【四元数傅里叶变换的案例分析3100字】

四元数傅里叶变换的案例分析目录TOC\o"1-3"\h\u2913四元数傅里叶变换的案例分析 1172371.1傅里叶变换概况 1204541.2离散傅里叶变换（DFT） 1189711.3快速傅里叶变换（FFT） 210771.4四元数的傅里叶变换 36161.5傅里叶变换在数字图像处理中的作用 4200241.1.1图像保存 4296281.1.2图形增强 450601.1.3图像复原 4162892四元数的彩色人脸识别 479642.1人脸识别概况 46792.2人脸识别算法的步骤 442232.3KL变换 6169552.4四元数的主成分分析（QPCA） 71.1傅里叶变换概况傅里叶变换基本思想首先由法国工程师约瑟夫·傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier）系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。它是一种线性的积分变换，在医学，物理学，工程学等多方面都有应用。傅立叶变换有连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的变体形式。1.2离散傅里叶变换（DFT）离散时间信号X(n)的连续傅立叶变换定义为X式中X(ejω)是一个连续函数，这个连续函数我们只能采用间接的方式才可以在计算机上进行数字运算。所以想要达到在计算机上完成频谱分析的目的，务必需要对X(n)Xk=n=0原信号x(t)的采样信号x[n]可以用xn=1N实际的含义就是x[n]表示成X[k]为系数的不同频率分量的和1.3快速傅里叶变换（FFT）在我们谈及到图像的数学变换的时候，一般来说会把图像看成具有两个变量的函数，这两个变量分别是。最先引用在二维空间的连续函数，其次进行傅里叶变换，然后设为一个函数，具有两个独立变量，两个变量分别为[10]，并且需要满足−∞则定义的傅里叶变换Fu,v=定义的傅里叶反变换fx,y=傅里叶变换的振幅谱：F(u,v)傅里叶变换的相位谱：φ傅里叶变换的能量谱：E式中Ru,v表示傅里叶变换的实部，I(u,v)经过抽样后，得出连续信号f(x,y)变成二维空间的离散信号f(m,n)，并且m，n满足0≤m≤M-1，0≤n≤N-1，对此界定二维空间的离散傅里叶变换(DCT)为[10]F其反变换为：f从定义上可以看出，离散信号f(m,n)的离散傅立叶变换在本质上是一个抽样，是对连续信号f(x,y)的频谱F(u，v)的抽样。离散傅立叶变换在实现时存在快速算法，即快速傅立叶变换(FFT)[11]。1.4四元数的傅里叶变换令L2∀f,g∈Lf,g=Rf则L四元数的傅里叶变换（QFT）一般主要有三种类型；一种是左型QFT，一种是双边QFT，和右型QFT[7]下面给出右型QFT的形式设f∈LF为四元数Fourier变换（QFT）1.5傅里叶变换在数字图像处理中的作用1.1.1图像保存如果我们要对图像进行分解可以用傅里叶正变换，相应的对图像进行压缩也可以，同时，如果我们希望一幅图像以一种更紧密的数据格式进行编码的同时保持数据不丢失时,傅里叶变换是一个很好的工具[11]。1.1.2图形增强根据自己的实际所需，为了提高图像的视觉效果，并使图像变得更加清晰。图像增强的主要方法主要有两类，一是空间域法，二是频率域法[23]。1.1.3图像复原傅里叶变换也可以将图像的原始数据进行一个恢复，将模糊的图像恢复它的原有信息，以便于更加清晰。6四元数的彩色人脸识别2.1人脸识别概况平时交通进站要刷脸认证，宿舍的门禁，上班的签到打卡以及视频监控都用到人脸识别的知识，本文中我们使用的是ORL标准的人脸数据库，共有400张人脸图像，每张人脸图像的分辨率均为112×92[29]。2.2人脸识别算法的步骤大致步骤为：获取RGB图片>转换为灰度图像>图像处理>人脸识别。人脸检测与定位：首先需要从图片中检测出是否有人脸，并且我们需要做到从图像中将其人脸图像获得[16]。在提取的过程中，由于光线，以及面部表情（喜怒哀乐）年纪的原因，都会对我们人脸检测有些影响。如果头部有遮挡物，比如说我们夏天带的帽子，墨镜，女生带的头饰等等。由此可得，人脸检测与定位处理技术是一项十分繁杂[16]。图像的预处理：在人脸图像识别之前，我们需要对人脸进行各方面的处理，以便我们可以达到增强人脸特征的功效，细节更加突出，人脸的一些部位更加明显，把背景去掉非常有利于人脸识别[16]。3人脸特征提取：在这一步骤中，需要提取出可以表示人脸信息的主要特点。我们提取出来的主要特点需要可以呈现出一张独一无二的人脸[16]。4人脸识别：在这一步骤中，我们需要做的是主要是将等待识别的人脸和所保存的数据库中的人脸进行比较，并计算出在特征脸空间之中的距离，在众多人脸图像中，寻找出距离最小，从而达到输出身份识别的功能[16]。2.3KL变换基于特征脸的人脸识别方法的基础是KL（karhunen-loeve）变换。其原理如下：协方差矩阵假设f是一个向量集合，f=f1,f2μ=E(f)≈向量集合f的协方差定义为；c求出向量集合f的协方差矩阵中的λi与Φc此公式中特征值为λi，特征向量为Φ最后求变换矩阵。Φ是由特征向量组成，Φ=Φ1Φ2F=原图特征脸的人脸识别结果2.4四元数的主成分分析（QPCA）四元数属于四维空间里的数字，我们通过一个空间变换方法，也就是熟知的主成分分析PCA（principalcomponentanalysis），可以将人脸彩色图像从四维空间变换到二维空间，在二维空间做相似性的计算，这样我们就可以得出我们需要的人脸识别结果[24]。我们先选出M辐n×n的彩色人脸图像，然后把这M辐图像作为我们实验的样本集，第一步要做的是先将人脸图像变为可以用四元数表示的列向量，记作Γ1,Γ2,Γ3P=我们之前已经学过了奇异值分解定理，所以可将矩阵转化为求出另一M阶矩阵L的的特征值和另一M阶矩阵L的特征向量[28]，所以上式中满足L=S设L∈QL导出阵满足条件，若L1∈Q假设Lσ的特征值为λ1假设Lσ的特征向量为ν1,ν1所以四元数矩阵L中与λi