数学苏教必修第二课直线与平面垂直张

数学苏教必修第二课直线与平面垂直课件张第一页，共37页。学习导航第1章立体几何初步学习目标1.了解直线与平面垂直的定义及几何表示．2．理解斜线在平面内的射影及直线与平面所成角的概念．(难点)3．掌握直线与平面垂直的判定定理、性质定理及其应用．(重点)学法指导借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.第二页，共37页。1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线a与一个平面α内的______________直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作______________.直线a叫做平面α的______________，平面α叫做直线a的__________垂线和平面的交点称为_________任意一条a⊥α垂线垂面垂足第三页，共37页。第四页，共37页。2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)直线与平面垂直的判定定理文字表述如果一条直线和一个平面内的___________________垂直，那么这条直线______________图形表述符号表述a⊥m，a⊥n，______________，______________，则a⊥α两条相交直线m∩n＝Am⊂α，n⊂α垂直于这个平面第五页，共37页。(2)直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线______________符号语言图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线a∥b平行第六页，共37页。3.距离(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和___________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．(2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．垂足任意一点第七页，共37页。4．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的____________所成的____________，叫做这条直线和这个平面所成的角．

如图，______________就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是_________(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是______________(4)线面角θ的范围是______________射影锐角∠PAO直角0°0°≤θ≤90°第八页，共37页。1．下列说法中正确的个数是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α.③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α.④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.解析：对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的．2第九页，共37页。2．△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB，l⊥AC,直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是________．解析：∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.3．已知正方形ABCD的边长为1,线段PA垂直于平面ABCD，且PA＝1，则点P到点C的距离为________．平行第十页，共37页。第十一页，共37页。4．正方体AC1中,直线AB1与平面AC所成的角等于_______．解析：如图所示，∵BB1⊥平面AC，∴直线AB1在平面AC内的射影是AB，∴∠B1AB是直线AB1与平面AC所成的角，∵在Rt△B1AB中，BB1＝AB，∴∠B1AB＝45°.45°第十二页，共37页。直线与平面垂直的判定定理的应用第十三页，共37页。[证明]设圆O所在平面为α，已知PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.第十四页，共37页。方法归纳直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法．线面在垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直．第十五页，共37页。第十六页，共37页。第十七页，共37页。直线与平面垂直的性质定理的应用第十八页，共37页。第十九页，共37页。方法归纳若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．第二十页，共37页。第二十一页，共37页。证明：∵EA⊥α，l⊂α，∴EA⊥l.同理EB⊥l.∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a.又AB⊥a，AB∩EB＝B，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.第二十二页，共37页。求直线与平面所成的角第二十三页，共37页。第二十四页，共37页。第二十五页，共37页。方法归纳求直线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．第二十六页，共37页。第二十七页，共37页。第二十八页，共37页。第二十九页，共37页。第三十页，共37页。第三十一页，共37页。第三十二页，共37页。第三十三页，共37页。第三十四页，共37页。[证明]

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.∵AD⊂平面PAC，∴AD⊥BC.∵PC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PB.[错因与防范]

(1)本题易出现证明过程不严密的错误．(2)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可．(3)证明的转化途径是：线线垂直→线面垂直→线线垂直．第三十五页，共37页。4.

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD，求证：l∥AE.证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.