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真题解构与变式预测2025年全国1卷第18题

[题意理解]序号信息读取信息加工1通过离心率和几何条件构建方程,解a,b2动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AR|·|AP|=3利用向量参数方程或比例关系表示点R的坐标3直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍通过斜率关系建立方程,约束点P的坐标4Q是C上的动点,求|PQ|的最大值转化为参数优化问题或者直接运算[规范解答]注解①

[关键步骤]①核心依据:解答此问的前提是题目中给出的关于椭圆的关键条件,如椭圆上某点坐标、长轴长、短轴长、焦距或离心率等.②变量设定:设目标点坐标,并明确已知点的坐标.③根据|AR|·|AP|=3列出坐标表达式.④向量表达式构建;向量关系转化与化简.⑤已知条件转化.待求点轨迹确定,轨迹方程化简.⑥距离表达式参数化⑦三角函数化简与最值求解⑧距离表达式构建[典题溯源]圆锥曲线有关度量问题的关系是引入合适的参数将几何条件、目标代数化,消元完成求解.本题在解决过程中需要调用距离公式、两向量共线、斜率公式等相关知识,进行条件和设问的分析与理解,运用消元法统一变量,借助二次函数求解函数最值.圆锥曲线综合问题需要科学引参,实现目标和几何条件的代数化,引参时尽可能减少参数的个数,并有利于后面的数学运算.本题最容易忽略的地方在于对点P的轨迹的发现,最难的地方在于熟练地进行几何与代数的相互转化.本题源于人A选一教材习题3.3第11题.已知A,B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2,

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