2026年山东省烟台市中考数学试卷及答案

第1页（共1页）2026年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）1．（3分）的相反数是（）A． B． C．﹣2 D．22．（3分）一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队．24千亿用科学记数法表示为（）A．24×1011 B．2.4×1011 C．2.4×1012 D．0.24×10124．（3分）如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算结果为m5的算式是（）A．m3•m2 B．m5÷m C．（m2）3 D．m3+m26．（3分）如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是0﹣9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD．若AB∥CE，∠CAB＝36°，则∠CDB的度数为（）A．14° B．16° C．18° D．20°8．（3分）若整数m使关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣39．（3分）如图，直线yx+2与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y的图象交于C，D两点，CE⊥x轴，垂足为E，连接DE．若OA＝2OE，则△CDE的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．2410．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（）A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）计算（π﹣1）0+（）﹣3的结果为．13．（3分）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为．14．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC，以AB为直径作⊙O，与AC交于点F，与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为．15．（3分）如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA1A2A3，点A3在x轴上，且∠A1OA3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上；再将点A7向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A8A9A10A11，点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为．16．（3分）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ．设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系．当点P运动到CD中点时，BQ的长度为．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）先化简、再求值：，其中|x|＝1．18．（8分）AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：类别平均数/分中位数/分众数/分数字人模型ab7AI助教模型88c请根据上述信息解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝，m＝；（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率．19．（7分）如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：（1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝2，BC＝4，EF与AD交于点G，求FG的长．20．（8分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元．21．（8分）【综合与实践】活动主题测算矩形广告牌的面积测量工具皮尺、无人机、计时器、计算器等活动过程测量过程如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直．支柱EF长6.4米，且垂直于地面．无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）．模型建构参考数据sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．问题解决求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）．22．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，O是边AB上一点，以OB为半径作⊙O，分别与BC，AB交于D，E两点，与AC相切于点F，连接EF、BF．（1）求证：；（2）试用等式表示线段BE，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．23．（12分）【尝试发现】（1）如图1，△ABC∽△ADE，．当点D，E分别在边AB和AC上时，的值是．【变式探究】（2）如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F．①求的值；②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明．【联系拓广】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在边BC上且BE＝2，连接AE．F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG．①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长；②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长．24．（13分）如图，直线y＝﹣x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为B．抛物线的对称轴为直线x．（1）求抛物线的表达式；（2）点D在抛物线上，横坐标为t，若点D到直线AC的距离为，求出所有满足条件的t的值；（3）若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出PHPO的最小值．

2026年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）1．（3分）的相反数是（）A． B． C．﹣2 D．2【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：的相反数是．故选：B．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（3分）一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故B不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．3．（3分）2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队．24千亿用科学记数法表示为（）A．24×1011 B．2.4×1011 C．2.4×1012 D．0.24×1012【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：24千亿＝2400000000000＝2.4×1012，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．4．（3分）如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（）A． B． C． D．【分析】根据左视图的定义：从几何体的左边看所得到的视图，即可得出答案．【解答】解：根据左视图的定义，从左边看几何体得到的图形是：．故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图，明确左视图是从几何体的左边看所得到的视图，是解题的关键．5．（3分）下列运算结果为m5的算式是（）A．m3•m2 B．m5÷m C．（m2）3 D．m3+m2【分析】利用同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方法则计算各式后进行判断即可．【解答】解：m3•m2＝m5，则A符合题意，m5÷m＝m4，则B不符合题意，（m2）3＝m6，则C不符合题意，m3与m2不是同类项，无法合并，则D不符合题意，故选：A．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．（3分）如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是0﹣9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（）A． B． C． D．【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：∵共有10个数字，∴一共有10种等可能的选择，∵一次成功打开该行李箱只有1种情况，∴一次成功打开该行李箱的概率为．故选：D．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（3分）如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD．若AB∥CE，∠CAB＝36°，则∠CDB的度数为（）A．14° B．16° C．18° D．20°【分析】如图，延长AC到点F，由平行线的性质求出∠FCE＝∠CAB＝36°，然后结合折叠的性质求解．【解答】解：如图，延长AC到点F，∵AB∥CE，∠CAB＝36°，∴∠FCE＝∠CAB＝36°，由折叠得，，∵AB∥CE，∴∠CDB＝∠FCD＝18°，故选：C．【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．8．（3分）若整数m使关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】解各不等式后根据题意确定m的取值范围，然后解分式方程后根据题意求得m的取值范围，据此求得符合题意的整数m的值，最后将它们相加并计算即可．【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣3，解第二个不等式得：x，∵原不等式组有且只有3个整数解，∴这3个整数解必然为﹣2，﹣1，0，∴01，解得：﹣3＜m≤1，将原分式方程去分母得：2y﹣2+3m＝y+4m，整理得：y＝m+2，∵该方程的解为非负数，∴y≥0且y﹣1≠0，∴m+2≥0且m+2﹣1≠0，解得：m≥﹣2且m≠﹣1，综上，﹣2≤m≤1且m≠﹣1，则m的整数解为﹣2，0，1，那么﹣2+0+1＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式及方程的方法是解题的关键．9．（3分）如图，直线yx+2与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y的图象交于C，D两点，CE⊥x轴，垂足为E，连接DE．若OA＝2OE，则△CDE的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．24【分析】先利用一次函数求出点A的坐标，由OA＝2OE推出点E的坐标，再次利用一次函数求出点C的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点D的坐标，最后利用割补法求出△CDE的面积．【解答】解：将y＝0代入，得x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝2OE，∴OE＝2，AE＝6，∴点E的坐标为（2，0），∵CE⊥x轴，∴xC＝xE＝2，将x＝2代入，得y＝3，∴点C的坐标为（2，3），将点C（2，3）代入，得k＝6，∴反比例函数的解析式为，联立一次函数与反比例函数得，，解得或，∴点D的坐标为（﹣6，﹣1），∴S△CDE＝S△ADE+S△ACEAE•|yD|AE•|yC|6×16×3＝3+9＝12，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（）A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点分别判断a、b、c的正负，进而判断abc的正负；②用对称轴公式，变形推导等式；③把b＝﹣4a、A（1，0）代入解析式得c＝3a，结合c的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得B点坐标，据c＝3a，得C点坐标，将x＝2，c＝3a，b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c，得出点P的坐标，根据勾股定理列方程求出a．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线，∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴c＜0，∴abc＞0，①错；∵对称轴为直线，∴b＝﹣4a，∴4a+b＝0，②正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），∴a+b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴a﹣4a+c＝0，∴c＝3a，∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2，∴，③正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2，∴点B的坐标为（3，0），∵c＝3a，∴点C的坐标为（0，3a），当x＝2，可得y＝4a+2b+c，将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a，∴点P的坐标为（2，﹣a），∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，∵∠CPB＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，可得4+16a2+1+a2＝9+9a2，解得或，∵a＜0，∴，④正确．④解法二前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a）∵∠CPB＝90°∴CP⊥PB∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1∴④正确综上，正确的说法为②③④，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据意义可知：2x﹣1≥0，且，解得且，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握其相关知识点是解题的关键．12．（3分）计算（π﹣1）0+（）﹣3的结果为﹣3．【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可．【解答】解：（π﹣1）0+（）﹣3＝1+（﹣8）+4＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（3分）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为．【分析】根据“五人同车三车空，四人同车九步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵五人同车三车空，∴5（x﹣3）＝y；∵四人同车九步行，∴4x+9＝y．∴根据题意可列出方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC，以AB为直径作⊙O，与AC交于点F，与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为．【分析】根据正五边形的定义得出AB＝CB，∠ABC＝108°，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACB＝36°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AGB＝90°，最后根据直角三角形的性质求解即可∠FAG＝90°﹣∠ACG＝54°，进而得GOF＝2∠GAF＝108°，然后，再求扇形的面积即可．【解答】解：如图，连接AG，∵在正五边形ABCDE中，∴AB＝CB＝10，，∴，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，，∴∠FAG＝90°﹣∠ACB＝54°，∴∠GOF＝2∠GAF＝108°，∴；解法2，由题可知OF＝OAABBC＝5，∵O为AB的中点，∴OF是△ABC的中位线，∵OG＝OB，∴∠OBG＝∠OGB＝72°，∵∠OGB与∠GOF互补，∴∠GOF＝108°，∴阴影部分面积＝π×25π；故答案为：．【点评】本题考查了圆的基本性质，掌握圆的基本性质是解题的关键．15．（3分）如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA1A2A3，点A3在x轴上，且∠A1OA3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上；再将点A7向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A8A9A10A11，点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为（125，）．【分析】过点A1作A1H⊥x轴于点H，从A1开始，每8个点记为1组，根据126＝8×15+6得到A126的位置和第1组中A6的位置相同，然后求出A6，A14，A22的坐标，发现规律解答即可．【解答】解：如图，过点A1作A1H⊥x轴于点H，∵所有菱形都两两全等，∴从A1开始，每8个点记为1组，∵126＝8×15+6，∴A126的位置和第1组中A6的位置相同，∵∠A1OA3＝60°，∴∠OA1H＝30°，∵菱形OA1A2A3的边长为2，∴OA1＝A1A2＝OA3＝2，∴OHOA1＝1，∴A1H，∴A1（1，），∴A2（3，），A3（2，0），由平移得，A3A4＝2，∴OA4＝OA3+A3A4＝4，∴A4（4，0），A7（6，0），∵菱形OA1A2A3与菱形A4A5A6A7全等，同理可得，A6（5，），A14（13，），A22（21，），∴A6+8n（5+8n，），∴A6+8×15（5+8×15，），∴A126（125，）．故答案为：（125，）．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据126＝8×15+6得到A126的位置和第1组中A6的位置相同解答．16．（3分）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ．设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系．当点P运动到CD中点时，BQ的长度为．【分析】根据函数图象可知，当点P运动到点B时，BQ取得最小值，当点P运动到点C时，BQ长度为5，利用直角三角形斜边中线性质求出AB和AC的长，进而求出BC的长，确定矩形边长，当点P在CD中点时，延长BQ，CD，相交于点E，证明△ABQ≌△PEQ（AAS），得到BQ＝EQ，PE＝AB＝6，根据勾股定理求出BE，即可解答．【解答】GU解：由图2可知，当x＝a时，y取得最小值3，此时点P运动到点B，∵点P与点B重合，且点Q是AP的中点，∴，∴AB＝6；∵当x＝b时，y＝5，此时点P运动到点C，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵点Q是AC的中点，∴，∴AC＝10，∴在Rt△ABC中，，∴在矩形ABCD中，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6．延长BQ，CD，相交于点E，∵点Q是AP的中点，∴AQ＝PQ，∵在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABQ＝∠E，∠BAQ＝∠EPQ，∴△ABQ≌△PEQ（AAS），∴BQ＝EQ，PE＝AB＝6．∵点P是CD的中点，∴，∴CE＝CP+PE＝3+6＝9，在矩形ABCD中，∠C＝90°，∴在Rt△BCE中，，∵BQ＝EQ，∴，故答案为：．方法2：过Q点作MN∥AD交AB于M，交PD于N，∴PNPD＝AM＝1.5，MQMNAD＝4，BM＝4.5，在Rt△BQM中，BQ．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理等，掌握综合知识是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）先化简、再求值：，其中|x|＝1．【分析】先算除法，然后算减法，再将符合题意的x的值代入计算即可．【解答】解：原式11；∵|x|＝1且x﹣1≠0且x≠0，∴x＝﹣1，原式1．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（8分）AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：类别平均数/分中位数/分众数/分数字人模型ab7AI助教模型88c请根据上述信息解答下列问题：（1）填空：a＝7.2，b＝7，c＝8，m＝30；（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率．【分析】（1）利用求平均数的公式求出a，利用中位数和众数的定义求出分别求出b，c，先求出扇形统计图中8分所占百分比，用整体1减去其他各部分的百分比即可求解m；（2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：（1），∴a＝7.2；一共20个数据从小到大排列，第10和11个数据的平均数是中位数，由柱状图知第10和11个数据都是7，∴中位数为7，即b＝7；由扇形统计图可知“AI助教模型”中8分出现次数最多，∴c＝8；∵扇形统计图中8分占百分比为：，∴1﹣5%﹣15%﹣10%﹣40%＝30%，即m＝30；故答案为：7.2；7；8；30；（2）共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2种，∴P（抽到2名男生）．【点评】本题考查了数据分析能力，掌握数据分析能力是解题的关键．19．（7分）如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：（1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝2，BC＝4，EF与AD交于点G，求FG的长．【分析】（1）在线段AC上截取线段AE，使得AE＝AB，过点E作ET⊥AC，在射线ET上截取线段EF，使得EF＝BC，连接AF即可；（2）利用相似三角形的性质求解．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠ACB＝∠GAE，∵∠AEG＝∠B＝90°，∴△ABC∽△GEA，∴，∴，∴GE＝1，∵EF＝BC＝4，∴FG＝EF﹣EG＝4﹣1＝3．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．20．（8分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据每天盈利525元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（30，40），（40，30）代入得：，解得：，∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+70；（2）由题意得：（x﹣20）（﹣x+70）＝525，整理得：x2﹣90x+1925＝0，解得：x1＝35，x2＝55，∵尽可能的让利于顾客，∴x2＝55不符合题意，舍去，答：该款文创产品每件的售价为35元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法取一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．（8分）【综合与实践】活动主题测算矩形广告牌的面积测量工具皮尺、无人机、计时器、计算器等活动过程测量过程如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直．支柱EF长6.4米，且垂直于地面．无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）．模型建构参考数据sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．问题解决求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）．【分析】延长DC交MN于点H，则DH⊥MN，根据题意可得：MN＝24米，GM∥DH，从而可得∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，然后设CH＝x米，则DH＝（x+11）米，分别在Rt△DMH和Rt△MCH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：延长DC交MN于点H，则DH⊥MN，由题意得：MN＝3×8＝24（米），GM∥DH，∴∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，设CH＝x米，∵DC＝11米，∴DH＝DC+CH＝（x+11）米，在Rt△DMH中，MH＝DH•tan36.9°≈0.75（x+11）米，在Rt△MCH中，MH＝CH•tan67.4°≈2.4x（米），∴2.4x＝0.75（x+11），解得：x＝5，∴MH＝2.4x＝12（米），∵EF＝6.4米，∴BC＝MN﹣MH﹣EF＝24﹣12﹣6.4＝5.6（米），∴矩形广告牌ABCD的面积＝BC•CD＝5.6×11≈62（平方米），∴矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，O是边AB上一点，以OB为半径作⊙O，分别与BC，AB交于D，E两点，与AC相切于点F，连接EF、BF．（1）求证：；（2）试用等式表示线段BE，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．23．（12分）【尝试发现】（1）如图1，△ABC∽△ADE，．当点D，E分别在边AB和AC上时，的值是．【变式探究】（2）如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F．①求的值；②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明．【联系拓广】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在边BC上且BE＝2，连接AE．F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG．①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长；②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长．【分析】（1）由相似三角形的性质可得，从而可得，，再结合BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE，计算即可得出结果；（2）①由相似三角形的性质可得，∠BAC＝∠DAE，从而得出，∠BAD＝∠CAE，再证明△BAD∽△CAE，即可得出结果；②连接AF，由①得△BAD∽△CAE，由相似三角形的性质得出∠ABF＝∠ACF，即点A、B、C、F四点共圆，最后再由圆周角定理即可得证；（3）①由矩形的性质得∠ABC＝90°，由勾股定理得，由相似三角形的性质得∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，证明点A、F、G、E四点共圆，求出∠AEG＝90°，从而可得，由正切的定义得出，设FG＝2x，则AF＝3x，结合勾股定理求出，从而可得BF＝3，即可得出结果；②由主动点F在直线BC上，得出点G在直线EG上运动，当CG1⊥EG时，CG的长度最小，为CG1，此时点F在F1处，由①得∠AEG＝90°，结合正切的定义得出，设，则EG1＝3a，由勾股定理求得，，作G1M⊥BC∓M，由等面积法得出，从而可得，，再证明△ABF1∽△F1MG1，由相似三角形的性质计算即可得出结果．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴，∴，，∵点D，E分别在边AB和AC上，∴BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE，∴，故答案为：；（2）①∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴；②∠BAC＝∠BFC，证明如下：连接AF，由①得△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，∴点A、B、C、F四点共圆，∴∠BAC＝∠BFC；（3）①∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴，∵△AFG∽△ABE，∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，∵点F在线段CB的延长线上，∴∠AGF＝∠AEF，∴点A、F、G、E四点共圆，∴∠AFG+∠AEG＝180°，∴∠AEG＝90°，∵，∴，∵∠FAG＝∠BAE，∴，∴，设FG＝2x，则AF＝3x，由勾股定理得AF2+FG2＝AG2，∴，∴（负值不符合题意，舍去），∴，∴，∴EF＝BF+BE＝5；解法2：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴，∵△AFG∽△ABE，∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，∵点F在线段CB的延长线上，∴∠AGF＝∠AEF，∴点A、F、G、E四点共圆，∴∠AFE＝∠AGE，∵AG为直径，∴∠AEG＝90°，当AE＝GE时，∠AGE＝∠AFE＝45°，∵FB＝AB＝3，∴FE＝FB+BE＝5；②∵主动点F在直线BC上，∴从动点G必须在某一直线上，∵当点F在点B时，点G在点E的位置，∴点G在直线EG上运动，当CG1⊥EG时，CG的长度最小，为CG1，此时点F在F1处，由①得∠AEG＝90°，∴∠AEB+∠BEG＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BEG＝∠BAE，∵∠BEG＝∠CEG1，∴∠BAE＝∠CEG1，∴，∴，设，则EG1＝3a，由