高中数学教科书教学设计与指导人教A版选择性必修二

高中数学教科书教学设计与指导选择性必修第二册教研员们在本地区组织精兵强将,依托名师工作室、省学科教研基地、新课程新教材教研工作坊等各种平台,积极开展教学设计与实践研究,做到每一个教学设计都经过集体讨论、反复修改,并经过教学实践检验.为了保证编写质量,在召开分册主编会议,讨论编写指导思想、确定编写方案的基础上,各分册展开具体研究;在各分册进行编写的过程中,多次召开全体编写人员参加的网络研讨会,对研究编写中出现的问题进行及时讨论,交流研究心得,分享编写经验.例如,针对不同课型栏目名称的设计,各分册都进行了深入研究,给出了自己的教学环节及名称.经过讨论大家形成的共识是:各分册给出的栏目名称用词不尽相同,但基本思路一致,都是从数学知识的发生发展过程和学生的认知过程两个维度考虑的,可以归结为如下基本路径:背景→概念(对象)→性质(关系、规律等)、(运算)法则、公式→联系(结构)→应用.由此可以大致确定课型分类和各种课型的教学环节.从研究一个数学对象的基本路径、不同知识类型的学习过程、教学活动组织的需要等几个因素考虑,把基本的课型分为:概念课、定理课(性质、公式、法则、公理等)、习题课、小结课、综合实践活动课、复习课等.其中,“定理课”反映了性质、公式、法则、公理等的共性.在集思广益的基础上,本套书确定的新课教学主要课型的教学环节如下:一、概念课（1）创设情境,提出问题;（2）抽象概念,内涵辨析;（3）例题练习,巩固理解;（4）小结提升,形成结构;（5）目标检测,检验效果;（6）布置作业,应用迁移.二、定理课（1）创设情境,提出问题;（2）观察实验,得出猜想;（3）推理论证,证明猜想;（4）例题练习,巩固理解;(5)小结提升,形成结构;（6）目标检测,检验效果;（7）布置作业,应用迁移.三、小结课(传统型)（1）知识梳理,构建网络;（2）典例精讲,变式训练;（3）方法提炼,归纳总结;（4）当堂检测,巩固拓展.四、小结课(学生自主型)（1）自主研学,温故知新;（2）互动探究,动态生成;（3）梳理整合,构建体系;（4）问题解决,反思升华;（5）目标检测,检验效果;（6）布置作业,应用迁移.具体环节名称的确定,可以有一定的灵活度,但有了上述共识后,本套书的结构性、整体性有了极大增強.在作者交稿后,各分册主编和我一起通力合作,对每一个教学设计都进行了细致审阅、修改,有的甚至进行了再设计,以使内容解析准确到位,目标解析明确、具体,问题诊断切中要害,教学过程设计逻辑连贯、重点突出,注重以数学知识的发生发展过程和学生数学思维过程的融合为线索,创设情境提出问题,使学生在环环相扣的问题串引领下开展系列化的数学学习活动,其中特别强调情境的适切性、问题的高质量,从而形成核心概念的思维建构和技能操作过程、数学基本思想的领悟过程、数学基本活动经验的积累过程,通过这样的教学活动,促使学生在掌握“四基”的过程中落实数学学科核心素养.某种意义上,教学设计能力是全面提升教师数学课程教材实施能力的关键抓手.通过基于数学学科核心素养目标的“单元-课时”教学设计与实践研究,可以有效地帮助教师在掌握教学设计方法与技能的过程中,提升数学理解水平,提升把握学生认知规律的水平,提升学情分析、情境与问题设计、学习评价以及作业设计等方面的能力,进而提升数学育人能力,这是本书编写过程中参与者的共同心声,也是本人长期教学观察得出的结论.数学整体观统领的“单元-课时”教学设计研究方兴未艾,愿本套书能为广大高中数学教师的研究与实践提供有益借鉴.章建跃基于数学整体性的“单元-课时”教学设计框架众所周知,课程标准、教材都是“理想课程”,必须通过课堂教学才能转化为教学育人的行动.课堂教学是落实核心素养的关键,而教学设计则是课程标准、教材到课堂教学的桥梁.某种意义上,教学设计的质量决定着课堂教学的质量,而教学设计的质量又取决于教师的专业化发展水平.教学设计的能力与水平是教师专业化水平和教学能力的集中体现.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称“课程标准”)在“实施建议”中指出,“教师要以数学学科核心素养为导向,抓住函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等内容主线,明晰数学学科核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性,引导学生从整体上把握课程,实现学生数学学科核心素养的形成和发展.”([1],p.82)为此,课程标准强调教师要努力提升教学设计和实施能力,“首先要把握数学知识的本质、理解其中的教育价值,把握教学中的难点,理解学生认知的特征;在此基础上,探索通过什么样的途径能够引发学生思考,让学生在掌握知识技能的同时,感悟知识的本质,实现教育价值;最后能够创设合适的情境、提出合适的问题,设计教学流程、写好教案”([1],p.98).为了落实课程标准的这些要求,我们在长期实践研究的基础上,总结出《高中数学“单元一课时”教学设计体例与要求》.这个教学设计的要求很高,特别是前面单元设计中的“内容和内容解析”“目标和目标解析”“教学问题诊断分析”等栏目对广大一线教师有很大的挑战性.不过,在我们的研究与实践中发现,只要教师以具体单元为载体踏踏实实地做一番研究,搞清楚其中的立意,想明白个中门道,认认真真地写一两个教学设计,那么就可以实现举一反三、触类旁通的效果.所以,我们坚持以这个教学设计框架作为本套书的统一要求.下面以数学整体观为指导,对这个教学设计框架中各栏目的涵义和具体要求进行简要说明.单元课题名称一、内容和内容解析1.内容:对单元教学内容的内涵和外延作简要说明,并给出单元课时及内容的课时分割.2.内容解析:重点是揭示内容本质及其蕴含的育人价值,阐明教学重点.其中,“内容”部分要将本单元置于本章整体中,在明确本单元知识结构的基础上,从课程标准的“内容与要求”中析出本单元学习内容;“内容解析”部分要求给出结构化、系统性的教学内容分析,具体涵盖如下几个方面:①内容的本质;②内容蕴含的数学思想和方法;③知识的上下位关系;④内容的育人价值(着重在数学学科核心素养的发展);⑤本单元教学重点.这部分内容实质上是要明确“教什么”,主要完成“理解数学”的任务.[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版).北京:人民教育出版社,2018.[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版).北京:人民教育出版社,2018.二、目标和目标解析1.单元目标:来自于课程标准的“内容与要求”和“学业要求”,用“了解”“理解”“掌握”“知道”“能’“会”以及有关行为动词“经历”“体验”“探究”等表述的目标.2.目标解析:对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析.总体而言,学校教育教学目标是一个系统结构,大致分为如下几个层次:课程目标由课程标准规定,明确了学生完成高中阶段学习后,在“四基”“四能”、学科核心素养、人生观世界观价值观方面的总体要求,这是一个长期目标;单元目标由课程标准规定,明确了学生在一个单元学习后要达成的要求,这是一个中期目标;课时目标由教师根据课程标准要求和当前学情制定,明确了学生在一堂课后所要达成的学习要求,这是一个短期目标,重点在“四基”上,但要渗透中长期目标.教学目标是教学设计的“灵魂”,特别要注意课程目标、单元目标与课时目标的内在一致性.单元目标是通过一个阶段的教学要达成的,课时目标是一个课时内要达成的目标;课时目标逐个达成是实现单元目标的过程,而单元目标的不断实现又成为达成课程目标的途径.在解析单元教学目标时,应基于教学内容及其解析,着重解析课程标准中“内容与要求”的具体涵义.具体操作时,可以与单元教学内容解析相对应,给出学生在学完本单元后在“四基”“四能”、数学学科核心素养和创新意识、实践能力等各方面应达到的要求.三、教学问题诊断分析所谓教学问题诊断,就是在内容解析、目标解析的基础上,教师根据自己的已有教学经验、数学知识的内在逻辑关系以及有关学习理论,对当前内容在学与教中可能遇到的问题进行预测,并对出现问题的原因进行分析,确定哪些问题可以由学生自己努力得到解决,哪些问题需要教师启发引导进行突破,哪些问题必须通过教师讲解才能解决.这样,不仅明确教学难点,而且对突破难点的策略方法做到心中有数.这里重点强调以教学内容为载体,从学生的认知心理入手进行诊断分析,即通过分析学生已经具备的认知基础(包括知识、思想和方法、能力水平等),对照完成学习任务所需具备的认知基础,找到其中存在的差异,以此作为学生学习中可能出现困难的依据,然后从数学内部寻找解决问题的方法,给出突破难点的教学策略.通过这样的分析,从数学思维的内在过程明确学生的思维最近发展区,这对教学过程中的情境创设和问题提出都非常重要.当然,对于同一内容的学习,不同学生会出现不同问题,这也需要在分析过程中加以注意.四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标,要根据问题诊断分析的结果,决定采取哪些教学支持条件,以帮助学生更有效地进行数学思维,使他们更好地发现数学规律.这个栏目不做硬性要求,可根据需要设置.当前,可以适当地侧重于信息技术的使用,以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境.五、课时教学设计第n课时(一)教学内容指本课的数学内容.例如:集合的含义与表示.(二)教学目标课时教学目标的呈现方式要注意过程与结果的融合、隐性目标与显性目标的融合.具体制定时,可以考虑以下格式:通过(经历)X,能(会)Y,发展(提高、体会)Z.其中X表示数学活动过程,Y表示应会解决的问题(显性目标,主要是具体知识点目标),Z表示数学思想和方法、数学关键能力(隐性目标).一堂课的几条目标要对等,下位目标可以在目标解析中呈现.要注意目标的可达成(操作性)、可分解(具体化)和可检测的特性.这里的困难是:数学思想、理性思维、数学学科核心素养等目标很难给出显性化行为表现的描述,但它们又是数学教学的核心目标.显然,实现这样的目标,是一个潜移默化、从量变到质变的过程,这就要求教师在深入理解数学学科特点、知识结构、思想方法并深入把握学生认知规律的基础上,通过创设反映数学内容本质和学生思维规律的教学情境,提出恰当的数学问题,采用启发式、互动式、探究式教学方法,讲清重点难点、知识体系,激发学生的好奇心、想象力和求知欲,引导学生主动思考、积极提问、自主探究、合作交流,从而使学生在理解知识、熟练技能的过程中,感悟知识蕴含的数学思想,积累数学思维经验,发展数学学科核心素养.总之,这样的目标只有通过改变教学方式、长期坚持不懈才能有效达成,其实这就是将隐性目标融入日常教学内容与过程的涵义.(三)教学重点与难点“教学重点”是指本节课中的核心概念及其蕴含的数学思想和方法.“教学难点”主要指学生在学习过程中可能遇到的困难和问题.可以根据以往的教学经验,指出学生在学习本节课内容时可能出现的困难,特别是在理解概念(原理)的过程中可能出现的问题.需要注意的是,重点、难点要落实在“点”上,特别是“难点”要与学生学习的普遍情况相吻合(不能主观臆测),主要以知识点的方式来表现(根据需要也有思想方法、研究方法),直接列出条目即可.(四)教学过程设计这里强调教学过程的内在逻辑线索,这一线索应当从数学概念和思想方法的发生发展过程(基于内容解析)、学生数学思维过程两方面的融合来构建.学生数学思维过程应当以认知分析为依据,即在对学生应该做什么、能够做什么和怎样做才能实现教学目标进行分析的基础上给出思维过程的描述.可以利用问题诊断分析中得出的结论,基于自己以往教学中观察到的学生学习状况,通过分析学生学习本课内容的思维活动过程,给出学生学习过程的具体描述.其中,应通过概念的抽象过程,性质、公式、法则等的发现和推理论证过程,帮助学生在理解内容蕴含的数学思想的过程中,逐步领悟数学基本思想;通过应用数学的基础知识、基本技能和基本方法解决数学内外问题的过程中,逐渐积累数学基本活动经验.总之,教学过程要实现“四基”“四能”的融合,不能仅仅局限于知识技能的教学,更不能以解题教学代替一切.教学过程设计以“问题串”方式呈现为主,而且“问题串”就是整节课的教学主线.所提出的问题应当注意适切性,对学生理解数学概念、形成基本技能和领悟基本思想有真正的启发作用,达到“跳一跳摘果子”的效果.在每一个问题后,要写出设计意图(基于教学问题诊断分析、学生学习行为分析等阐明为什么要设计这样的问题),还要给出师生活动预设,以及这一环节需要重点关注的问题(需要概括的概念要点,需要总结的思想方法,需要进行的技能训练,需要培养的数学能力)等.这里,要特别注意对如何渗透、概括和应用数学思想和方法做出明确表述.教学过程设计需注意如下问题:（1）教学过程的设计就是阐述怎么教,一定要建立在前面诸项分析的基础上,贯彻落实分析结果,做到前后呼应.（2）按每课时45分钟安排内容,注意课堂的容量,应以中等学生一节课的容量为标准.（3）注意教学过程中练习、习题的难度,围绕目标解析中的要求进行训练,不要选择偏、难、繁的题目,以中等学生的教学要求为标准.针对当前教学中不重视落实教科书要求的现状,要强调以教科书中的“训练系统”为主设计例题、布置作业.（4）对于“问题串”,具体强调如下几点:①反映内容本质;②在学生思维最近发展区内;③有可发展性,使学生能从模仿过渡到主动提问.另外,不能只照搬教科书中的例题或观察、思考、探究栏目中的问题.要呈现具体的问题情境,通过问题引导学生的思维过程.问题不一定都是“问”,可以根据需要给出引导性陈述.（5）教学过程设计应注意体现内容特点.例如,基于问题解决的设计,讲授式教学设计,自主探究式教学设计,合作交流式教学设计等.（6）本部分内容大致可分为“教学环节”“问题”“追问”三个层级.要注意同一层级问题的对等性,使读者可以从“问题串”中归结出本节课的流程.(7)“问题”呈现的方式:问题→师生活动(预设)→追问→设计意图.(五)目标检测设计课堂教学目标是否达成,需要以一定的习题、练习进行检测.对每一个(组)习题或练习都要写明检测目标,以加强检测的针对性、有效性.注意目标检测与课后作业的区别.目标检测是教学过程的最后一个环节,目的在于检测本堂课教学目标的达成情况.一般而言,检测题可以使用教科书中的练习、习题,数量一般为1∼日录第四章数列001第一单元数列的概念002第1课时数列的概念和通项公式005第2课时数列的递推公式和前n项和公式010第二单元等差数列015第1课时等差数列的概念019第2课时等差数列的通项公式和性质024第3课时等差数列的前n项和公式029第4课时等差数列的应用035第三单元等比数列041第1课时等比数列的概念和通项公式045第2课时等比数列的概念和通项公式的应用052第3课时等比数列的前n项和公式057第4课时等比数列的前n项和公式的应用062第四单元数学归纳法*069第1课时数学归纳法原理072第2课时数学归纳法的简单应用079第五单元小结085第1课时梳理知识,构建网络089第2课时应用巩固,深化理解099110第一单元导数的概念及其意义111第1课时变化率问题1:高台跳水运动员的速度114第2课时变化率问题2:抛物线的切线的斜率118第3课时导数的概念121第五章一元函数的导数及其应用第4课时导数的几何意义第二单元导数的运算第1课时基本初等函数的导数134第2课时基本初等函数的导数公式的应用139第3课时导数的四则运算法则142第4课时简单复合函数的导数第三单元导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性155第2课时函数的单调性的简单应用160第3课时函数的极值164第4课时函数的最大(小)值第5课时导数的综合应用第四单元文献阅读与数学写作*:微积分的创立与发展第五单元小结第1课时梳理知识,构建网络第2课时应用巩固,深化理解第四章数列单元划分本章的研究对象是数列,研究的基本路径与函数类似:背景→概念→表示→性质→应用.基于此,我们以课标对数列的学习要求、本章研究的基本路径和教材的逻辑结构作为基本依据,对本章内容进行了单元划分.首先,“数列的概念”是本章学习的起点.因为学生已经掌握了学习数列所需要的函数知识,所以可借鉴研究函数的经验,强调数列作为一类特殊的函数在解决实际问题中的作用.其次,“等差数列和等比数列”是本章学习的重点.因为“一般数列”是学习“特殊数列”的基础,因此在遵循“一般数列一特殊数列”的前提下,将“特殊数列”的研究聚焦于等差数列和等比数列的概念、通项公式和求和公式上,引导学生通过类比的方法探索等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系,并能应用它们解决一些实际问题.最后,学习了数列之后,尽管学生已经用归纳的方法得出了一些结论,但并没有给出严格的数学证明,因此引入一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法数学归纳法,提供一种“观察一归纳一猜想一证明”的思维模式,就顺理成章地成为本章的一个单元学习环节.根据以上分析,将本章拆分为五个单元:第一单元数列的概念;第二单元等差数列;第三单元等比数列;第四单元数学归纳法*;第五单元小结.本章单元划分的结构图如下:第一单元数列的概念内容和内容解析1.内容数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),数列的递推公式和前n项和公式.本单元分为2课时:第1课时,数列的概念和通项公式;第2课时,数列的递推公式和前n项和公式.2.内容解析（1）内容的本质数列是数学重要的研究对象,是刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型,是研究其他函数的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用.数列是按照确定的顺序排列的一列数.通常,我们把正整数作为一种“序数”,数列中各项的顺序用正整数表示.这样,数列就可以表示成a1,a2,⋯,an,⋯.这是数列的一般形式,它不仅揭示了数列本质上是从正整数集(或它的有限子集{1由于数列是一类特殊的函数,我们可以类比研究函数的研究路径“背景一定义一表示方法一性质”来研究数列,可以类比函数的表示方法,用列表、图象、通项公式去表示数列.数列的通项公式就是数列的函数解析式,是描述一个数列取值规律最基本最重要的方法.递推公式反映的是数列相邻两项或多项之间的关系,也是数列的一种重要表示方式.如果已知数列的递推公式和初始值,就可以确定数列的每一项,因而利用数列的递推公式,不仅可以通过迭代法求出数列中的指定项,而且还蕴含一种通过运算发现规律的思想,递推公式在数列的研究中有着非常重要的作用.数列的前n项和是数列的一个十分重要的概念,是数列离散性的重要体现.数列的通项an与前n项和Sn之间的关系an=S1,n=1,Sn−Sn−（2）知识的上下位关系一方面,由于数列是一类特殊的函数,因此通过本单元的学习能进一步加深对函数的认识、丰富所掌握的函数的类型、强化函数思想方法的运用.另一方面,本单元是本章的起始内容,不仅是后续学习等差数列、等比数列、数学归纳法等知识的基础,同时也为研究等差数列与等比数列等提供了方法与路径.因而,本单元内容具有承上启下的作用.（3）内容蕴含的数学思想和方法数列是一类特殊的函数,函数的思想方法贯穿本单元学习的始终,因此,用类比函数的研究路径研究数列是本单元重要的思维方法;数列概念的抽象体现了从具体到抽象、由特殊到一般的思维方法.此外,无论是根据数列的通项公式求指定项,还是根据数列的递推公式写前几项,都体现了从一般到特殊的思维方法,蕴含了特殊与一般的数学思想;在已知通项公式和项求项数时,需要将问题转化为求方程的整数解问题,既蕴含了转化与化归的数学思想,同时也渗透了函数与方程的数学思想;已知数列的前n项和公式求其通项公式时,不仅需要分n=1和n≥2两种情况讨论,而且还要检验（4）内容的育人价值数列自古以来都是人们感兴趣的问题,古巴比伦、古埃及、古印度和中国的文献中都有丰富的数列问题.教科书中在本单元列举了两河流域发掘的泥版、谢尔宾斯基三角形、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子排列的形数等,通过这些数学史料让学生感受到数学的源远流长与数学家们的不懈探索,激发学生学习数学的热情.通过这些史料中图形的对称性、简洁性和直观性,展现数学蕴含的美育价值,增强学生对数学美的追求.通过揭示数列概念与函数概念、通项公式与函数解析式之间的内在联系,不仅深化学生对数列本质的理解,还可以进一步增强学生用联系的观点看待事物的意识.此外,本单元在素材的选择上十分注重与生活实际相结合,如学生的身高变化、银行存款利率等,通过这些素材进一步增强学生的应用意识,发展学生的数学建模素养.3.教学重点数列的概念和数列的通项公式.日标和日标解析1.单元目标（1）通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).（2）了解数列是一种特殊函数.2.目标解析达成上述目标的标志是:（1）能通过对具体实例的共同特征的归纳,抽象出数列的概念;知道数列的一般表示形式,能举例说明数列与函数的区别与联系.（2）能用通项公式、图象、表格表示一个数列,并能说明数列与函数在表示方法上的异同点;能用语言解释数列的分类方法,能举例说明“递增数列”“递减数列”和“常数列”等概念.（3）能举例说明数列通项公式的作用,能说出数列通项公式中各个量的含义;能说明数列的通项公式与函数解析式之间的关系.（4）能举例说明数列递推公式的作用,能根据一定的条件及数列的递推公式顺次写出数列的每一项.(5)能举例说明数列前n项和的含义,能利用数列的通项an与前n项和Sn之间的关系an教学问题诊断分析1.问题诊断（1）认知基础从学生已有的知识储备来看,一方面,学生对于数列并非一无所知,他们在小学和初中就已经接触过观察规律填数字的问题,对数列的概念有初步的感知,只是当时没有给出数列的概念,另一方面,通过对函数的学习,学生对于函数的概念、表示等内容有了较为深刻的理解,这为本单元内容的学习奠定了必要的知识基础;从学生已有的能力水平来看,在学习函数、幂函数、指数函数、对数函数等数学概念时,学生经历过从具体的实例中抽象出函数概念的过程,具备一定的归纳概括能力,这为数列概念的抽象以及根据一定条件写出其一个通项公式奠定了能力基础;从研究方法来看,在学习函数的概念、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、平面向量等内容时,均采用了“事实→定义→表示→性质”的研究路径,这为本单元数列的概念的学习奠定了方法基础.（2）认知困难虽然学生对数列并非一无所知,但要从一些具体的数列中抽象出数列的本质属性——按照一定顺序排列的一列数,确实存在一定的困难,这需要学生具备较高的数学抽象能力.特别是如何刻画数列中各项的顺序,学生在以前的学习中对此几乎没有任何经验,这是本单元学习的一个难点.用递推公式表示一种代数取值规律也是学生之前没有经验的,这是本单元学习的又一个难点.（3）应对策略在教学中,要加强对教科书中三个实例的分析,通过精心设计的问题串引导学生从这些具体实例中归纳出数列的一般特征.特别是针对如何用数学的符号语言刻画排成的一列数中“确定的顺序”这一关键问题,需要结合具体实例,引导学生类比函数y=fx的自变量x与函数值fx之间的对应关系x→f对于用递推公式表示数列,要加强引导和典型事例的训练,以及通项与前n项和之间的互化的训练.2.教学难点“按确定的顺序排列的一列数”的符号化表示;用递推公式表示数列.教学支持条件分析借助电子表格,让学生在电子表格软件中通过动手操作,可以由数列的通项公式或递推公式,生成数列的若干项,以探究数列的项的变化规律.借助包含绘图功能的技术工具画出数列的图象,从图象上或者结合数值和图象,更直观地探究数列的取值规律,感受数列的单调性.课时教学设计第1课时数列的概念和通项公式教学内容数列的概念,数列的通项公式.教学目标（1）能通过对具体实例的共同特征的归纳,抽象出数列的一般概念;知道数列的一般表示,并能说出an表示的具体含义;能用函数的观点解释数列,知道是从正整数集(或它的有限子集{（2）能类比函数的表示,用通项公式、图象或表格表示一个数列,能说出三种表示方法各自的优势;能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较,进一步体会函数与数列的联系,加深对数列本质的认识.（3）能说明数列通项公式中各个量的含义;能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法,其本质就是数列的函数解析式;能根据数列的通项公式,写出数列的任意项,或根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式,体会特殊与一般的数学思想.教学重点与难点（1）教学重点:数列的概念,数列的通项公式.（2）教学难点:“按确定的顺序排列的一列数”的符号化表示.教学过程设计环节一章前引言,了解全貌引导语请大家阅读教材章前引言部分,章头图中沙滩上的图形,显示了古希腊毕达哥拉斯学派研究三角形数、正方形数、五边形数时小石子的个数.问题1你能将每种形数中各个图形的点数按先后顺序写出来吗?师生活动学生独立思考,并写出这些数,即:345在此基础上,教师强调这些数都是按先后顺序排列的一列数.问题2你能举出生活中类似的按顺序排成的一列数的事例吗?师生活动学生举例,教师通过学生的答案,判断他们对数列已有的认知情况.设计意图通过介绍古希腊毕达哥拉斯学派引入本章内容,一方面激发学生的学习热情,另一方面展现数学知识生成的文化背景,让学生体会到数学的源远流长,感受其中的趣味性、文化性和思想性.过渡语像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列.本章将学习数列的概念和表示方法,并研究两类特殊的数列,探索它们的取值规律,建立它们的通项公式、前n项和公式,并应用它们解决一些问题.在本章,我们还将学习数学归纳法,这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法,可以为证明数列结论的正确性提供逻辑方法.下面我们先探究数列的概念.环节二创设情境,提出问题先阅读教科书上的第一个例子:（1）王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量身高.将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:75,145,问题3此例中的第1个数和第6个数分别是什么?它们的实际意义是什么?153和165分别是第几个数?它们的实际意义是什么?师生活动学生独立思考,得出答案,教师指出数的位置和数之间是一一对应的.追问1这些数能交换位置吗?师生活动由学生独立思考后全班交流,得出不能交换位置的结论,教师进而强调这是具有确定顺序的一列数.追问2如何表示这些数才能准确反映它们各自的位置和大小?师生活动小组讨论后全班交流,教师引导学生得出:可以用带有下标的字母来表示数,如记王芳第i岁时的身高为hi,则h设计意图从具体实例出发,通过由浅入深的问题串,一步步引导学生归纳其本质特征.引导学生将第一个例子分析透彻,后面两个例子的分析也就水到渠成了.阅读教科书上的另外两个例子:（2）在两河流域发掘的一块泥版（编号K905,（3）−12的−1问题4你能仿照上面对①的分析过程,说明②③也是具有确定顺序的一列数吗?师生活动小组交流后学生较易得出用带有下标的符号(如si设计意图再分析两个实例,意在为归纳三列数的共性,进而为抽象出数列的概念作准备.有了对第一个例子的分析,对后面两个例子的分析不用铺垫很多,学生便能直接通过类比引入符号加以分析.环节三抽象概念,内涵辨析问题5上述三个例子的共同特征是什么?师生活动小组讨论并回答.教师在此基础上引导学生归纳出共同特点,进而抽象出数列的概念:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列的一般形式是a1,a设计意图让学生在对具体的事例分析的基础上进行抽象概括,经历概念的形成过程,体会数列概念的描述及一般形式的合理性.追问1若将上面−12的n次幂所构成的数列记作an师生活动学生回答:a2追问2我们可以发现数列的序号n与它的每一项an有一一对应关系,如1对应a1,2对应师生活动学生独立思考、小组讨论,再进行全班交流,得出:与函数的概念类似,这里的每一个序号相当于函数自变量的每一个取值,每一个序号所对应的项就相当于每一个自变量的取值所对应的函数值,即对于每一个序号,都有唯一确定的项和它对应.追向3你能从函数的角度解释以上三个数列的特点吗?例如,它们是不是函数?如果是,那么它们的定义域分别是什么?师生活动学生独立思考、小组讨论,再进行全班交流,得出三个数列都是函数,并得出它们各自的定义域.追问4数列的定义域有怎样的特点?师生活动学生独立思考后再进行交流,学生一般会直观地说出1,2,追问5数列的定义域和函数的定义域有何区别?师生活动学生独立思考后交流,通过师生讨论交流,得出:函数的自变量通常是连续变化的,而数列的自变量是离散的,因而数列是一类特殊的函数,其特殊性表现在其自变量只能为正整数.设计意图通过层层追问,引导学生理解数列的本质是函数,并弄清数列与函数的联系与区别.问题6既然数列本质上是函数,你能类比函数的研究内容及其研究路径,谈谈在数列的学习中我们可以研究哪些内容吗?师生活动学生独立思考、小组讨论后全班交流,不断补充完善得出以下研究内容:数列的表示法、数列的基本性质、几类特殊的数列以及数列的应用等.设计意图类比函数来研究数列,可以让学生了解研究一个数学对象的一般方法.问题7类比函数的研究过程,有了数列的定义,接着要研究数列的表示.你能类比函数的三种表示法,举出用表格、图象和解析式表示的数列实例吗?请你以前面的几个例子为基础,举出例子,并通过阅读教科书第3∼师生活动学生先独立动手操作,然后部分学生展示其所画的表格与图象,最后教师再用excel表格和几何画板展示数列①的两种表示法一列表法和图象法.并类比函数,根据数列的图象,直观地给出递增数列、递减数列和常数列的定义.如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.如上面−12的教师可以鼓励学生举出更多的例子.设计意图类比函数的表示方法,先让学生以抽象定义时所用的几个数列为基础,进一步思考它们的表示问题,给出相应的表示以说明数列的三种表示方法,再通过阅读教科书进行对照,理解表示方法的同时,培养阅读教科书的习惯.环节四例题练习,巩固理解例1根据下列数列an(1)an=n师生活动先由学生独立计算、作图,再由教师利用信息技术计算、作图.可以进一步提问:两个数列是否具有单调性?设计意图让学生在计算的过程中,体会项的序号与项之间的对应关系,深刻理解数列的函数本质.通过作图,直观地感受数列的离散性,体会数列与函数的区别.例2根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:(1)1,−12师生活动学生回答,教师进行引导:解答第(1)题时,可以先探讨数列1,−1,设计意图让学生体会从数列的一些具体项归纳其通项公式的基本方法,明确由一些具体项归纳得到的通项公式不一定唯一.例3如果数列an的通项公式为a师生活动学生独立计算得出结果.设计意图让学生在计算的过程中,再次体会项数与项的对应关系,进一步理解数列的函数特征,并初步掌握由数列的项求项数的方法,体会求解过程中所蕴含的方程思想.环节五课堂小结,形成结构问题8回顾本节课的学习内容,回答下列问题:（1）你学到了数列的哪些主要知识?（2）通过对具体问题的解决,你认为本节课应掌握哪些数学思想方法?（3）你能说出数列与函数的联系与区别吗?师生活动教师用课件呈现上述问题,学生独立思考,全班交流,教师在学生回答的基础上进行适当归纳设计意图通过回顾,梳理本节课学习的主要内容,明确研究数列的路径,进一步体会研究一类数学对象的一般方法.环节六目标检测,检验效果1.已知数列的通项公式为an检测目标主要检测学生对通项公式的理解情况,测评学生的运算求解能力.2.已知数列的前5项为1,检测目标主要检测学生对于通项公式的理解情况,测评学生的抽象概括能力.师生活动学生独立思考,全班交流.设计意图检测学生对通项公式的理解情况,要求学生作出数列图象是为了让学生更直观地感受数列的离散性和单调性,体会数形结合的思想.环节七分层作业,应用迁移1.基础性作业(1)必做题:教科书第8页习题4.1第1题,第2(1)(2)题.（2）选做题:教科书第9页习题4.1第6、7题.2.拓展性作业写出一个无穷递减数列和一个有穷递增数列.设计意图必做题主要评价学生对通项公式的理解情况,测评学生的运算求解能力.选做题第6题主要评价学生对数列的应用背景的理解情况,测评学生的运算求解和抽象概括能力;选做题第7题主要评价学生对数列和函数的联系与区别的理解情况,测评学生运用类比的方法进行运算求解的能力.拓展性作业主要评价学生对数列的分类的理解情况,测评学生化抽象为具体的能力.自第2课时，数列的递推公式和前n项和公式教学内容数列的递推公式,数列的前n项和.教学目标（1）能结合具体事例说明数列递推公式的作用;能根据数列的递推公式写出数列的某一项,体会特殊与一般的数学思想.（2）能说出数列的前n项和的含义,能根据数列的前n项和的定义推出数列的通项an与前n项和Sn之间的关系an=S1,教学重点与难点(1)教学重点:数列的递推公式与前n项和.（2）教学难点:由数列的前n项和公式Sn求数列的通项公式a教学过程设计引导语前面我们学习了数列的概念以及表示法,下面来看一个具体的数列.环节一创设情境,提出问题问题1图4.1-1中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,你能写出这个数列的一个通项公式吗?图4.1-1师生活动学生独立思考,得出答案.图中着色三角形的个数依次为1,3,环节二探究新知,辨析内涵追问1换个角度观察以上4个图形,你能观察出图中三角形的变化规律吗?师生活动学生独立思考,小组讨论后全班交流,得出每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂成3个着色小三角形和1个无色小三角形.追问2你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗?师生活动学生思考后全班交流,得出:每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.追问3你能用表达式表示这个关系吗?师生活动学生思考后全班交流,得出an追问4以上表达式中的n从何值开始取?师生活动学生思考后全班交流,得出n从2开始取值,因为n取1时,an−1追问5 a师生活动学生思考后全班交流,得出无法表示a1的结论,进而需要把a问题2已知数列an的首项为a1=师生活动学生计算后全班交流,得出数列的前5项依次为1,教师讲解:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了数列的首项或前几项以及递推公式,就能求出数列的每一项.设计意图通过对具体实例的探究,引导学生得到递推公式的概念,并能根据数列的首项或前几项以及递推公式顺次写出数列前若干项.教师讲解:在对数列的研究中,求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn问题3你能由此得出数列的前n项和Sn与第n项a师生活动学生独立思考,小组讨论后全班交流,得到关系式an=Sn−Sn−1教师在此基础上将关系式补充完整,得到如下关系:a设计意图从给出的概念表达式出发,通过一系列问题,逐步引导学生根据数列前n项和的定义得到前n项和Sn与通项a环节三典例剖析,巩固理解例4已知数列an的前n项和为Sn=师生活动学生先独立计算,然后全班交流,通过师生交流得出如下解答过程:当n=1时,当n≥2时,由于n=1时a1所以n≥1时,数列an设计意图通过对具体实例的探究,加深对前n项和Sn与通项an间的关系的理解,初步掌握由前n项和Sn问题4回顾本节课的学习内容,回答下列问题:（1）你学到了数列的哪些主要知识?（2）如果已知数列的前n项和,你如何求出其通项公式?你认为在此过程中要特别注意什么问题?（3）通过对问题的解决,你认为本节课应掌握哪些数学思想方法?师生活动教师用课件呈现上述问题,学生独立思考,全班交流,教师在学生回答的基础上进行适当的归纳与梳理.设计意图通过回顾,梳理本节课学习的重点内容和思想方法,促进学生的认知升华,引导学生自主建构知识体系.环节五目标检测,检验效果1.已知数列an满足a设计意图主要检测学生对递推公式的理解情况,测评学生的运算求解与抽象概括能力.2.已知数列an的前n项和公式为Sn=−设计意图主要检测学生对于前n项和公式与通项公式关系的理解情况,测评学生的运算求解能力.师生活动学生独立思考,全班交流.环节六分层作业,应用迁移1.基础性作业(1)必做题:教科书第8页练习第1、2题.（2）选做题:教科书第9页习题4.1第4题.2.拓展性作业（1）写出一个数列的前n项和公式,并求出其通项公式.（2）思考题:类比函数的研究路径,接下来应该研究什么?你认为需要研究哪些内容?设计意图必做题的第1题主要评价学生对图形中递推关系的理解情况,测评学生的抽象概括能力.必做题的第2题及选做题的第4题主要评价学生对递推公式的理解情况,测评学生的运算求解能力.拓展性作业(1)主要评价学生对数列的前n项和的理解情况,测评学生能否由数列的前n项和公式求其通项公式;拓展性作业(2)衔接下一个单元,让学生类比函数的研究得出应该研究特殊的数列,按“背景一定义→通项公式→性质→前n项和公式→应用”的路径展开研究.教学设计说明1.充分运用追问,突破教学难点本单元是概念课,此课型的难点是如何让学生将数列的概念较完整地抽象表达出来.本教学设计为了突破这一难点,通过层层追问,细化了从实例抽象出数列共同特征的过程.在对第一个例子分析时,先从具体的问题出发,提问第几个位置数是什么,反之数所对应的位置是什么,这些数的实际意义是什么,通过对这些问题的探究让学生充分感受到数与位置是一一对应的;接着追问这些数的位置能否交换,让学生进一步体会这种对应关系的确定性;最后让学生引入一个符号表示数,要求体现出数与位置的关系也就水到渠成了.2.恰当创设情境,促进认知升华问题的提出一般都需要创设情境.在第2课时的设计中,先是让学生根据着色三角形的个数写出一个通项公式,紧接着通过提问“你能观察出图中三角形的变化规律吗?”引导学生换个角度观察图形,创设了一个新的情境,促使学生思考图形变化的本质.同时,在同一个情境下,既可以写出一个通项公式,又可以写出递推公式,能让学生更好地体会两者的联系与区别,促进认知的升华.3.类比函数研究,提升核心素养本单元教学设计中,在学生得出数列的概念后,先通过“数列中的对应关系和我们以前学过的什么概念的本质类似?”这一追问,引导学生联想到函数,理解数列的本质;再通过“数列的定义域有何特点?它与函数的定义域有何区别?"让学生体会数列与函数的联系与区别.在学习了数列的概念的基础上,通过让学生回忆函数研究的主要内容,让学生明确数列研究的主要内容,这样设计不只是为了学习新知识,还可以让学生了解研究一个数学对象的基本路径和方法,提升了数学抽象、逻辑推理等核心素养.第二单元等差数列内容和内容解析1.内容等差数列的概念,等差数列的通项公式和性质,等差数列的前n项和公式,等差数列的应用.本单元分为4课时:第1课时,等差数列的概念;第2课时,等差数列的通项公式和性质;第3课时,等差数列的前n项和公式;第4课时,等差数列的应用.2.内容解析（1）内容的本质等差数列是一种具有特殊变化规律的数列,是定义在正整数集上的线性离散型函数,是反映运算规律的基本数学模型,在现实生活中有着广泛应用.等差数列的通项公式与前n项和公式是等差数列的重要性质.公式的探究与推导,是以等差数列的特征性质为依据(即在等差数列an中,若p,q,s,t（2）知识的上下位关系等差数列是学生了解数列的概念和表示方法后学习的第一种特殊数列,本单元内容既是研究等比数列的类比原型,又是今后研究级数的预备知识.等差数列的概念,既能强化学生对数列概念的进一步理解,加深其对数列作为特殊函数的本质认知,又能为特殊数列的研究提供方向,具有学习方式和思维方法上的引领作用.因此,等差数列具有承上启下的显著特点.（3）内容蕴含的数学思想和方法等差数列的研究经历了“抽象一归纳一演绎一类比一应用”等一系列过程,蕴含了一些重要的数学思想方法.首先,等差数列概念的引入部分,突出了由对特殊数列各项关系、运算、性质的研究推广到对一般数列相应问题的研究,体现了由特殊到一般的数学思想;在等差数列概念的生成过程中,通过观察、猜想、验证、归纳、概括、总结等过程,最终抽象出等差数列概念的文字描述、符号表达、图形含义,强调了归纳思想的具体应用;类比函数的概念、性质研究等差数列的相应问题,特别是类比一次函数的单调性研究等差数列的单调性,蕴含着丰富的类比思想.其次,等差数列通项公式和等差数列前n项和公式的推导,历经了从“首尾配对法到分类讨论法再到倒序相加法”的认知过程,这个过程本身既是一种方法论的再现过程,又是领悟其中所蕴含的特殊与一般、化归与转化、分类与整合和数形结合等数学思想方法的心理过程,更是学会探索数学公式的思维过程.（4）内容的育人价值首先,等差数列的研究过程充分体现了研究一个数学对象的基本路径,即“事实一概念一性质一应用”,有助于学生体会数学的整体性.其次,等差数列内容渗透了多元数学史素材,丰富本单元的文化内涵,有利于提升学生的人文素养.以等差数列的前n项和公式为例,从史学层面看,倒序相加法是历史上遗留下来的经典方法,高斯算法及其相关事迹的介绍,不仅可以再现数学家的“火热思考”,还可以激发学生研究数学的热情,使其感受前人严谨的治学精神;从美学层面看,等差数列前n项和公式的结构特征与图形表征的对称性、简洁性和直观性,都体现了对数学美的追求,蕴含着数学的美育价值;从哲学层面看,倒序相加法很好地解决了“化多为少”和“化繁为简”的问题,体现了数学的辩证思维.因此,等差数列的学习能有效提升学生抽象、归纳、类比研究问题的能力,发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养.3.教学重点等差数列的概念、等差数列的通项公式和性质、等差数列前n项和公式的推导.日标和日标解析1.单元目标（1）通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.（2）探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列通项公式与前n项和公式的关系.（3）能在具体问题情境中发现数列的等差关系,并解决相应的问题.（4）体会等差数列与一元一次函数的关系.2.目标解析达成上述目标的标志是:（1）通过情境实例,经历等差数列概念的抽象过程,能用自己的语言解释等差数列的含义;能运用基本量方法求解等差数列的通项公式;能用类比的方法发现等差数列与一元一次函数的联系;体会数形结合的思想,体验从函数的视角研究数列的一般路径,感悟等差数列的本质特征,发展数学抽象和数学建模素养.（2）经历等差数列前n项和公式的探究过程,能分析倒序相加法求和的特点,能用自己的语言说明倒序相加法的本质,能说明等差数列前n项和公式的代数特征与几何特征,能解释等差数列的通项公式与前n项和公式的内在联系,能描述等差数列前n项和公式与一元二次函数之间的共性与差异,能运用基本量的方法,正用、逆用和变用等差数列的前n项和公式,体会特殊与一般、分类与整合、化归与转化和数形结合等思想方法,领会学习数学公式的一般路径,感受数学文化的熏陶,发展数学运算、逻辑推理素养.（3）能将实际问题提炼成等差数列模型,识别等差数列的基本量并结合等差数列的概念和性质解决问题,发展数学建模素养.教学问题诊断分析1.问题诊断（1）认知基础类比研究函数的思路,学习了数列的概念后,就要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究,这是学生对数列知识的认知路径.在学习等差数列之前,学生已经了解了数列的概念、表示方法以及通项公式和数列的前n项和的概念,知道“数列是一种特殊的函数”,这些知识经验能够帮助学生分析等差数列的变化规律.（2）认知困难①在代数的学习中,我们常常通过运算来发现规律,运算规律的发现是等差数列概念生成、等差数列前n项和公式推导的关键,但学生对于通过运算发现代数规律的意识不强,难以用数学符号语言刻画“等差”规律.②在归纳概括出等差数列的概念后,如何应用等差数列的概念去推导等差数列的通项公式成为本单元学习的第二个难点.③通过等差数列通项公式与一次函数的解析式的结构特征的类比,发现等差数列与一次函数的共性与差异是本单元学习的第三个难点.教材中给出了“思考”,目的是让学生从数形结合的角度进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系,逐步深化学生对等差数列概念的理解,有利于后续进行判断,也可以更好地把握等差数列的性质.④如何把高斯的首尾配对法自然地过渡到倒序相加法,是学生遇到的第四个难点.高斯方法是将与首尾两端等距离的两项配对,当n为偶数时,当然没有问题,而当n为奇数时,中间一项无“对”可凑,这既是首尾配对的局限性,也是一个难点所在.尽管这两种方法的共性本质都是如何“化不同为相同”,但两者的运算方法又有着形式上的差异,即首尾配对要分奇偶,而倒序相加则可一步到位.正是这种差异,导致了推导公式的一个“老大难”问题:怎么想到用倒序相加的?因此,怎样让推导过程能相对自然地呈现成为学生理解推导过程合理性的一个关键.（3）应对策略①要创设合理的情境,让学生自然观察生活中的等差现象,主动发现等差数列的等差特性.在情境中发现等差规律、提炼等差关系、抽象等差概念、完善符号语言,突破第一个难点.②要铺设好问题,引导学生大胆猜想、主动论证等差数列的通项公式.从定义出发,借助等差数列的等差特性,通过叠加或迭代建立第n项an与首项a③要通过类比确定一次函数的要素得出确定等差数列的要素(首项、公差),既要重视用基本量思想充分认识an④要提高认知站位,即把等差数列的通项公式和前n项和公式看成等差数列的重要性质,设计一条探究等差数列前n项和公式的路径突破第四个难点.(i)紧扣“两个对称”的相似性:一是要紧扣等差数列的“对称性”,让学生通过发掘高斯算法的本质,领会等差数列的“对称性”是支持“化不同为相同”的依据;二是要紧扣几何图形的“对称性”,通过类比梯形面积公式的推导方法,追溯毕达哥拉斯学派直观“形数”的研究启示,让学生体会“倒置”一个全等的图形,构造几何图形的“对称性”是将不规则图形化为规则图形的依据.借助这两个对称性质的相似性,就可以把几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来,从而引导学生经历等差数列前n项和公式的再创造过程.(ii)明确“三种方法”的差异性:一是明确高斯巧算用的是首尾配对法,而不是倒序相加法;二是明确首尾配对的局限性,分类讨论的必要性以及倒序相加的优越性,从而将这三种方法有机地融入到探究活动之中,形成自然衔接;三是明确从需要分类到不需分类,其过渡的关键是如何想到要从“倒推变形”中获得启发.2.教学难点等差数列的概念、通项公式、几何意义、前n项和公式.教学支持条件分析为了加强学生对等差数列单元知识的整体体验,本单元教学采取素养导向、方法引领、思想渗透、应用落实“四位一体”的教学设计思路,使学生积累充分的课堂活动探究经验,提升学生运算推理、归纳建构的能力.根据各教学环节的需要,可以采取以下教学支持条件:一是借助多媒体展示现实生活中的“等差现象”.如:产品尺寸的划分级别、按揭贷款中等额还款的计算方式或与自然数列、圜丘坛石板数“背后的故事”,激发学生的探究热情,让学生的思维领跑课堂.二是借助信息技术软件类比等差数列和对应一次函数的图象,让学生感受离散型点列与连续性函数的表象特质,探寻等差数列与一次函数之间的共性与差异;类比梯形的面积公式,演示等差数列前n项和公式的几何意义,让学生感受求和公式的结构特征和图形表征.三是借助电子表格的动手操作实验,动态描述等差数列前n项和公式与通项公式的关系,让学生领悟求和公式函数特性的探究过程.四是借助实物投影仪展示学生的小组合作学习成果,让学生体验“生活情景一归纳建构一数学模型一回归生活”的完整过程,实现本单元的教学目标.课时教学设计第1课时等差数列的概念教学内容等差数列的概念.教学目标（1）经历等差数列概念的形成过程,能描述等差数列的定义,感受等差数列的本质特征,发展数学抽象和数学建模素养.（2）能用递推公式an教学重点与难点（1）教学重点:等差数列的概念.（2）教学难点:通过运算发现等差规律以及等差规律的符号化表达.教学过程设计环节一创设情境,感知概念引导语在前面的学习中,我们已经了解了数列的定义、表示方法,与学习函数的定义、表示方法一样,这节课我们就来探讨一下一类特殊的数列.问题情境请观察下面几个情境中的数列.情境1北京天坛圜丘坛(见教科书第12页图片)的地面是由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,由内到外各圈的石板数依次为:9,情境2 S,M,L,XL,XXL,XXXL38,情境3测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度,得到从距离地面20 m起每升高100 m25.0,情境4某人向银行贷款a万元,贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始每月应还本金b=ar,问题1对于情境1中的数列,你能通过运算发现其中的取值规律吗?师生活动教师课件展示情境,学生独立思考后展开讨论,教师引导学生调整运算结构、发现运算规律.对于数列①我们发现:18换一种写法就是18−如果用an来表示数列①,则有a教师指出:上面的抽象过程需要注意体会.我们先从运算的角度观察一列数,发现其中的规律是“从第2个数开始,后一个数是前一个数加9”;再把它改写为“后一个数与前一个数之差为9”,这样改写,使运算结果是一个常数,从而使规律更加突出;接着引入符号作出一般化的表示;最后用文字语言概括规律,得到“从第2项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数”,这个表述中,“从第2项起”这个限定是大家容易忽视的.设计意图借助北京天坛圜丘坛的建造“秘密”设疑激趣,引出本节课的研究对象,启发学生通过运算规律抓住等差数列的等差特征.通过运算方式的改变,学生独立寻找运算共性,经历等差的发现过程.尝试使用文字语言和符号语言描述等差数列.另外,从生活实例中抽象出等差数列,直接突出重点,尝试突破难点,因为直观上排列好的一列数与等差数列的数学定义之间存在一定的距离,需要学生具备较高的数学抽象、数学表达能力,这种体验对后续研究数列在生活中的应用有重要的价值.追问你能仿照数列①的运算规律,写出情境2和情境3中数列的一般规律吗?师生活动学生独立思考、展示.发现数列②满足a2−a设计意图借助数列①的研究方式类比研究数列②③,从文字语言和符号语言两个维度理解运算规律,学生在思维中逐渐形成一般的递推关系.另外,写出一般规律的过程有助于学生深刻理解“常数”,感悟“常数”的作用.环节二探寻规律,生成概念问题2若数列an满足a1=9,师生活动学生独立思考,主动展示:an−a设计意图在发现“等差”特征后,通过递推公式让学生试着表达等差数列的定义.学生在思维碰撞中,逐步完备定义的表述,促使学生有意识地去琢磨定义中的关键词,加深对定义内涵的理解.追问你能结合数列①②③运算规律的共性,用自己的语言描述等差数列的定义吗?师生活动学生主动交流,逐步规范表述.数列①②③有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,具备这种恒定的等差性的数列就是等差数列.教师严谨描述:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差,公差通常用字母d来表示.例如:数列①中d=9,数列②中d=设计意图让学生经历抽象概念的过程,在探讨质疑中逐步完备等差数列的概念,教师再做规范强调,引领学生紧扣概念内涵,并用示例加深理解.通过系列化的教学活动设疑激趣,探究追问,逐步形成“事实→概念”的基本研究路径,让学生在自主探究、合作学习、质疑补充等多种学习方式中建构概念、感悟思想方法、积累数学活动经验.环节三追问辨析,完备概念问题3你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗?师生活动学生根据探究和概念给出an−an−设计意图让学生通过定义中的关键词理解等差数列定义的内涵.关键词一“从第2项起”是后续条件,有两层内涵:一是因为第1项没有前一项,所以没有办法与前一项作差比较;二是确保该数列中任何一项与前一项的差都是同一个常数.关键词二“每一项与它的前一项的差”也有两层内涵:一是指出作差比较的顺序;二是强调作差比较的两项必须相邻.同时,等差数列的符号描述为判定一个数列是否为等差数列提供了基本依据和方法,也是第2课时中推导等差数列通项公式的起点,是理解概念内涵的关键.追问1情境4中的数列是等差数列吗?若是,请指出它的公差.师生活动教师引导学生根据利息计算方法列举每月利息,再尝试使用等差数列的定义判定an−an设计意图不断引用生活实例,让学生感受到等差数列在生活中有着广泛的应用.情境4从等差数列定义入手,加强概念、取值规律和应用的研究,深化学生对公差的理解,发展学生数学建模素养.追问2你能列举生活中的等差数列现象吗?试着说出它的公差.师生活动学生自由交流,探讨分享,教师利用网络搜索相关图片,帮助学生理解.设计意图让学生体会数学概念来源于生活,回归于生活.学生在列举不同等差数列背景时,已经开始主动应用等差数列的定义进行判定.教师可适时引出常数列d=0、单调递增等差数列d>问题4根据以往经验,在定义了一个对象后,要研究一下有哪些特殊情况.对于等差数列,你觉得有哪些特殊情况?师生活动学生独立思考、作答,教师引导进行讨论,得出:可以从要素的特殊化展开思考.从公差d来看,特殊的是d=追问1若三个数a,A,b成等差数列,你能得到师生活动学生列出等式,教师指出其重要性和一般性.教师指出:结合A所在的位置,称A为a和b的等差中项,等差中项是一个常用概念.由A−a=b−A得到关系2A=a+b,进而类推,一个等差数列任意连续三项其实都具备这种关系.∀n设计意图先从一般观念上引领学生思考等差数列的特例,引导学生从基本概念出发,发现值得研究的问题,经历从一般到特殊,再从特殊到一般的思维过程,继续从代数运算规律上发现等差数列的性质,学会等差数列的第二种判定方法,渗透特殊与一般的数学思想.追问2若四个数成等差数列,它们之间又有什么关系?师生活动学生仿照等差中项的研究方式,先独立思考再交流探讨.学生列出:a2−a1=设计意图让学生主动应用等差数列和等差中项的概念,通过运算发现一般规律,体验等差数列的项与项的关系.环节四变式演绎,内化概念问题5在情境1的数列an中,若在每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起形成一个新的等差数列bn师生活动类比等差中项在两个数a,b中插入一个数A,则A=a+b2设计意图该问题与教科书第16页例4相关联,意在引导学生认识和发现两个数列的规律与关系,感受特殊数列研究的关键在于抓基本量一首项与公差,为接下来研究等差数列的通项公式、基本量做好铺垫,渗透方程思想,发展学生数学运算素养.追问插入4项、5项、k项呢?新等差数列的什么在变化,什么没有变化?师生活动学生独立思考后进行小组交流、代表展示.通过展示交流可以得到:首项不变,公差在变,新数列的公差主要取决于a2在bn中的位置,有同学甚至给出了新数列公差的计算公式设计意图通过变式教学逐步递进,有效培养学生发散思维,达到概念的深度理解.“差相等”是等差数列的特性,学生只要紧扣这个特性建立等量关系,问题就可以迎刃而解.环节五课堂小结,反思升华问题6回顾本节课的学习内容,回答下列问题:（1）我们是如何发现和提出本单元所研究的对象的?为什么要研究该对象?（2）等差数列定义的文字语言和符号语言分别是什么?本节课你学到了哪些数学思想方法?（3）判断一个数列是否为等差数列有几种方法?应用等差数列定义的关键是什么?师生活动在学生独立回顾、思考总结的基础上进行班级交流,然后教师点评、总结.设计意图通过知识小结,让学生明晰等差数列的研究路径,即事实→概念→性质→应用,有助于学生领悟研究一个数学对象的基本路径,体会数学的整体性.通过方法小结,让学生抓住“等差”的特性和运用定义判断等差数列的基本方法,进一步领会数学抽象、运算、建模的过程,体会特殊与一般、函数与方程、化归与转化的思想方法,提升学生归纳概括、规范表达的能力和应用意识,发展学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.环节六目标检测,检验效果1.教科书第15页练习第1、2、检测目标本题主要检测学生对等差数列的定义和性质的掌握情况,测评学生运用化归与转化的思想和基本量的方法进行运算求解和逻辑推理的能力.2.在我国古代数学名著《九章算术》中,有这样一个问题:今有金锤,长5尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?其意思为:今有一锥状金鞭,全长5尺.截根部1尺,重4斤.截顶部1尺,重2斤.由末到本一尺一尺截取,依次各重多少?检测目标本题主要检测学生对等差数列的通项公式的掌握情况,测评学生运用数学建模、化归与转化的思想进行阅读理解和运算求解的能力.师生活动学生独立思考求解,学生独立完成第1题,教师应用信息技术展示3名学生代表的解答,师生共同评价.第2题教师引导学生读题,并结合问题背景适度介绍中国古代的数学名著《九章算术》,以及魏晋时代的大数学家刘徽在其注解中的说明:“令本末相见,余,即四差之凡数也.”即an−a设计意图检测1源于教科书课后练习,比较基础,大多数学生应该都能顺利完成,主要检测学生对本课时重难点内容的掌握情况;检测2源于《九章算术》,需要学生读懂题意,将实际问题转化为数列问题,渗透数学文化,发挥目标检测的育人功能.环节七布置作业,迁移应用1.基础性作业(1)必做题:教科书第15页练习第4、5题.（2）选做题:教科书第25页习题4.2第4题.2.拓展性作业教科书第54页复习参考题4第1、2题.设计意图通过分层作业提高训练的针对性,鼓励学生形成发散性思维,激发学生的求知欲.通过拓展性作业提高训练的开放性、实践性和探索性,促进学生对所学知识有更深入的分析,发掘现象之间新的因果关系.第2课时等差数列的通项公式和性质教学内容等差数列的通项公式和性质.教学目标（1）能利用定义推导等差数列的通项公式;能通过等差数列的通项公式说明等差数列与一次函数的关系,体会数形结合思想.（2）通过具体情境,会用等差数列通项公式、方程思想和基本量的方法求解等差数列的有关问题,能从实际问题中抽象出等差数列的模型并解决问题,感受数学文化的熏陶.教学重点与难点(1)教学重点:等差数列的通项公式、等差数列的性质.（2）教学难点:等差数列通项公式的归纳,等差数列性质的研究方法.教学过程设计引导语上节课我们学习了等差数列的概念,本节课我们从概念出发研究等差数列的性质.环节一回顾定义,推导公式问题1设an是公差为d的等差数列.我们知道,如果数列an的第n项an与它的序号n师生活动学生回顾定义,教师可以提醒学生:为了得出an由定义得a2a也就是a也可以逐步迭代:a2=a当n=1时,上述两种途径均有a1结论:首项为a1,公差为d的等差数列aa设计意图让学生以通项公式的定义为指导,先明确求通项公式就是要从等差数列定义出发推出a,与n的关系式,再由递推式an追问等差数列an师生活动学生观察通项公式的结构回答:首项a1、公差d、项数n、第n项an.教师指出:四个量中,首项a1设计意图帮助学生记忆公式,初步了解公式中的