宋分数高考大招54招

124581015161819225262730563943464750大招二十五、TailSumFormula515556585946737379818391939495961081091013 995全国理 sinocos50o+sin20o·cos50o的值.x+y=2+sin70o,>x=sin220o+cos250o+sin20o·cos50o,设<则<x—y=—cos40o+cos100o+sin(—30o)和差化积11y=cos220o+sin250o+cos20o·sin50o和差化积11(22,(22,于是2x=,解得x=.【1】易易(1992全国卷)求sin220o+cos280o+^3sin20o·cos80o的值.求sin10osin30osin50osin70o的值.8x=sin10osin30osin50osin70o,设则xy=sin208x=sin10osin30osin50osin70o,y=cos10ocos30ocos50ocos70o,所以x=【1】易易(2009中国科学技术大学自招)求sin6osin42osin66osin78o的值.【2】易易(2023高三模拟卷)求cos6ocos42ocos66ocos78o的值. (2001全国卷)若0<α<β<,设sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则()A.a<bB.a>bC.ab<1D.ab>2令α!0,则a!1,令β!,则b!^2,故有a<b且1<ab<2,故选A.若sinαcosα=^2,α2(0,π),则tanα=A.1B.C.()D.1因为sinαcosα=^2>1,则sinα>0,cosα<0,故选项C,D错误;又因为sinαcosα=^2,则sinα和cosα的值必和^2有关,由此分析猜测可取sinα=和cosα=,此时满足题中已知条件,所以tanα==1,故选A.tan(θ)=.(2016全国卷)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ)=▲.由题意知θ+在第一象限,且tan(θ+)=,故tan(θ)==.tanx)=,则tan(x)=▲.2.2. ππππ移ππππ移(2022浙江卷)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要将函数y=2sin(3x+)的图象上所有的点()ππ55ππ15C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度我们令两个三角函数sin3x和sin(3x+)(不用理会前面的系数2)都等于1,解出各自的x(取锐角).),故'!相当于往右平移=个单位长度.正【1】易易(宋分数原创)要得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将函数y=sin2x的图象()πA长度π3πB个单位长度π3πC度π6πD.向右平移个单位长度π6【2】易易(宋分数原创)要得到函数y=sin(2x)的图象,只要将函数y=cos2x的图象()πA长度π6πB个单位长度π3πC度π6πD.向左平移个单位长度π3【3】易易(宋分数原创)为了得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将函数y=cos(2x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【4】易易(宋分数原创)为了得到函数y=2cos2x的图象,只需把函数y=^3sin2xcos2x的图象()πππππA长度π3πB个单位长度π3πC度π6πD.向右平移个单位长度π6【5】易易(宋分数原创)已知直线x=是f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)图象的一条对称轴,为了得到函数y=f(x)的图象,只需把函数y=sin2x的图象()πA长度π6πB个单位长度π6C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度tan==.【1】易易(2025全国II卷)已知0<α<π,cos=,则sin(α-)=()A.B.C.C3^2D.D7^2,则tan=▲.【3】易易(2025全国高三模拟)已知sinθ=,<θ<3π,则tan=▲.【4】易易(2021陕西榆林高三模拟)已知sin-cos=,<θ<π,则tan=▲.tan1+sinα1—tan=cosα.【1】易易(2010宁夏卷)若cosα=—,α是第三象限的角,则()AB.C.2D.—2(1)sin2θ=,(2)cos2θ=,(3)tan2θ=.(1)sin2θ=2sinθcosθ=;(2)cos2θ=;(3)tan2θ==.()【1】易易(2025全国II卷)已知0<α<π,cos=,则sin(α—)=()A.B.C.D.【2】易易(宋分数原创)已知α2(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.B.C.D.【3】易易(宋分数原创)设α2(0,),β2(0,π),若=,则() A.α+β=B.α+β=πC.α—β=D.β—α=【4】易易(宋分数原创)已知sinα—^2cosα=0,则cos2α的值为()A.—B.0C.D.【5】易易(宋分数原创)若tanα=2,则cos(—2α)=()ABC.或—D.【6】易易(宋分数原创)已知tan(α+)=—3,则sin2α=()【7】易易(宋分数原创)已知sinα+cosα=,且α是第一象限角,则tan=()A.B.C.或D.2或3【8】易易(宋分数原创)已知=5,则cos2α+sin2α=()A.—B.3C.—3D.【9】易易(宋分数原创)已知α2(0,),且cos2α=2sin2α—1,则sinα=()A.B.C.D. 【10】易易(宋分数原创)若=5,则tanα=()C.D.20192019四川泸州测试函数f(x)=的周期为()ππA.B.C.πD.2π42虽然f(x)==tan2x,但是xkπ+且xkπ+,k2Z,于是T=π.故选C.2010北京大学自招节选已知x2(0,),求证:2x<sinx+tanx.由x2(0,)知2(0,),则<tan== sinx(1+cosx)sinx(1+cosx)<(1+cosx)2—(1—cosx)2=4cosx=(tanx+sinx)整理得2x<sinx+tanx.(1)sin3α=4sinαsin(+α)sin(—α);(2)cos3α=4cosαcos(+α)cos(—α);(3)tan3α=tanαtan(+α)tan(—α).cos20ocos40ocos80o=▲.原始=cos20ocos(60o—20o)cos(60o+20o)=cos60o=. 1987高考真题sin10osin30osin50osin70o=▲.原始=sin10osin50osin70o=sin10osin(60o—10o)sin(60o+10o)=sin30o=.sinA+sinB=2sincos,sinA—sinB=2cossinin利用A=+,B=—可得sinAsinBsin)+sin(—)=2sincos其它同理可证.202020浙江卷(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.(1)根据正弦定理知B=;(2)由和差化积公式知cosA+cosB+cosC=2coscos+=cos+,coscosAcosBcosC,].sinAB1 2014新课标II卷函数f(x)=sin(x+2φ)—2sinφcos(x+φ)的最大值为▲.由积化和差可得2sinφcos(x+φ)=sin(2α+x)+sin(—x)=sin(2α+x)—sinx,故函数f(x)=sin(x+2φ)—sin(x+2φ)+sinx=sinx【1】易易(2024届高考模拟)若A+B=120,则sinA+sinB的最大值是()A.1B.^2C.^3D.【2】易易(2025届高考模拟)在量ABC中,若sinC=,则此三角形的形状是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形inC【5】易易易(2022全国高一专题练习)已知α,β为锐角,且α—β=30,则sinαsinβ的取值范围【答案】(0,).【6】易易(湖北武汉第二中学2024届月考)已知cos(40—θ)+cos(40+θ)+cos(80—θ)=0,则tanθ=()A.—^3B.—C.D.^3【7】易易易(湖南长沙麓山实验学校2025届二模:多选)已知函数f(x)=sin3x—sin2x,则()A.f(x)的一个周期为—2πB.f(x)的图象关于(π,0)中心对称C.f(x)的最大值为2D.f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π在量ABC中,三边长a,b,c满足a+c=λb,则tan·tan=.因为a+c=λb,由正弦定理知sinA+sinC=λsinB,由和化积及二倍角公式可得2sincos=2λsincos,即cos=λcos,展开【1】易易易(2025届二模)在量ABC中,2sinB=sinA+sinC,求证:tan·tan=.的一个确定端点值.后续做题我们可以直接画出图分析,不需要+2kπ进行讨论与取舍.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在区间[—,]单调递增,则实数ω的取值范围是)A.(0,]B.(0,]C.[1,2]D.(1,]的图象过(,)点,图象可以确定一点的具体位置,故t2[+,+]所在的单调增fxcosx函数,则正实数ω的取值范围是()A.(0,1]B.(0,)C.(0,]D.(0,2]若函数f(x)=2sin(ωx+)是区间[0,]上的减函数,则实数ω的取值范围是()A.(∞,]B.[,0)C.[,+∞)D.(0,]因为函数函数f(x)=2sin(ωx+)是区间[0,]上的减函数,所以ω0,根据题中条件,可以取到x=0,根据正弦函数的图象可知ω<0,由于x2[0,],所以ωx+2[+,],所以+,解得ω2[,0),故选B.【1】易易易(2025全国高三模拟卷)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且在()A.(0,]B.[,1)C.(0,]D.[,1) 已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在区间(—π,0)上恰有3条对称轴,3个对称中心,则令t=ωx+,由于x2(—π,0),所以t=ωx+2(—πω+,),原题转化为y=sint在nt【1】易易(2024全国高三模拟卷)已知函数f(x)=2cos(ωx—)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是()ABC[,)D.[,+∞)【2】易易(2022全国高三模拟卷)将函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个周期π)内,则ω的取值范围是▲.已知函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间(—,0)上恰有唯一对称轴,则ω的取值范围是() 已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,)内有最大值,但无最小值,则实数ω的取值范围是()令t=ωx+,由于x2(0,),所以t=ωx+2(,+),原题转化为y=sint在(,+)内有最大值,但无最小值,因为根据题中条件,当x=0时,t=,所以y=sint的图象已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间[,]上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围是()令t=ωx+,由于x2[,],所以t2[+,+],原题转化为y=2sint在[+,+]上恰有一个最大值点和一个最小值点,因为根据题中条件,可以取到x=0,即:2≤3+6<2,>≤ω<>≤ω<解得33,所以ω2[,4),故选B.1≤ω<4, 已知函数f(x)=sin(ωx—)(ω>0)在区间(0,π)上有且只有两个零点,则实数ω的取值范围是()上有且只有两个零点,因为根据题中条件,x可以逼近0,即t逼近—,所以y=sint的图象逼近【1】易易(2025北京高考真题)设函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在[0,]上存在零点,则ω的最小值为()A.8B.6C.4D.3【2】易易(2022全国高三模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间(0,)上仅有一个零点,则ω的取值范围是()A.[0,1]B.(,]C.(0,]D.(,)【3】易易易(2022全国高三模拟)将f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到g(x)的图象,若g(x)在[0,]上. 的不等式(2)sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC;(1)不失一般性,我们证明sinA>cosB,sB(2)由(1)知sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+sC(4)由(3)易证.即=(由量BCD量ABC可证).^5+1在黄金三角形中,底与腰的比值为2,4,4.【1】易易易(2025高三模拟)已知锐角量ABC,函数f(x)=ex+e—x,则下列结论中一定成立的是() A.f(—sinA)>f(cosB)B.f(cosC)>f(sinB)CfcosAfsinCDfsinCfsinB【2】易易易(2025高三模拟)(多选)已知锐角量ABC中,A>B>C,则下列说法正确的是()AtanA3B.sinA—cosA>cosB—sinBC.<cosB<1D.cosA,sinB,cosC构成等差数列【3】易易易(2023新高考II卷)已知α为锐角,cosα=,则sin=()A.B.C.D.在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)+=;(2)+=;(3)+=.切化弦证明.【1】易易易(江苏高考)在锐角量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=6cosC,则【2】易易(2024吉林模拟)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=, 【答案】cosA2[,1).【3】易易(2025高三模拟)在锐角量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=8cosA,【4】易易易(2025绵阳高三12月月考)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=,则=()A.4049B.4048C.4047D.4046则++=()A.1B.0C.3D.不为定值【6】易易(2023山东日照高一期末)量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2023c2,则tanA+tanB=tan则tanA+tanB=A.B.C.D.【7】易易易(2024湖北重点中学联考)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2024c2,则tanC2024c2,则tanC(tanA+tanB)=▲.【8】易易易(2024陕西宝鸡二模)量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2025c2,则的值为() 则的值为()tanC(tanA+tanB)A.2022B.2023C.2024D.2025 ABCABC为a,b,c,若+=,量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若(CA)24(AB)(BC)=0,则B=;(2)若A,B,C成等比数列,则B2(0,].(1)题设正好是某一元二次方程判别式等于0的形式,因此可以构造一个一元二次方程来求解.当当A=B时,则C=A,此时三角形为等边三角形,B=;3B(AB)x2+(CA)x+(BC)=0(1)题设知方程(1)的判别式∆=0,方程有两相等实根,又发现次方程的所有系数之和等于0,故x=1为方程(1)的根.于是由韦达定理可知=1,解得2B于是由韦达定理可知=1,解得2B=A+C,故B=;AB3π(2)角A,C可看作关于B的一元二次方程x2(πB)x+B2=0的两个正根,所以∆=(ππB)24B20,解得0<B≤3.得证.在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则我们有(1)tan·tan=;(2)B2(0,].在量ABC中,三边长a,b,c满足a+c=λb,则tan·tan=.(证明方法见第10页)易(2010“华约”自招)在量ABC中,三边长a,b,c满足a+c=3b,则tan·tan=()A.B.C.D. 式量ABC中,三边长分别为a,b,c,面积为S,则xa2+yb2+zc24S^xy+yx+xz,当且仅当x:y:z=tanA:tanB:tanC时取等.量ABC中,三边长分别为a,b,c,面积为S,则a3+b3+c34S^ab+bc+ca.abc2的最小值为▲.【2】易易易(2018浙江省名校协作体试题)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a2+b2+c2=4,则量ABC面积的最大值为▲.5.5.【3】易易易(江苏省淮安中学高三上学期期中)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若5a2+2b2+3c2=12,则量ABC面积的最大值为▲.11.11.【4】易易易(宋分数原创)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若7a2+b2+c2=4^3,则5.5.【5】易易易(2017届江苏南京市盐城高三一模)在量ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+2c2=8,则量ABC面积的最大值为▲.5.5.【6】易易易(2025湖北省武汉市华师一附中二月月考)在量ABC中,a2+b2+c2=2^3absinC,则量ABC的形状是() A.等腰直角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形性考试)在量ABC中,角A,B,C已知数列{an}的通项公式an=n2(cos2sin2),其前n项和为Sn,则S30=()A.470B.490C.495D.510an=n2(cos2sin2)=n2cos,最小正周期为3,从而可得a3n2,a3n1,a3n的通项公式,a3n2=(3n2)2cos2(3n32)π=(3n2)2cos(2nπ)=(3n2)2,>>>a3n1=(3n1)2cos2(3n31)π=(3n1)2cos(2nπ)=(3n1)2,>>>a3n=(3)n2cos=(3n)2cos(2nπ)=(3n)2,(2)(3)(4)三式相加可得a3n2+a3n1+a3n=9n,每三项的和构成一个等差数列,记为{bn},则bn=9n5S30====47022210(b1+b10)10(9+9S30====470222已知数列{an}的通项公式an=n2(cos2sin2),其前n项和为Sn.cn求数列{cn}的前n项和Tn. 由典例一可知S3k===,所以<8n1>>>由换元法得Sn=,>>n(3n+4)6,(n=3k,k2Z),(2)cn==,利用错位相减法可得Tn=——.【1】易易(2025全国II卷模拟)已知数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2025=()A.1012B.2024C.506D.0a4n—3=(4n—3)cos=0,>>>>a4n=(4n)cos=4n,(5)(6)(7)(8)S2025=S2024+a2025=2+0=1012【2】易易易(2025全国高考冲刺卷)已知数列{an}的通项公式为an=n(n+1)sin,Sn是数列{an}的前n项和,则S8=▲. sinbkak—3+a4k—2+a4k—1+a4k(k2Z),则所以S8=b1+b2=—16(1+2)+62=—36.记=a,=b,=c.(1)|a+tb|的几何模型为向量所在直线上一动点与点A之间的距离;(2)若向量a为已知向量,|a—b|=r(r为常数),则点B在以点A为圆心,r为半径的圆上;(4)若向量a,b为已知向量,|a—b|=r(r为常数),(a—c,b—c)=θ(定角度),则点C落在量ABC的外接圆上,其中||为定值r,∠ACB=θ;焦点的椭圆上. a+b+c=0的处理模型 记=a,=b,=c,若a+b+c=0,则尽量画图解答.如图7,其中=—. 20232023全国甲卷理科向量|a|=|b|=1,|c|=^2,且a+b+c=0,则cos(a-c,b-c)=()A.-B.-C.D.如图8,记=a,=b,=c,由|a|=|b|=1,|c|=^2,可得四边形OAC\B为边长等于1的正方形,且DC=,于是tan∠DCA=,由万能公式可知cos∠BCA==,故选D.2021全国新高考II卷向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=▲.如图9,记=a,=b,=c,(b,-a)=θ,即∠BOA1=θ,所以cosθ=.于是a·b+b·c+c·a=-21cosθ+22cos2θ-21cosθ=-【1】易易(2024全国模拟卷)向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)Tc,aTb,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2=▲. 【2】易易(2025全国模拟卷)向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b-c|=2,则|b|+|c|的最大abaab|=2,则a·b的取值范围是▲.记=a,=b,=-2a,由|2a+b|=|b-(-2a)|=2,得|1|=2,即动点B的轨迹是以A1为圆心,2为半径的圆,如图10,于是由向量投影(或极化恒等式)可得a·b2[-12,-4].20182018浙江理:配方法的妙用记=a,=b,=2e,因为b2-4e·b+3=0,所以(b-2e)2-4e2+3=0,即|b-2e|=1,即||=1.所以向量b的终点B在以点E为圆心,1为半径的圆上,问题转化为求圆上一点与OAl距离,再减去半径即可.所以|a-b|=||的最小值为^3-1.b15=0,则|a-b|的最小值为()A.2^3+1B.2^3-1C.^3+1D.^3-120232023浙江金华一模已知平面向量a,b,c满足a·b=,|a-b|=3,(a-c)·(b-c)=-2,则|c|的取值范围 bABMOM||=,故向量c的终点C的轨迹是以M为圆心,为半径的圆,典型的“一箭穿心”模型,如图MOc2+]=[,].已知空间四点P,A,B,C,对空间任一点O,若=x+y+z,且x+y+z=1,则四点22025高考冲刺BCM因为=—++,所以3=—++,不妨令=3,则#»1#»2#»4#»124PH=—5PA+5PB+5PC,又—5+#»1#»2#»4#»124VM—ABC=VP—ABC=6=4 由于向量本身就具有几何特征,因此和平面几何“整合”是其自然的表现,充分利用平面几何的性质有助于向量问题的解决,同样,平面几何的有关知识也可以借助向量在此扎根. 证明:三角形重心是三角形中线的三等分点.22025天津卷易知=a+b;如图14,我们设点A,点B的重量为1,要使A—D—B这个跷跷板保持平衡,需要点D的质量为2(支点重量永远等于跷跷板两头重量之和),因为=,所以点CFAE=5EF,所以EF=1.(2024届高考模拟)在量ABC中,边AB上有一点E,BC上有一点D,AD交CE于点G,当AE:EB=1:2,BD:DC=1:2时,AG:GD等于多少? 【2】易易易(宋分数原创)在量ABC中,=2,=2,若||=5,AE?CB,则·【3】易易易(2019江苏)在量ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于设数列{an}为斐波那契数列,根据定义,数列{an}满足a1=a2=1,且an+2=an+an+1(n2N*).(1)a1+a2+···+an=an+2—1;(2)a1+a3+···+a2n—1=a2n;(3)a2+a4+···+a2n=a2n+1—1;(4)a+a+···+a=anan+1.(1)利用an+2=an+an+1即证;(2)奇数项利用偶数项表示;(3)偶数项利用奇数项表示;(4)a+a+···+a=a1a2+a+···+a=(a1+a2)a2+···+a=···=anan+1.若a1=1,a2=2,且an+2=an+an+1,则a+a+···+a=a1a2+a+···+a—1=(a1+a2)a2+···+a—1=···=anan+1—1. 的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契数列”,定义a1=1,a2=1,其前n项和记作Sn.若a2025=m,则S2023=() A.2mB.B2C.m+1高三模拟卷)“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契数列”,定义a1=1,a2=1,则a2+a4+···+a2024—a=▲.高三模拟卷)“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契数列”,定义a1=1,a2=1,则是斐波那契数列的第▲项.末考试)“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{Fn}为“斐波那契数列”,定义F1=F2=1,当n>2时,FnFnFnFm()A.98B.99C.100D.101列中的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契数列”,定义a1=1,a2=1,aa3—a)(a2a4—a)(a3a5—a)···(a2015a2017—a)=()A.1B.2017C.—1D.—2017波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契数列”,定义a1=1,a2=1,若bn=anan+2—a+1,则b1+b2+···+b2025=▲. 列中的一系列数字被人们称为神奇数.该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契数列”,满足a1=a2=1,且an+2=an+an+1(n2N*),则()B.3m2N*,使得am,am+1,am+2成等比数列C.3λ2R,对An2N*,an,λan+2,an+4成等差数列DAnNaaanan+1—1【8】易易(2025高三模拟)(多选)被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩,有大小洞穴四十余处,历代书法题刻二百余处.由于岩石众多,造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路,美其名曰:天梯,其中有一段山路需要全程在石头上爬,旁边有铁索可以拉,十分惊险.某游客爬天梯,一次上1个或2个台阶,设爬上第n个台阶的方法数为an,则下列结论正确的是()A.a6=13B.3an+1=an—1+an+3C.ai=51D.a=a2022a2023—1【9】易易易(2022陕西省咸阳市模拟)(多选)斐波那契数在自然界中广泛存在,大多数植物的花瓣晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为{an},则下列结论正确的是()A.an+an+1=an+2B.a+a+a+a=a4a5C.a1+a3+a5+···+a2021=a2022D.an+1=a2na2n+2—1(n2N*) 【1】易易(2022全国月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”,定义FFn,Fn=Fn—1+Fn—2,此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672列”,有着广泛的应用.若此数列的各项除以4的余数构成一个新数列{bn},则数列b1+b2+···+b52的值为()A.71B.72C.73D.74<loganan+1<.【1】易易(2020全国III卷)已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)2,4,6,···,2n,前n项和Sn=n(n+1);(3)3,5,7,···,2n+1,前n项和Sn=n(n+2).an}的首项为3,公差为2,则a10=▲. ann项和Sn=▲.【3】易易(2014福建)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6=▲.【4】易易(2011湖北)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=7,则S9=▲.【5】易易(2011大纲)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,公差d=2,Sk+2Sk=24,【6】易易易(2019全国III理)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a10,a2=3a1,则=▲.等差数列{an}的前n项和Sn=a1n+n(n21)d=n2+(a1)=An2+Bn(A,B2R);若数列{^Sn}也为等差数列,则B=0,即Sn=An2且a1==A.记数列{an}的前n项和为Sn,如果{an}和{^Sn}都是等差数列,公差相同且非零,则因为{an}和{^Sn}都是等差数列,所以^Sn=^An,因为两数列公差相同,所以^A=d,又因为2=A,所以d因为2=A,所以d=2,故a1=2=4.设等差数列{an}的公差为d(d0),前n项和为Sn,若数列{^8Sn+2n}也是公差为d的an的通项公式an=▲.因为数列{^8Sn+2n}是公差为d的等差数列,所以^8Sn+2n=^4dn2+(8a14d+2)n=dn+t 4dn2+(8a1—4d+2)n=d2n2+2tdn+t2ddtad=2td,解得d=4,a1=.因此an=4n—.【1】易易(2021全国II卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面1,2,3中选取两个作为条件,证明另外一个成立.1数列{an}是等差数列;2数列{^Sn}是等差数列;3a2=3a1.【2】易易(2024湖南株洲月考)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若^Sn+1—^Sn=2,则a1=()A.1B.2C.3D.4【3】易易(2024届浙江名校协作体高三下学期返校考)已知正项数列{an}满足a2=3a1,Sn为{an}的前n项和,则“{an}是等差数列”是“{^Sn}为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【4】易易(宋分数原创)已知正项等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若数列{^Sn+n}也【5】易易易(宋分数原创)已知等差数列{an}满足:存在互异实数m,n,p,使得1m+n=2p,2^Sm+^Sn=2^Sp,且a1=,则集合{(x,y)|Sx·Sy=1,x,y2N*}的元素个数为▲.···1111124816···.4,2,,,,,,,往左公比为1 【1】易易(2025全国I卷)(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0,若S3=7,a3=1,则()A.q=B.a5=C.S5=8D.an+Sn=8【2】易易(2019新课标III卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2【3】易易(2015新课标II文科卷)已知等比数列{an}满足a1=,则a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.【4】易易(2015全国I卷)在等比数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n=▲.【5】易易(2020全国II理)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+···+ak+10=215-2