2026年四川省眉山市中考数学试卷及答案

第1页（共1页）2026年四川省眉山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将相应题目的正确选项涂黑。1．（4分）﹣6的绝对值是（）A． B． C．6 D．﹣62．（4分）眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物7.6万余件．将76000用科学记数法表示为（）A．7.6×104 B．7.6×105 C．76×104 D．0.76×1053．（4分）下列计算正确的是（）A．（a+2）2＝a2+4 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．a3+a3＝2a6 D．2ab+3ba＝5ab4．（4分）我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为90，91，86，88，90．则这组数据的众数和中位数是（）A．90，86 B．90，88 C．91，86 D．90，905．（4分）如图，已知直线m∥n，∠1＝45°，∠2＝25°，则∠3的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线DE交BC于点F，连接AF，若∠B＝50°，∠C＝60°，则∠CAF的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°7．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A． B． C． D．8．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，点P为线段BC上的一个动点（不与端点重合），过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，连接MN，则MN的最小值为（）A．cm B．cm C．cm D．cm9．（4分）如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF．AE平分∠BAF交BC于点E，过点E作EM⊥AF，垂足为点N，交AD于点M．若AB＝6，BE＝2，则△AMN的面积为（）A．12 B．24 C．36 D．4810．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。11．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．（4分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是．13．（4分）若方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x2+x1的值为．14．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的值为．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在AB边上，且BE＝3，点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B′，连接AB′．点G在线段AB′上，若AG'，连接DG，则DG的最小值为．三、解答题：本大题共9个小题，共90分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上。16．（8分）计算：（﹣4）×2．17．（8分）先化简，再求值：，其中a，b满足|b+1|＝0．18．（10分）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动•我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数是人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为人；（2）补全条形统计图；（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．19．（10分）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB．为确定跨湖桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为60°；从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB的长度（结果精确到1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，1.73）20．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，对角线AC平分∠BAD交BD于点E，点F在AB的延长线上，且满足∠BCF＝∠BAC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若CE＝3，BE＝5，求⊙O的半径．21．（10分）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；（2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？22．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（m，8），B（﹣4，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b的解集；（3）将直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C，D两点，交y轴于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接AC，已知点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是直线BC上一个动点，连接PA，PO，当PA+PO的长度最小时，求点P的坐标；（3）点Q是二次函数图象上一个动点，当∠BCQ＝∠ACO时，请直接写出点Q的坐标．24．（12分）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F．【初步探究】（1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长．【拓展延伸】（3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当k（k＞1）时，求的值（用含k的式子表示）．

2026年四川省眉山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将相应题目的正确选项涂黑。1．（4分）﹣6的绝对值是（）A． B． C．6 D．﹣6【分析】根据绝对值的定义求解．【解答】解：|﹣6|＝6．故选：C．【点评】本题考查了绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．2．（4分）眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物7.6万余件．将76000用科学记数法表示为（）A．7.6×104 B．7.6×105 C．76×104 D．0.76×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：76000＝7.6×104．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列计算正确的是（）A．（a+2）2＝a2+4 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．a3+a3＝2a6 D．2ab+3ba＝5ab【分析】利用完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：（a+2）2＝a2+4a+4，则A不符合题意，（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，则B不符合题意，a3+a3＝2a3，则C不符合题意，2ab+3ba＝5ab，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（4分）我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为90，91，86，88，90．则这组数据的众数和中位数是（）A．90，86 B．90，88 C．91，86 D．90，90【分析】5个数据，按次序排列后，中位数应是第3个数；众数是出现次数最多的数据．【解答】解：有5个数，按次序排列后，第三个数是90，所以中位数是90；而90出现次数也最多，所以众数是90；故选：D．【点评】本题考查了众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．5．（4分）如图，已知直线m∥n，∠1＝45°，∠2＝25°，则∠3的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据平行线的性质进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵m∥n，∠1＝45°，∴∠4＝∠1＝45°．又∵∠2＝25°，∴∠3＝∠2+∠4＝25°+45°＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．6．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线DE交BC于点F，连接AF，若∠B＝50°，∠C＝60°，则∠CAF的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】先利用基本作图得到DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B＝50°，接着利用三角形内角和定理计算出∠AFB＝80°，然后根据三角形外角性质计算出∠CAF的度数．【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，∴FA＝FB，∴∠FAB＝∠B＝50°，∴∠AFB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠AFB＝∠CAF+∠C，∴∠CAF＝80°﹣60°＝20°．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵五只雀，六只燕，共重16两，∴5x+6y＝16；∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，∴4x+y＝5y+x．∴根据题意可列出方程组．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，点P为线段BC上的一个动点（不与端点重合），过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，连接MN，则MN的最小值为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】本题中，菱形ABCD的对角线AC＝6cm、BD＝8cm，由菱形性质知对角线互相垂直平分，可得OC＝3cm、OB＝4cm，进而求出边长BC＝5cm．点P在BC上运动时，因PM⊥AC、PN⊥BD且AC⊥BD，四边形PMON为矩形，故MN＝OP．要求MN的最小值，即求点O到BC的最短距离（当OP⊥BC时取得）．利用△BOC的面积公式（，可算出，即MN的最小值为．【解答】解：在菱形ABCD中，已知对角线AC＝6cm，BD＝8cm，交于点O．根据菱形性质：对角线互相垂直平分→AO＝OC＝3cm，BO＝OD＝4cm；边长．点P在BC上运动，作PM⊥AC，PN⊥BD．由于AC⊥BD，四边形PMON为矩形，∴MN＝OP．因此，求MN的最小值等价于求点O到线段BC的最短距离，即当OP⊥BC时取得最小值．利用△BOC面积的两种表示法：方法一：，方法二：，解得：，故MN的最小值为．故选：B．【点评】题目考查了菱形的性质，解题关键在于相关知识的灵活运用．9．（4分）如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF．AE平分∠BAF交BC于点E，过点E作EM⊥AF，垂足为点N，交AD于点M．若AB＝6，BE＝2，则△AMN的面积为（）A．12 B．24 C．36 D．48【分析】通过全等三角形转化线段关系，利用勾股定理建立方程求出线段长度，进而利用相似比或三角函数关系求解三角形面积．【解答】解：∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠NAE．∵EM⊥AF，∴∠ANE＝90°，在矩形ABCD中，∠B＝90°，在△ABE和△ANE中：∠B＝∠ANE＝90°．∠BAE＝∠NAE．AE＝AE（公共边），∴△ABE≌△ANE（AAS）．根据全等三角形的性质可得：AN＝AB＝6，EN＝BE＝2．设MN＝x．∵M，N，E三点共线，∴ME＝MN+EN＝x+2．在Rt△AMN中，根据勾股定理：AM2＝AN2+MN2．代入数值：AM2＝62+x2＝36+x2．∵AD∥BC，∴∠AME＝∠CEM（内错角相等）．在Rt△AMN中，∠MAN+∠AMN＝90°，在Rt△ANE中，∠NAE+∠AEN＝90°，∵∠MAN＝∠NAE，∴∠AMN＝∠AEN．在△AME中，∠AME＝∠AEM（即∠AEN），∴△AME是等腰三角形，即AM＝ME．由AM＝ME可得：AM＝x+2．将AM＝x+2代入步骤2中的勾股定理方程：（x+2）2＝36+x2，展开方程：x2+4x+4＝36+x2，移项合并同类项：4x＝32，解得：x＝8．∴MN＝8．△AMN是直角三角形，两直角边分别为AN和MN．面积S△AMN•AN•MN6×8＝24．故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、角平分线的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用﹣3≤c≤﹣2和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵抛物线的对称轴为直线x1，即b＝﹣2a＜0，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＞0，故①错误；∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），∴﹣3≤c≤﹣2，∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣3≤﹣3a≤﹣2，∴a≤1，故②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最小值n，∴a+b+c≤am2+bm+c，∴a+b≤am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），且抛物线开口向上，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有没有的实数根，故④错误．综上，正确的有②③，共2个．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。11．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．12．（4分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是15．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出EF，进而求出DF．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝10，∴DF＝DE+EF＝5+10＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．（4分）若方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x2+x1的值为﹣12．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．【解答】解：由题知，因为方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝4，x1x2＝﹣3，所以3×4＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的值为﹣1，1．【分析】先解不等式组求得m的取值范围，再解分式方程确定m的最终范围，然后求得m的整数解即可．【解答】解：解第一个不等式得：x≥1，∵原不等式组无解，∴m≤1，将原方程去分母得：1+m﹣x＝x﹣1，整理得：x，∵分式方程的解为正数，∴x＞0且x﹣1≠0，则0且1≠0，解得：m＞﹣2且m≠0，综上，﹣2＜m≤1且m≠0，则m的整数解为﹣1，1，故答案为：﹣1，1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在AB边上，且BE＝3，点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B′，连接AB′．点G在线段AB′上，若AG'，连接DG，则DG的最小值为．【分析】根据翻折的性质可知EB'＝EB＝3，即点B'在以E为圆心，3为半径的圆上运动，由，联想到位似变换，在AE上取点H使得，构造△AHG∽△AEB'，从而确定点G的轨迹是以H为圆心，2为半径的圆，连接DH，当D，G，H三点共线时，DG取得最小值，利用勾股定理求出DH的长即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝12，AB＝9，∵点E在AB边上，BE＝3，∴AE＝AB﹣BE＝9﹣3＝6，由翻折的性质可知，EB'＝EB＝3，如图，在AE上取一点H，使得，连接HG，∴，在△AHG和△AEB'中，，∠HAG＝∠EAB'，∴△AHG∽△AEB'，∴，∴，∵点H是定点，HG长为定值2，∴点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动，连接DH，当点G在线段DH上时，DG的值最小，最小值为DH﹣HG，在Rt△DAH中，AD＝12，AH＝4，根据勾股定理得：，∴DG的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，点与圆上一点的最值问题，掌握以上知识点是解题的关键．三、解答题：本大题共9个小题，共90分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上。16．（8分）计算：（﹣4）×2．【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式＝3﹣1+4﹣8＝﹣2．【点评】本题主要考查实数的运算、零指数幂及负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．17．（8分）先化简，再求值：，其中a，b满足|b+1|＝0．【分析】先化简原式，再根据非负性求出a、b的值，最后代入即可．【解答】解：原式•，由已知可得，a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴原式．【点评】本题主要考查化简求值、非负数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．18．（10分）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动•我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数是120人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为36°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为720人；（2）补全条形统计图；（3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．【分析】（1）先用喜欢B课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；再用360°乘以喜欢D课程的人数所占的百分比得到扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小；然后用2400乘以样本中喜欢C课程的人数所占的百分比，从而可估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数；（2）利用喜欢A课程和C考查的人数补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选到甲和乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为42÷35%＝120（人），扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角＝360°36°，∵喜欢A课程的人数为120×25%＝30（人），∴喜欢C课程的人数为120﹣30﹣42﹣12＝36（人），∵2400720（人），∴估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为720人；故答案为：120，36，720；（2）补全条形统计图为：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选到甲和乙两位同学的结果数为2，所以恰好选到甲和乙两位同学的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．19．（10分）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB．为确定跨湖桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为60°；从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB的长度（结果精确到1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，1.73）【分析】过点A作AM⊥CD，垂足为M，过点B作BN⊥CD，垂足为N，根据题意可得：AB＝MN，AM＝BN＝90米，CD＝300米，然后分别在Rt△ACM和Rt△DBN中，利用锐角三角函数的定义求出CM和DN的长，从而进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AM⊥CD，垂足为M，过点B作BN⊥CD，垂足为N，由题意得：AB＝MN，AM＝BN＝90米，CD＝300米，在Rt△ACM中，∠C＝60°，∴CM30（米），在Rt△DBN中，∠D＝42°，∴DN100（米），∴AB＝MN＝CD﹣CM﹣DN＝300﹣30100≈148（米），∴桥AB的长度约为148米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，对角线AC平分∠BAD交BD于点E，点F在AB的延长线上，且满足∠BCF＝∠BAC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若CE＝3，BE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，由OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA，然后由圆周角定理得到∠ACB＝90°，再结合已知条件进行等量代换证明∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°即可；（2）先由勾股定理求解BC，然后根据圆周角定理得到CD＝CB＝4，再由△DEC∽△AEB求出AB，即可求解半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BCF＝∠BAC，∴∠BCF＝∠OCA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，又∵点C在⊙O上，∴CF是⊙O的切线；（2）解：由（1）得∠ACB＝90°，∵CE＝3，BE＝5，∴，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAB，∴，∴CD＝CB＝4，∵∠BAC＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，∴△DEC∽△AEB，∴，∴，∴，∴，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．21．（10分）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；（2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）依据题意，设每月产量的增长率是x，从而2000（1+x）2＝2880，可得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（负值不合题意，舍去），从而可以得解；（2）依据题意，设该食品厂获利为w元，应降价y元，可得w＝（30﹣y）（60+5y）＝﹣5y2+90y+1800＝﹣5（y﹣9）2+2205，结合﹣5＜0，从而当y＝9时，w取得最大值，最大值为2205，进而得解．【解答】解：（1）由题意，设每月产量的增长率是x，∴2000（1+x）2＝2880，∴x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（负值不合题意，舍去）．答：每月产量的增长率为20%；（2）设该食品厂获利为w元，应降价y元，∴w＝（30﹣y）（60+5y）＝﹣5y2+90y+1800＝﹣5（y﹣9）2+2205．∵﹣5＜0，∴当y＝9时，w取得最大值，最大值为2205．答：应降价9元，且最大利润为2205元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．22．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（m，8），B（﹣4，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b的解集；（3）将直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C，D两点，交y轴于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积．【分析】（1）依据题意，将A（m，8），B（﹣4，n）代入y，求出A（1，8）、B（﹣4，﹣2），再将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx﹣b得，求出k，b即可得解；（2）依据题意得，不等式的解集为y＝kx+b的图象在y上方的自变量的取值范围，进而结合函数的图象可以判断得解；（3）依据题意，由直线AB：y＝2x+6向下平移12个单位为y＝2x﹣6，则令x＝0，y＝﹣6，可得点E（0，﹣6），又联立方程组得x＝4或﹣1，从而C（4，2），设直线AB与y轴交于点F，连结CF，可得F（0，6），故EF＝12，进而可以利用面积关系计算得解．【解答】解：（1）将A（m，8），B（﹣4，n）两点代入y，∴m＝1，n＝﹣2．∴A（1，8）、B（﹣4，﹣2）．将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx﹣b得，∴，∴．∴一次函数的表达式为y＝2x+6；（2）由题意得，不等式的解集为y＝kx+b的图象在y上方的自变量的取值范围，∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，8），B（﹣4，﹣2），∴结合函数的图象可得，﹣4≤x＜0或x≥1；（3）由题意，∵直线AB：y＝2x+6向下平移12个单位为y＝2x﹣6，∴令x＝0，y＝﹣6，∴点E（0，﹣6），联立方程组得x＝4或﹣1，∴C（4，2）．设直线AB与y轴交于点F，连结CF，则F（0，6），∴EF＝12，∴．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接AC，已知点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是直线BC上一个动点，连接PA，PO，当PA+PO的长度最小时，求点P的坐标；（3）点Q是二次函数图象上一个动点，当∠BCQ＝∠ACO时，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）代入点A（﹣1，0）坐标以及利用对称轴公式求解即可；（2）过点A关于直线BC的对称点A'，连接BA'，PA'，OA'，由于PA+PO＝PA'+PO≥A'O，故当点A'，P，O三点共线时，PA+PO取得最小值，此时点P为A'O与直线BC的交点，然后求出A'（3，4），则直线OA'＝yx，再求出直线BC：y＝﹣x+3，联立即可求解交点P的坐标；（3）分两种情况讨论，点Q在直线BC上方或者点Q在直线BC下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解即可．【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1得，，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点A关于直线BC的对称点A'，连接BA'，PA'，OA'，∴PA+PO＝PA'+PO≥A'O，当点A'，P，O三点共线时，PA+PO取得最小值，此时点P为A'O与直线BC的交点，对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴B（3，0），∴OB＝