种方式为：分别描述出从几何体的正面、左面和上面看到的图形（如图所示）.其他同学在绘制出示意图后，对照同学甲搭建的几何体，看看自己绘制的是否正确.160通过“游戏一”可以看出，对于平面物体，例如游戏中的数字“9”，从不同角度进行观察，看到的形状会有所不同.通过“游戏二”可以看出，对于不同的几何体，我们可以采用很多种方式对它们进行描述，例如语言描述和图形描述，从而向其他人传递几何体的形状信息.对于一些形状复杂的几何体，单纯依靠语言和文字很难作出简明并且准确的描述，所以自从劳动开创人类文明史以来，图形始终是人们认识自然、表达和交流思想的主要形式之一.161空间几何体的三视图在“游戏二”中，假设同学甲使用了两个边长为a的正方体搭建了如图a所示的几何体.我们想象有平行射线分别对几何体从前向后（主视方向）、从上向下（俯视方向）和从左向右（左视方向）投射，这时在几何体的后面、下面和右面的平面上所得到的平面图形分别称为几何体的主视图、俯视图和左视图（如图b所示）.162如图c所示，保持主视图平面不动，将俯视图平面向下旋转90°，左视图平面向右旋转90°，这样三个视图就在一个平面上了.以这三种视图方式来表现空间几何体结构的图就称为空间几何体的三视图.下图d就是同学甲所搭建几何体的三视图.163空间几何体的直观图对于空间几何体的直观图，我们并不陌生.例如在“游戏二”中，下图就是同学甲用13个正方体搭建的几何体的直观图.直观图都有较强的立体感，接近人们直接观察的效果.水平放置的平面图形在直观图中变化较明显，如正方体的上、下底面变成了平行四边形，圆柱的上、下底面变成了类似椭圆的图形.因此，要画空间几何体的直观图，就要先研究水平放置的平面图形的直观图.1647.3简单几何体的表面积和体积165实例考察工件下料制作如图所示空心圆柱筒，需要裁剪一块长方形板材，然后圈制而成.若已知圆柱筒的直径和高度，那么需要准备多大面积的一块板材（不考虑壁厚）?游泳池注水下图所示游泳池的长为50m，宽为25m，深为2m，向池中注水，每小时注水量为90m3，那么注满整池的水需要多长的时间?166直棱柱与正棱锥的表面积和体积将较厚的纸板按下图的样子分别画好并剪裁，再把它沿虚线折起来并粘上，做成模型.167通过观察可以发现，由上图a所示纸板折成的模型是直五棱柱：中间的矩形成了五棱柱的侧面，上下两个五边形成了直五棱柱的两个底面，且矩形的长等于直五棱柱底面的周长，矩形的宽为直五棱柱的侧棱长，即直五棱柱的高.实际上，下图a就是直五棱柱的表面展开图.表面展开图的面积就是直五棱柱的表面积，即S表=S侧+2S底.由上图b所示纸板折成的模型是正五棱锥：五个全等的等腰三角形围成了棱锥的侧面，正五边形为棱锥的底面，且五个等腰三角形底边长的和等于正五棱锥底面的周长，等腰三角形的腰长为侧棱长.实际上，上图b就是正五棱锥的表面展开图.表面展开图的面积就是正五棱锥的表面积，即S表=S侧+S底.168直棱柱、正棱锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表.169圆柱与圆锥的表面积和体积用纸剪出一个矩形和一个扇形.把矩形卷起来，并把它的一组对边粘好；再把扇形卷起来（如图所示），并把它的两条半径粘好.170观察可以发现，由矩形围成的是一个圆柱体的侧面.可以知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形，且矩形的长等于圆柱底面圆的周长，宽为母线长，即圆柱的高.圆柱的底面为两个全等的圆面.由扇形围成的是一个圆锥体的侧面.可以知道，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长.圆锥的底面为一个圆.171圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表.172球的表面积和体积1737.4空间直线的位置关系174实例考察平面及其基本性质下立体到平面平行的光线从上方照射空间物体，在物体下方的地面上就可以得到该物体的平面投影图形（如图所示）.平面到立体制作立方体包装盒时，需要按照该立方体展开的平面图形裁剪纸板，然后拼接制作完成（如图所示）.175平面的表示方法正像直线是可以无限延伸的一样，平面也是可以无限延伸的，也就是说，平面是没有边界的.在日常生活中常见的桌面、黑板面（如图所示）等，都只是平面的局部形象.176平面可以用一个小写希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上三个（或三个以上）不在同一直线上点表示.要在纸上画出一个无限延展的平面时，通常只画出平面的一个局部，并画成平行四边形.当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画（如图所示）.177点、直线与平面的确定找一块平板，在它的某一面（该面平整）上任意画出点A，B.使用直尺在点A，B

间画线，可以发现，只要直尺边缘上有两点分别与A，B

重合，那么直尺边缘就会全都在平板的平面上（如图所示）.178公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（如图所示）.观察如图所示的相机三脚架，在它的调节范围内，调节任意一条腿的高度，都可以保证三脚架三条腿着地，稳定地立在平面上.179公理2不共线（不在同一条直线上）的三个点确定一个平面.如图所示，A，B，C三个点确定一个平面α，这里“确定一个平面”指“有且只有一个平面”.不共线的三个点A，B，C

确定的平面可以记作“平面ABC”.180根据公理1、公理2，可得出：推论1一条直线和直线外一点确定一个平面（如下图a）.推论2两条相交直线确定一个平面（如下图b）.推论3两条平行直线确定一个平面（如下图c）.181公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线.如图所示，点A

是平面α和β的一个公共点，则平面α和β有且只有一条经过点A

的公共直线l.这时也称平面α和β相交于l.182空间直线的位置关系实例考察在同一平面内不重合的两条直线，只有相