2027届高考数学一轮总复习2.10函数与方程【课件】

第10节函数与方程课标解读

1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.强基础•固本增分1.函数的零点函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),我们把使

的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

微点拨

1.函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.三个等价关系:f(x)=02.函数零点存在定理

3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且

的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间

,使所得区间的两个端点逐步逼近

,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

f(a)f(b)<0

一分为二

零点

4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度ε.(2)求区间(a,b)的中点c.(3)计算f(c).若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数f(x)的零点;若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)).若f(b)·f(c)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步.常用结论1.奇函数、偶函数的非零零点成对出现,且互为相反数.2.周期函数若存在零点,则必有无穷多个零点.[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)=x2-1的两个零点是(-1,0)和(1,0).(

)(2)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.(

)(3)用二分法求函数零点的近似值时,可以精确到小数点后的任何一位.(

)(4)只要函数有零点,就可以用二分法求出其近似值.(

)×解析

零点是-1和1.×解析

如函数f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,但f(-2)f(2)>0.√×解析

如函数f(x)=x2的零点就不能用二分法求其近似值.2.(人A必修一教材习题改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(

)x123y126.115.15-3.92x456y16.78-45.6-232.64A.2

B.3

C.4

D.5B解析

由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.故选B.

B

4.(人A必修一教材习题改编)下列图象所表示的函数中,不能用二分法求零点的是(

)B解析

观察函数图象与x轴的交点,若交点附近两侧的函数图象是连续的,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点的近似值,故选项B不能用二分法求零点的近似值.研考点•精准突破考点一函数零点所在区间的判定例1

(1)(2025·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+lnx-4的零点所在的区间是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)C解析

函数f(x)=x+ln

x-4的定义域为(0,+∞),因为函数f(x)在(0,+∞)内的图象是一条连续不断的曲线,且为增函数,又f(2)=-2+ln

2<0,f(3)=-1+ln

3>0,则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln

x-4的零点所在的区间是(2,3).故选C.(2)(2025·湖南益阳模拟)若函数f(x)=log2(x+3)-x的零点x0∈(k,k+1),则整数k的取值为

.

-3或2解析

由题意得f(x)的定义域为(-3,+∞),令log2(x+3)-x=0,即log2(x+3)=x,可得函数f(x)的零点为函数y=log2(x+3)的图象与y=x的图象交点的横坐标,如图所示,可知交点有两个,其中一个交点的横坐标x0满足x0∈(-3,-2).而函数f(x)的零点x0∈(k,k+1),解得k=-3.又f(2)=log25-2>0,f(3)=log26-3<0,所以f(2)·f(3)<0,由零点存在定理得存在x1∈(2,3)作为f(x)的零点,因为该零点满足x1∈(k,k+1),且k为整数,所以k=2.综上,k=-3或k=2.规律方法

判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法(1)利用函数零点存在定理首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否是一条连续不断的曲线,然后看f(a)f(b)<0是否成立,若成立,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若不成立,则不一定有零点.(2)图象法通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.[对点训练1]用二分法求函数f(x)=ex-x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)≈-0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈-0.04,关于下一步的说法正确的是(

)A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.1875)D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.0625)C

考点二函数零点个数的判定例2

(1)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=cos2x-cosx,则函数f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为(

)A.1

B.2

C.3

D.4D

(2)(2025·江西南昌模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-|log6x|有

个零点.

6解析

由函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),可得T=2是函数y=f(x)的一个周期.结合y=f(x)(x∈R)是偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.再作出函数y=|log6x|的大致图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有6个交点,所以函数g(x)=f(x)-|log6x|有6个零点.规律方法

求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则函数f(x)有多少个零点.(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

D解析

当x≤0时,由x2-1=0,解得x=-1;当x>0时,f(x)=x-2+ln

x在(0,+∞)内单调递增,且f(1)=1-2+ln

1=-1<0,f(2)=2-2+ln

2=ln

2>0,即f(1)f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点.综上,函数f(x)的零点个数为2.故选D.(2)(2025·陕西渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3C

考点三函数零点的应用

B解析

当x≤0时,0<ex≤1,若关于x的方程ex=-a无解,则a≥0或a<-1;当x>0时,ln(x+1)>0,若关于x的方程ln(x+1)=a无解,则a≤0.综上,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪{0}.故选B.

(0,e)

由g(a)=a3+ln

a-1在a∈(0,e)内单调递增,且g(1)=0,结合图象,当0<a<1,即a3<1-ln

a时,0<b≤a3,y=f(x)-b恰有三个零点;当1≤a<e,即a3≥1-ln

a时,0<b<1-ln

a,y=f(x)-b恰有三个零点;当a≥e时,y=ln

x-1在(a,+∞)内单调递增,此时函数y=f(x)-b最多有两个零点,不符合题意.综上,a∈(0,e).规律方法

根据函数零点个数求参数的三种方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题,再进行求解;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.

C

D

考向2

根据函数零点的范围求参数例4设k为实数,若函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点,则实数k的取值范围是

.

解析

(方法一

图象法)因为函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点,所以关于x的方程x2-2x+k=0在区间[-1,0]上有解,即函数y=x2+k与y=2x的图象在区间[-1,0]上有交点.在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2+k,y=2x的图象,如图所示.

规律方法

根据零点的取值范围求参数范围的方法(1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,解关于参数的不等式即得参数的取值范围;(2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解;(3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.[对点训练4](2025·辽宁抚顺模拟)函数f(x)=kx-4+xlog2x在区间[1,4)内有零点,则实数k的取值范围是(

)A.[-4,1) B.(-4,1]C.[-1,4) D.(-1,4]D

教材衍展嵌套函数的零点形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的函数称为嵌套函数.求解嵌套函数的零点涉及内外两层函数,常采用换元法处理.求解时要注意抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质.

D

D

规律方法

嵌套型复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题的求解思路(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u);(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1,2,3,…,n);(3)确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y=