2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷及答案

数学试卷第3页（共8页）2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名______________准考证号考场号座位号考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1–8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.14月24日是中国航天日1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代它的运行轨道，距地球最近点439000米将439000用科学记数法表示应为(A)0439×106 (B)439×106 (C)439×105 (D)439×1032下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是EQ\o(\l(),\s\do13((A))) EQ\o(\l(),\s\do13((B))) EQ\o(\l(),\s\do13((C))) EQ\o(\l(),\s\do13((D)))3正十边形的外角和为(A)180° (B)360° (C)720° (D)1440°4在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C若CO=BO，则a的值为(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)15已知锐角∠AOB如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD;(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N;(3)连接OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(A)∠COM=∠COD (B)若OM=MN，则∠AOB=20°(C)MN∥CD (D)MN=3CD6如果m+n=1，那么代数式(EQ\f(2m+n,m2-mn)+EQ\f(1,m))·(m2-n2)的值为(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)37用三个不等式a>b，ab>0，EQ\f(1,a)<EQ\f(1,b)中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)38某校共有200名学生为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)等数据以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时时间t人数0≤t<1010≤t<2020≤t<3030≤t<40t≥40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断:①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在245~255之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20~30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间所有合理推断的序号是(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9若分式EQ\f(x-1,x)的值为0，则x的值为1011在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是(写出所有正确答案的序号)EQ\o(\l(),\s\do13(第10题图))EQ\o(\l(),\s\do13((第11题图)))EQ\o(\l(),\s\do13((第12题图)))12如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点)13在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)(a>0，b>0)在双曲线y=EQ\f(k1,x)上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=EQ\f(k2,x)上，则k1+k2的值为14把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为EQ\o(\l(),\s\do13(图1))EQ\o(\l(),\s\do13(图2))EQ\o(\l(),\s\do13(图3))15小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5记这组新数据的方差为，则(填“>”，“=”或“<”)16在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;②存在无数个四边形MNPQ是矩形;③存在无数个四边形MNPQ是菱形;④至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17计算:-(4-π)0+2sin60°+(EQ\f(1,4))-118解不等式组:19关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根20(1)求证:AC⊥EF;(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD=4，tanG=EQ\f(1,2)，求AO的长21国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息:a国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组:30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100):b国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是:61.762.463.665.966.468.569.169.369.5c40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:d中国的国家创新指数得分为69.5(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题:(1)中国的国家创新指数得分排名世界第;(2)(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元;(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力;②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值22在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD(1)求证:AD=CD;(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数23小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下:①将诗词分成4组，第i组有xi首，i=1，2，3，4;②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=1，2，3，4;第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首解答下列问题:(1)填入x3补全上表;(2)若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为______;(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首24如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整:(1)对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表:位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数;(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象;(3)结合函数图象，解决问题:当PC=2PD时，AD的长度约为______cm25在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=-k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C(1)求直线l与y轴的交点坐标;(2)①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数;②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围26在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-EQ\f(1,a)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(EQ\f(1,2)，-EQ\f(1,a))，Q(2，2)若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围27已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=EQ\r(3)+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON(1)依题意补全图1;(2)求证:∠OMP=∠OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明EQ\o(\l(),\s\do13(图1))EQ\o(\l(),\s\do13(备用图))28在9△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧例如，下图中DE是△ABC的一条中内弧(1)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2EQ\r(2)，D，E分别是AB，AC的中点画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长;(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t>0)在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点①若t=EQ\f(1,2)，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案一、选择题题号12345678答案CCBADDDC二、填空题91 10约为2.611①② 1245130 141215= 16①②③三、解答题17解:原式=EQ\r(3)-1+2×EQ\f(\r(3),2)+4=2EQ\r(3)+318(本小题满分5分)解:原不等式组为解不等式①，得x<2解不等式②，得x<EQ\f(7,2)∴原不等式组的解集为x<219(本小题满分5分)解:由题意，得△=(-2)2-4(2m-1)≥0解得m≤1∵m为正整数，∴m=1此时，方程为x2-2x+1=0解得x1=x2=1∴当m=1时，方程的根为x1=x2=120(本小题满分5分)(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF，∴AE=AF∴AC⊥EF(2)解:∵四边形ABCD为菱形，∴AO=OC，OD=EQ\f(1,2)BD，AC⊥BD∵EF⊥AC，∴BD∥EG∴∠G=∠BDC∵BD=4，∴OD=2在Rt△COD中，tan∠CDO=tanG=EQ\f(1,2)，可得OC=1∴AO=121(本小题满分5分)答:(1)17;(2)(3)人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元;(4)①②22(本小题满分6分)(1)证明:连接OA，OC，OD，如图∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD∵∠ABD=EQ\f(1,2)∠AOD，∠CBD=EQ\f(1,2)∠COD，∴∠AOD=∠COD∴AD=CD(2)解:∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM∴∠CDM=∠CMD∵∠CMD=∠CBD，∴∠CDM=∠CBD∵DM⊥BC，∴∠DCB+∠CDM=90°∴∠DCB+∠CBD=90°∴∠BDC=90°∴BC为⊙O的直径∴点O在BC上∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB∴∠ABD=∠ODB∴AB∥OD∵DE⊥BE，∴OD⊥DE∴DE为⊙O的切线∴DE与⊙O只有一个公共点，即直线DE与图形G的公共点个数为123(本小题满分6分)答:(1)第第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4(2)4，5，6;(3)2324(本小题满分6分)解:(1)AD，PC，PD;(2)(3)当PC=2PD时，AD的长度约为2.29或3.99cm25(本小题满分5分)解:(1)令x=0，解得y=1∴直线y=kx+1(k≠0)与y轴的交点坐标为(0，1)(2)①当k=2时，三条直线分别为y=2x+1，x=2，y=-2∴点A(2，5)，B(-EQ\f(3,2)，-2)，C(2，-2)结合函数图象，可得区域W内的整点个数为6②-1≤k<0或k=-226(本小题满分6分)解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-EQ\f(1,a)与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，-EQ\f(1,a))∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为(2，-EQ\f(1,a))(2)∵点B(2，-EQ\f(1,a))在抛物线上，∴4a+2b-EQ\f(1,a)=-EQ\f(1,a)，即b=-2a∴抛物线的对称轴为x=1图1(3)点A(0，-EQ\f(1,a))，B(2，-EQ\f(1,a))，P(EQ\f(1,2)，-EQ\f(1,a))图1当a>0时，-EQ\f(1,a)<0，如图1令抛物线上的点C(EQ\f(1,2)，yC)∵当x<1时，y随x的增大而减小，∴yC<-EQ\f(1,a)令抛物线上的点D(xD，2)(xD>1)∵当x>1时，y随x的增大而增大，∴xD>2图1当a<0图1(ⅰ)当-EQ\f(1,2)<a<0时，-EQ\f(1,a)>2，如图2令抛物线上的点C(EQ\f(1,2)，yC)∵当x<1时，y随x的增大而增大，∴yC>-EQ\f(1,a)令抛物线上的点D(xD，2)(xD>1)∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴xD>2结合函数图象，可知抛物线与线段PQ没有公共点图3(ⅱ)当a=-EQ\f(1,2)时，A(0，2)，B(2，2)，P(EQ\f(1,2)，2)，Q(2，2)，如图3图3结合函数图象，可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2，2)(ⅲ)当a<-EQ\f(1,2)时，0<-EQ\f(1,a)<2，如图4图4令抛物线上的点C(EQ\f(1,2)，yC)图4∵当x<1时，y随x的增大而增大，∴yC>-EQ\f(1,a)令抛物线上的点D(xD，yD)(xD≥1，yD>-EQ\f(1,a))，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴xD<2结合函数图象，可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点综上所述，a的取值范围为a≤-EQ\f(1,2)27(本小题满分7分)(1)解:补全图形，如图(2)证