重难点 圆锥曲线韦达与非韦达定理（培优专项训练）（解析版）

心攻略((((2+(b)x+c=0(3)或者+(b)y+c=0(3)或()11(2(2ME方程；【答案】(1)y2=-x(2)证明见解析(3)k=±件得=，解得p=，因此抛物线E的方程为y2=-x；kyyx点，不符合题意，-x，|y1-y2=，所以|y1-y2=2，平方得：(y1+y2)2-4y1y2=40，又y1+y2=-，y1y2=-1，△OAQ外接圆的半径.( ((((( ( ((((( (ABAF=xA+，则xA=4-.=0，PxQPBQxPxBxQ ((((( (((((((((( ((((((1)求p；|BD,x1x2= 12k,x1x2=k-3k2，技巧PFOQPF即可求解p；yyADBDt=±2(2)设直线m：x=ty+4,联立直线与抛物线可得y2-4tyyyADBDt=±244((((((由韦达定理得y3+y4=4t，y3y4=-16，所以|AD=1+t2|y3,|BD=1+t2|y4，-16，所以|AD=|y3=1或|AD=|y3=2，所以|AD的值为1或2.|BD|y42|BD|y4|BD2所以抛物线C的方程为y2=4x．55 (( ( ((( ((((((((( (( ( ((( ((((((((((【答案】(1)+y2=1，e===(2)光线AF经过x轴反射后经过点B即可.(((2)如图 (ty+2+4y2=4，展开并整理得(t2+4y2+ty+=0，则Δ=(t2-4(t2+4×=(3t2-4>0即t2> 43，且y1+y2=-=-，y1y2==，∴kAF+kBF=+====y1(ty2+-3+y2(ty1+-32ty1y2+(y1+y2==(ty1+-3(ty2+-3t2y1y2+(y1+y2+66 (( ( (( (==0， 2t⋅+⋅--==0，t2⋅+⋅-+-+∴光线AF经过x轴反射后经过点B.)设成y=kx+m。此时直线不包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论。77((((( (( ((((((( ((((( (( ((((((( xx+2mty+t2-2=0，所以△MTN的面积S△MTN=(2-1|y1-y2=×(2+4×==ab38.(25-26高三下·北京·开学考试)已知椭圆C：x2+y2=1(a>ab3+=1出m与k的关系即可.2929kxkmxm-36=0，设P(x1,y1，Q(x2,y2，则x1+x2=-,x1x2=，因为点A(0,-2,B(3程为：y+2=88(((((((( ((( ( ((((((((((((((9(((((((( ((( ( ((((((((((((((9xSTxT整理得x1(kx2+m+2+x2(kx1+m+2=3(kx1+m+2(kx2+m+2.化简得(3k2-2k)x1x2+(3k-1)(m+2(x1+x2+3(m+22=0.代入x1+x2=-,x1x2=并乘以4+9k2得：.(m+2[9(3k2-2k)(m-2)-18km(3k-1)+3(m+2(4+9k2=0.mmkmmk+24=0，即m=-3k-2.所以y=kx+m=kx-3k-2=k(x-3)-2，故直线l过定点(3,-2).E程；设椭圆E的右顶点为A，若直线l:y=kx+m与椭圆E相交于M，N两点(异于A点)，且满足MA⊥>0，x1+x2=-，x1x2=，则y1y2=(kx1+m(kx2+m=k2x1x2+mk(x1+x2+m2=(((( (( (((((((( (( (((((( m mx+nmx+nax2+bx+cax2+bx+cpx+q,ax2+bx+c,mx+n,mx2+nx+e△PQM的面积的最大值. (((( (((((((((|((((((((( (((( (((((((((|((((((((( 故故E的方程为2+y2=1(x≠±2.(约束条件也可写成y≠0)所以PM⊥QM，4|PM⋅|QM=|2sinθ所以△PQM的面积S=|PM所以△PQM的面积S=|PM⋅|QM=|2y⋅|2x=2|kx2==(k≠0，(( (((( ((AByy1=(x-x1，由对称性，直线A1B所过定点一定在x轴上，(( ((( ( (( ((( ( 734AFCr(x2,-y2)， ((x-x1)， m+4==(-2m)×(+-=×m+4 ((( (((内切圆半径r的取值范围为(0,.E(2)P是椭圆E1上异于F1,F2的一点，过点P作直线PF1交椭圆E于点A,C，作直线PF2交椭圆E于点B,D.(i)证明：|AC+|BD为定值；((((((((((((((((((((( ((((( (((((((((((((((((((((( ((((( (求出最大值.BDyk2(x-2，=，所以|AC+|BD=+=26同理|BD(k+1(k+1(ii)因为四边形ABCD的面积为S=|PA|PDsin(π-θ=|AC=，当且仅当|AC=|BD=|PA|PBsinθ+|PB|PCsin(π-θ+|PC|PDsin(ii)因为四边形ABCD的面积为S=|PA|PDsin(π-θ=|AC=，当且仅当|AC=|BD=3MN恒过定点．((((((1y1y2+y1+y2+1==1，得m=n，则直线MN:x=my+m=m(y+1恒过点(0,-1.x共同的焦点F，且都经过点M(3,-26．((( ( ( ([((( ( ( ([((( FFcM根据双曲线的定义知2a=||MF-|MF1=|12+(-262-52+(-262=2，DxyxnHxyxDCAPCH所以|DC2=|CH2+|DH2，所以|DH2=|DC2-|CH2=[(x1-42+y-(x1-2x2+42=(n-2x1-n2+4n，显然当n=2时，|DH2=-4+8=4，所以弦长|DE=2|DH=4为定值，曲线上任意一点(x0>1,y0>0)，满足x-=1，即y=3x-3；GnQFGQFG为钝角，tan(2∠QGF)=，将tan∠QGF=代入，得tan(2∠QGF)==(x0+1)2-y，将y=3x-3代入分母化简：(x0+1)2-y=(x+2x0+1)-(3x-3)=-2(x0-2)(x0+1)， (((( (((( (( (GQfk见的思路和方法技巧：一点且有FP=(0,2．ABi(ii)直线AB过定点G(-3,-2．Mii ((((y解.此时M1到直线PQ的距离达到最大值，即在M1处的切线与直线PQ平行，当y<0时，抛物线方程为y=-2x,yp==-1，所以M1(1,-2，x((((((((|((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((((((((((|((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((( =x2-x1TT即可求解.即可求解.b+=1.kkk-12=144(1-4k2>0解得-<k<，设P(x1,y1,Q(x2,y2，∴直线MQ的方程为y-y(x-x2令y=0，则得0-y(x-x2，化简得x=x1y2+x2y1y2+y1，kx1(x2-4+kx2(x1-42kx1x2-4k(x1+x2将y1=k(x1-4,y2=k(x2-4代入上式，可得xkx1(x2-4+kx2(x1-42kx1x2-4k(x1+x2=3+4k23+4k2==1=3+4k23+4k2==1，故直线MQ过定点(1,0.(ii)∵(x1-4(1-x2+(x2-4(1-x1=-2x1x2+5(x1+x2-8=-2⋅+5⋅-8==0，∴(x1-4(1-x2=-(x2-4(1-x1(*)，A,P,Q,T四点均在一条直线上，则x1y1-4=xy22-4===k，∴y1=k(x1-4,y2=k(x2-4，y0-y1=k(1-x1,y0-y2=k(1-x2，(x1-4(1-x2，((((((||(( (( ((((((((((((((((((((((||(( (( (((((((((((((((( (=1|(k2+1)(x1-4(1-x2=|(k2+1)(x2-4(1-x1xx2x(1-x1==(x2-4(1-x1+k2(x2-4(1-x1=(k2+1)(x2-4(1-x1.|AQ|PT入可得|AP|AQ|PT入可得|AP⋅|QT|AQ|PTbAE标准方程；kxkmxm0，求解|PF=3-x1，|QF=3-x2，进而结合韦达定理化简求解+即可；所以椭圆E的标准方程为+=1；FlxPF(x1-12+8(1-=-2x1+9=3-x1，同理|QF=3-x2，所以+=+=+=，化简得x1x2=5(x1+x2-9，代入(**)式得：=5(--9，即9k2+10km+m2=0， (9k+m(k+m=0，所以m=-9k或m=-k．((((((((((((最常见的是斜率关系求值型：(1)、若k1+k2=t，则直线AB过定点(x0-，-y0-当lPA,lPB的斜率kPA,kPB满足：2.(1)、kPA+kPB=t(t≠0)时lAB过定点(x0-，-y0CG (((((((( ( ((((((((((((((((((((((((( ( ((((((((((((((((((3)是，直线x=-4yxxxx【详解】(1)由题可知|BG=|BE，|CG=|CD，则||BG-|CG=||BE-|CD=4<|BC．y0=±6．A(-12,-18；3-k23-k2直线MP的方程为y=(x+2，直线NQ的方程为y=(x-2，则==xxxx得x1x2=-4-(x1+x2，x，故点H在定直线x=-4上. (((((((((((((((((((( ( (((((((((((((((((((( (证明见解析.出m与k的关系即可.xSTxT=3，所以+=3.整理得x1(kx2+m+2+x2(kx1+m+2=3(kx1+m+2(kx2+m+2.化简得(3k2-2k)x1x2+(3k-1)(m+2(x1+x2+3(m+22=0.代入x1+x2=-,x1x2=(m+2[9(3k2-2k)(m-2)-18km(3k-1)+3(m+2(4+9k2=0.mmkmmk+24=0，即m=-3k-2.所以y=kx+m=kx-3k-2=k(x-3)-2，故直线l过定点(3,-2).((( ((( y1.标：y0=x0+n=.(3)由题意可知直线l：x=my+t(-2<t<2与椭圆交于M,N，整理得：6my3y4+7(t-2y3-(t+2y4=0，即(y3+y4+7(t-2y3-(t+2y4=0，利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．．故P根与系数的关系进行求解即可.PMy=k(x+1+1，因此PA⊥AM，所以AM=所以AM=k2+1kkPB:y=-(x+1+1设过点P引圆M的切线方程为：y=k(x+t+1，因此PA⊥AM，442|ST=|k1-k2=t2+8≥22=2442[ [[ [[[ykxyy-x0|x0..y1x-x0=y-x0|x0..y1x-x0=通 (2)λ=-2三角形面积.(4m2-52|4m2-5，(4m2-52|4m2-5，5-4m2 ((((( ((((((((( ((((( (((((((((AB直线方程为x=my+3，则yM=-，过M平行于OA的直线方程为y+=(x-，直线OB方程为y=x，即y2(my1+3y+(my1+3y2=y1(my2+3y-y1y2，则3(y2-y1y=-3y1y2-y2，所以yP=，则y1y2=-(y1+y2，3(y2-y13(y2-y13(y2-y13m，yM+yQ所以yP=-3y1y23(y2-y13(y2-y13(y2-y13m，yM+yQ332MNyG (( (( (( (( (( (( (所以直线MN的斜率kMN=-=8k-8k【答案】(1)+y2=1(2)(i)设过B的切线方程为y=kx-1，根据切线性质可得(1-r2k2-2k+(1-r2=0，由此可求k1k2，Gbr设过B的切线方程为y=kx-1，由切线性质，圆心Q(1,0)到切线的距离等于半径r，所以=r，整理得(1-r2k2-2k+(1-r2=0，由根与系数关系得：k1k2==1， 8k28k132k2k+8k2-32k1k 8k28k132k2k+8k2-32k1k-8k1，令x=0可得yG=yM-kMNxM=+·==，(ⅱ)设H(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，结合y1=k1x1-1,y2=k2x2-1,k1k2=1，化简得：x2y1+x1y2=x1x2(k1+k2)-(x1+x2)，y入x1=,x2=，(((((((((( ((((( (((((((((( ((((( 可得y=x1x2(k1+k2x1+x2-1= ·(k1+k-1=4k+1+4k+4k+1+4k+18k1(4k+1+8k2(4k+1-1=40(8k1(4k+1+8k2(4k+1-1=40(k1+k2-1=3所以y=因此H恒在定直线y=上.点M(0,3在椭圆上.(2)(i)3x-10y-12=0；(ii)(2)(i)根据条件直接求出A点坐标和直线PF2的方程，联立椭圆方程，求出B点坐标，即可求解；(ii)设2x0+所以E的方程为+=1.(2)(i)因为F1(-1,0,F2(1,0，又P(-1,，由对称性知A(-1,-，xx ( (((((((((((((((((( ( ((((((((((((((((((B则kAB==，所以直线AB的方程为y+=(x+1，即3x-10y-12=0.故λ+μ=+=.BE (y1+y2)-3y1-y1+y2===-1.(y1+y2)-3y2y1-y2y=-，((所以+=1， 所以+=1，43所以|MA-|MB=-1.FBxyrrP且P是线段F1B1的中点，求r的值； b(((((((( ∴=== myymmymym-16y2=(9m2-144(y1+y2-(72m+18m2y2=9(m2-16y1-9(m+42y2= (4-m[(m-4y1-(4+my24-m1(4+m[(m-4y1-(4+my2=4+m=-3，解得m=8；又k1=北1+4=ky1+m+又k1=北1+4=ky1+m+4,k4=北2+4=ky2+m+4， 9k2-16 9k2-169m2-1449(m-4(m+4 ==-=-得m=8.( (((((((( ((((((((2)+=13OB=4OM，M(( (( ( ( ((( (( ( ( (由M在椭圆上，则x+4y=4b2,线段AB的中点为Q(1,-，设AB:y=k(x-1)-(1+4k2x2-(8k2+4kx+4k2+4k-4b2+1=0又y1y2=(x1-1(x2-1=x1x2-(x1+x2+1=，④造出中点坐标和斜率关系求解. (( k (( kk(2)设直线方程，联立抛物线方程解出A、B坐标，然后由面积公式结合基本不等式可得.QFPAQFPA ( (((((((((((((((((((( (((( (( ( (((((((((((((((((((( (((( (( ：解：(Ⅰ)设P(x,y,M(m,n依题意D(m,0，且y≠0，即动点P的轨迹E的方程为x2+y2=25(y≠0.ABE的直径，则有AP⊥BP，故AP,BP的斜率满足kPA=-， ==-kQFkPB=-kQFkQB=-⋅=-=-===(1+， ∵点P不同于A,B两点且直线QF的斜率存在，故-5<x0<5且x0≠-4，在(-5,-4和(-4,5都是单调减函数，(II)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，x+2y=4,x+2y=4，故x2+2y2=(x+4x+4x1x2)+2(y+4y+4y1y2)=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).ON因此x1x2+2y1y2=0, x1x2=-12,F1(-,0),F2(,0). 目标直线设为固定形式：mx+ny=1若与定点(x0,y0)的斜率关系,则可设直线方程为m(x-x0)+n(y-y0)=1(( ( ((((( ( (((mkAP+kAQ=+=+=0，kxxmkxx)-4(m-1)=0，-1；x2-2y2+4(x-y)(mx+ny)=0即(-4n-2)y2+4(n-m)xy+(1+4m)x2=0，∵方程的两根即为直线AP,AQ的斜率，∴=0即m=n线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上..AA，设M(x1,y1,N(x2,y2， 4m2-14m2-1，则y1+y2=324m2-14m2-1，直线MA1的方程为y=(x+2，直线NA2的方程为y=(x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2y2(x1+2=y2(my1-2=my1y2-2(y1+y2+2y1x-2=y1(x2-2y1(my2-6my1y2-6y1===-===-m×-6y-6y13，由=-可得x=-1，即xP=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动.1212<m<，x2x2-2(x-2，y联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2y2(x1+2=y2(my1-2=my1y2-2y2(y1+y2-2y2=3y1-y21x-2=y1(x2-2y1(my2-6my1y2-6y1=(y1+y2-6y13y2-9y1=-3xxP=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动.MNy-4x2-16x=0，yxx(mx+ny=0，化简得y2+16nxy+(16m-4x2=0，kAN设直线A1M:y=k1(x+2,A2N:y=k3(x-2，联立方程得k1(x+2=k3(x-2，-3(x+2=(x-2(((( (((((( (((( (((((( x+6x+4(y2+3y=0，4y2+3x2+6(x+2y(mx+ny=0，(12n+4y2+6(2m+nxy+(6m+3x2=0，等式两边同时除以x2，(12n+4(2+6(2m+n+ 4BF=+my1，CF=+my2，BC2=(1+m2(4p2m2+8p2.故cos(θ1+θ2=-cos∠BFC≥，即cos(θ1+θ2的最小值是.tt(( ( (( (( ( (( (((kPQ均存在时)Q分别交椭圆Γ于M,N两点.(((( (((( 可表示出MN的方程y=(-t-(x-2+t，由此整理即可得解.所以yD+yT=2yE，也就是E是DT的中点；这表明MN的方程是y=(-t-(x-2+t，即t(3-x+1-x-y=0，解. (( ((((((((((((((((((( ((( ((((((((((((((((((( (((( Q也就是y1-t+y2-t=-2tmy1+p-my2+p-p-，pytmyp-+(y2-t(my1+p-+2t(my1+p-(my2+p-=F理代入坐标关系化简求证可得.理代入坐标关系化简求证可得. (([( (([(PxPyPE，T(x3,y3)为QR的中点即可以由题意知曲线E的方程为+=1，又P(xP,yP)在曲线E上+=1，点P对应椭圆点P对应椭圆C的极线lp:+ypy=1，2x1+x2=xp，x1x2=，SOQR|QR==⋅(4-x=，OlPxpxypy0的距离d=|-2所以S△OQR=·|QR·d==，((((((((((((S▱OPQR=2S△OQR=2.关键点点睛：解题的关键点是点T同时为OP的中点，即四边形OQPR为平行四边形，即S▱OPQR=Axx+By0y+D(x+x0+E(y+y0+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线——是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MT=TN时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.(3)x+2y-4=0(3)利用代数法证明点P在椭圆C外，则点P和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概y(b2+a2k2x2+2a2ktx+a2(t2-b2=0， Qyx所以直线y=-x+4与椭圆C相离，即点P在椭圆C外，又PM,PN都与椭圆C相切，关，(((((((((((((( (( ((((((((((((((( (( (E求得答案.由余弦定理，可得m2=22+(4-m2-2×2×(4-m×cos，式， (((((((((((((((((((8 (((((((((((((((((