概率与统计7大题型 （大题专练）（全国）（解析版）

([((((((([((([((((((([((据分形式出现.(3)若落在[50,60学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在[60,70学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.(结果精确到0.1)11(((([((((((( ([((( [ ((((([((((((( ([((( [ (((2可.，用分层抽样的方法应从考核成绩在[70,80的市民中抽取×13=6(人)．0，00×0.2=20，所以总平均数==62.4，X[([(((([([((((P(X=0===,P(X=1===,P(X=2===，故X的分布列为：X012P 27 47 7所以X的数学期望为：E(X=0×+1×+2×=．通技法 均数为．则总体样本方差s2=[s+(-2+[s+(-2.33 4展差和总体方差的关系式可求第二组和第四组所有学生成绩的方差.(((((((( (( (((((((( (( (；象不少于50个的次数，求X的分布列和数学期望E(X．(2)X的分布列为：X01234P1 3E(X=3.【分析】(1)根据频率和为1可求a的值，根据平均数的计算方法求.(2)利用二项分布求X的分布列和数学期望.【详解】(1)由20(0.0050+0.0075+a+0.0150+0.0100=1⇒a=0.0125.C所以X的分布列为：X01234P1 所以E(X=4×=3.析典例·建模型55((((((6((((((6机抽出3张彩票.奖金总额不高于700元的概率.(2)先确定X的可能的取值，再根据超几何分布可求X的分布列，最后根据期望公式可求E(X.则P(A===. CC010 CC0101故X的分布列为：X012P 故E(X=0×+1×+2×=.X列和期望；(2)易知X=0,1,2,3, (( (( (( (( (( (((((( 7因此可知X~B(3,,∴P(X=0=(1-3=,P(X=1=C(1-2×=,随机变量X的分布列为X0123P 随机变量X的期望E(X=0×+1×+2×+3×=或E(X=3×=.=427，实数表示的.2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤是解决本类问题的关键.88学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望；有P(X=0)===；P(X=1)===；P(X=2)===；P(X=3)===.可得X的分布列为：X0123P 6 2 E(X)=0×+1×+2×+3×=.漆、抛光环节的成功率(((((((( (( (((((((((((((( (( ((((((出制作漆器的总数n；案则P(A=,P(B=,P(C=，且A,B,C相互独立.所以该工艺师制作的一件漆器为精品的概率为P(ABC=P(AP(BP(C=××=.PPA为普品的概率P3=1-P1-P2=1--=.XBnYB(n,，故E(X=n,E(Y=n.因为E(Y-E(X=5，所以n-n=5，解得n=30.Z 1Z-25P 3 4Z 2Z-25P 3 4EZ×=(元).99 Z系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是p(0<p<1，且若X~N(μ,σ2，则P(μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545．优品率为P(19.7≤X≤20.3=P(μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827.优品率为P(19.7≤X≤20.3=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545.则系统正常工作的概率P(X≥2=Cp2(1-p+p3=p2(3-2p(0<p<1，所以该系统的可靠性为p2(3-2p(0<p<1.则系统正常工作的概率P(Y≥3=Cp3(1-p+p4=p3(4-3p(0<p<1，因为P(Y≥3-P(X≥2=p3(4-3p-p2(3-2p=-3p2(p-12<0，态分布问题有三个关键点(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((([[(1)求这100辆该车型续航里程的平均数和方差s2(同一区间的数据用该区间的中点值作代表)；(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程X服从正态分布N(μ,σ2，其中μ近似为样本平均数，σ2(i)求P(480.6<X<574.4；参考数据：2200≈46.9，若X∼N(μ,σ2，则P(μ-σ<X<μ+σ≈0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ≈(2)(i)0.6827(ii)0.8414【分析】(1)结合已知条件，利用平均数和方差s2的计算公式求解；(2)(i)利用(1)的数据结合正态分布的性质求解；(ii)利用正态分布的对称性计算求解．【详解】(1)=×0.05+×0.2+×0.45+×0.25+=527.5(km，+(625-527.52×0.05N(i)∵z1===-1，z2===1，根据正态分布的对称性，概率近似等于P(μ-σ<X<μ+σ，已知X∼N(μ,σ2，P(μ-σ<X<μ+σ≈0.6827，∴P(μ-σ<X<μ+σ≈0.6827；(ii)利用正态分布对称性：P(X<μ-σ===0.15865，∴P(X≥480.6=1-P(X<μ-σ≈1-0.15865=0.84135，AB-0.3( ( (( ( (秀的台数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：3.19≈1.79，若X~N(μ,σ2，则P(μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.即可.期望公式求解期望即可.故特等品的概率为P(μ-σ<X<μ+σ≈0.6827，则X的分布列如下，X01234P (1)若从这100名观众中随机选取2名观众，已知其中一名观众不满意，求另一名观众也不满意的概率；(((((((((((((( (((((((((((((( (设表示非常满意的观众人数为X，求X的分布列和数学期望.A计算E(X。P(AB=P(B====， C C28010189021P(A=1-=所以P(B|A===.所以X的分布列为X0123P8EX.求法求期望； 7，ξ234P 27 47 7因为P(C=P(AC+P(BC=P(AP(C|A+P(BP(C|B=0.9(1-p+0.5p=0.9-0.4p，时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.((((((((((( (( (((((((((((( (( (注意：(1)对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+⋯+BAn.(2)全概率公式体现了转化与化归的数学思商品质量满意与否相互独立.的人数为X，求X的分布列与数学期望.X012p9 E(X=(2)利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.事件B：会员对商品质量满意，P(B|A=，P(B|=，所以P(B=P(AP(B|A+P(P(B|=×+×=.则X~B(2,，P(X=0=(2=，P(X=1=C××=，P(X=2=(2=，X012p9 所以E(X=0×+1×+2×=.某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效(( (((( ( (( (((( ( 庭合计拿到的补贴的分布列；A奖励.所以P(BA===，以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，(2)设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为X，( ((( (((((所以X的分布列为X0P 8 38 庭可以拿到的奖励为sntαxαx到X的分布列和期望.(((((((((((((((((( 0年有关.P(X=0=×=；P(X=1=×+×=；P(X=2=×=.所以X的分布列为X012(P(X( 2数学期望为E(X=0×+1×+2×=.研考点法的三个步骤bc((((((((((((αxαx(2)X的分布列为：X012P 25E(X=.(2)先确定X的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求E(X.P(X=0==P(X=1==P(X=2=== CCP(X=0==P(X=1==P(X=2===X012P 25所以X的期望E(X=0×所以X的期望E(X=0×+1×((((( ((((( 胜义 αxαxX0123P ，(( (( (((( (( (((((χ2==≈9.091<10.828=x0.001，(2)学生答对任意一题的概率为×+×=，P(X=0=C×(3=，P(X=1=C×(2×=，P(X=2=C××(2=，P(X=3=C(3=，所以X的分布列为X0123P 数学期望E(X=0×+1×+2×+3×=2．xy55i=1i=1参考数据：xiyi=62194,(yi-2=8.6,55i=1i=1((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((X利用离散型随机变量的期望公式即可求解.5555i=1i=1(xi-2=112+52+02+62+102=282，=8.6，(xi-(yi-=xiyi-yi=62194-170×73×5=144，∴r==≈0.997．(xi-2=i(xi-2==-=73-×170≈-13.81，所以y关于x的回归方程为=-13.81+0.51x．P(X=5=2=1P(X=6=1=1P(X=5=2=1P(X=6=1=1P(X=7=1=1P(X=9=1=1P(XX的分布列X2345679P 5 5 所以E(X=2×+3×+4×+5×+6×+7×+9×+11×=.((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((令vi=lnxi(i=1,2,⋯,5，数据经过初步处理得：yi=44,vi≈4.8,(xi-x-2=10,(yi-y-2=40.3,(vi-v-2≈1.612,(xi-x-(yi-y-=17.085,(yi-y-(vi-v-≈7.657.现有①y=bx+a和②y=乙两人补贴总金额的期望值的取值范围.相关系数r== (xi-x-(yi-y-xiyi-nx-相关系数r==(xi-x-2(yi-y-2x-nx-2y-ny-2.更好；p别为r1,r2，由题意可得：r1==≈=0.85，r2====0.95，rP(X=0)=(1-p2)[1-(3p-1)]=2-3p-2p2+3p3，P(X=1)=p2[1-(3p-1)]+(1-p2)(3p-1)=-6p3+3p2+3p-1，P(X=2)=p2(3p-1)=3p3-p2，该省对甲、乙两人买车数量期望值为E(X)=0×(2-3p-2p2+3p3)+1×(-6p3+3p2+3p-1)+2×(3p3-p2)=p2+3p-1， ((((((( ((((((( 通技法数；常见非线性回归方程与线性回归方程之间经常使用取对数进行转换.下表所示：(1)计算y与x的相关系数r(保留三位小数)；参考公式：r=,=,=-．参考数值：13≈3.6056,((((((((((((((( (((((((((((((((( ((则(xi-2=(-22+(-12+12+22=10，(yi-2=(-0.7)2+(-0.4)2+0.42+0.72=1.3，则r==≈≈0.998．故y与x的相关系数为r=0.998．(2)由(1)===0.36，则=-=1.10-0.36×2021=-726.46，yx程为=0.36x-726.46，.的情况统计，得到一组样本数据(xi,yi(i=1,2,⋯,18，其中xi和yi分别表示月份编号和销售金额数量18(单位：万元)，并计算得(xi-2=66，(yi-2=7500,xiyi=950,18⋅=270.18i=1i=1i=1X附：相关系数r=(xi-i-=nxiyi-n⋅≈4.7．,X012P X【详解】(1)样本(xi,yi(i=1,2,⋯,18的相关系数为：((((((( ((((( (( ((((((( ((((( (( r= i=1680 i=1680=.96所以P(X=0==，P(X=1== CP(X=1==P(X=2=== C0P(X=2===所以X的分布列为：X012P 本pp(1)当p=时.i场数为X，求X的分布列；则P(X=0=C(0(3=；P(X=1=C(1(2=；P(X=2=C(2(1=；P(X=3=C(3(0=， ((( (( ((((((((((((((((((((((( ( (((( (( (((( ( ((( (( ((((((((((((((((((((((( ( (((( (( (((( ( (((X0123P 8 38 38 8∴甲队获胜的概率为P(B=++=.∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为P(A|B===.PYCpp-p=6p2(1-p3；ppppfppp>1，fppppfpfp>f(1=0，EY围是,3.((((( ((((( ( ((( ((( ( (((((((((( (((( (((((((((((((( ((((( ( ((( ((( ( (((((((((( (((( ((((((((((((( (( ( n 粒子落于A内的概率均为1-(e是自然对数的底).mXkmm(3)若一次向Ω中发射n(n∈N*个粒子，X表示落于A内的粒子个数，P(X=i表示有i个粒子落于A内的概率，求证：P(X≤k)=-+1.(2)由题意可知，P(X=i=(i-1(1-,i=1,2,⋯,m，利用等比数列的求和公式计算P(X=k)，出结果；nnn(3)P(X≤k)=E(X+P(X≤k)-E(X-P(X≤0，将E(X+P(X≤k)转化为按单点概率k=1k=0k=0P(X=i分组的线性形式并化简，最后减去E(X，P(X≤0得到目标结论.则事件M的概率为P(M=C(1-2=(1-2(2)由题意可知，P(X=i=(i-1(1-,i=1,2,⋯,m.m则P(X=k)=P(X=1+P(X=2+⋯+P(X=m，=(k0(1-+(1(1-+⋯+(m-1(1-=(1-=1-(m，(3)由题意可知X~B(n,1-，可得P(X≤k)=P(X≤0+P(X≤1+P(X≤2+⋯+P(X≤n=(n+1P(X=0+nP(X=1+(n-1P(X=2⋯+P(X=n，因为E(X=0×P(X=0+1×P(X=1+2×P(X=2+⋯+n×P(X=n，且E(X=n(1-.nn所以E(X+P(X≤k)=iP(X=i)+[(n+1P(X=0+nP(X=1+⋯+P(X=nk=0i=0=(n+1[P(X=0+P(X=1+⋯+P(X=n=n+1.，n所以P(X≤k)=(n+1-E(X-P(X≤0=(n+1-E(X-P(X=0=(n+1-n(1--n (n=-+1.( ( (((((((((((((( ( ((((((((((((((i)求p2；-qn+1<qn+1-qn.解析.证明；nppPA=P(B，所以P(A+P(B=1，所以P(A=P(B=，所以pn=；的局数服从二项分布B(2n-1,p，qn=Cn-1p(1-p2n-2+Cn-1p3(1-p2n-4+...+Cp2n-3(1-p2+Cp2n-1，( ( (((((( ( ((((( ((((((((((( ( (((((( ( ((((( ((((((((((((((((( 因为[p+(1-p2n-1=Cn-1p2n-1(1-p0+Cn-1p2n-2(1-p1+...+Cp1(1-p2n-2+Cp0(1-p2n-1，[(1-p-p2n-1=Cn-1(-p0(1-p2n-1+Cn-1(-p(1-p2n-2+...+C1+C(-p2n-1，所以qn+1-qn=-==2=2p2=2p(1-p(1-2p2n-1，同理qn+2-qn+1=2p(1-p(1-2p2n+1，所以(1-2p2n+1=(1-2p2n-1(1-2p2<(1-2p2n-1，pp(1-2p2n+1<2p(1-p(1-2p2n-1，即qn+2-qn+1<qn+1-qn.iDiiiN,k<i≤n张奖券金额为M，再利用全概率公式求出概率通式，再代入n=设A:a1=M,B:a1<M,C:甲获得最大金额奖励M．PA设A:a1=M,B:a1<M,C:甲获得最大金额奖励M．((( ((((((((((((( ((((((((((则P(C)=P(A)P(C∣A)+P(B)P(C∣B)=．若m=M，则P(C)=0，故只需考虑m<M的情况．设Di：抽到的第i(i∈N*,k<i≤n张奖券金额为M．则P(C)=i1P(DiP(C∣Di=i1P(C∣Di=i1=i1=．令f(x)=,x>1，则f(x)=．xefxfx单调递增；xefxfx减，又p(36)=-0.36ln0.36≈0.3678,p(37)=-0.37ln0.37≈0.3679，拟(a+b(c+d(a+c(b+d(a+b(c+d(a+c(b+d(P(χ2≥4(k(((((((((((((((([(((((((((((((((((((((([(((((((2)由题得，P(B|A====，代表)；方法直接计算即可；(((((((((((((( (((((((((((((( 读时间的平均数为读时间的平均数为所以随机变量X的可能取值有1,2,3，P(x=1==,P(x=2==,P(x=3== 5，所以随机变量X的分布列为X123P 5 35 5故随机变量X的数学期望E(X=1×+2×+3×=2.(1)求游客甲在一轮抽奖中所得积分X的分布列；众X0123P 2 6P(Y=k(k=0,1,…,5的最大值即可．则P(X=0==,P(X=1==，P(X=2==P(X=3== CP(X=2==P(X=3==C02,C06，故X的分布列为X0123P 2 6( (( (( 且P(Y=3=P(Y=4=，Z∼N(μ,σ2，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ≈0.9973] X012P X((( (( (((((((((((( (( ((((((((((((pppp大小.(3)p1<p2(2)利用二项分布可求X的分布列和数学期望E(X；由题意知B型系统每次测试中成功避让的概率为=，所以X~B(3,，所以P(X=0=(3=,P(X=1=C×(2×=，P(X=2=C××(2=,P(X=3=(3=.故X的分布列为X0123P E(X=3×=.PCPCDPCPDp1而P(C=P(C|P(+P(C|DP(D，pp=，解得p1=，所以p1<p2.公x1234567y67777【答案】(1)y=c⋅dx适宜x次【分析】(1)根据散点图判断即可.77i=1i得====0.25，=-x=0.54，因此=0.54+0.25x，即lg=0.54+0.25x，则=100.54+0.25x=3.47×(100.25)x，当x=8时，得=100.54+0.25×8=102+0.54=102×100.54=347，所以y关于x的回归方程为=3.47×100.25x，活动推出第8天使用扫码支付的人次为347十人次.(((( (( ((((( (( (( {( 屏上曾经出现数值n的概率为Pn(不考虑人流量有限的限制)．②求Pn．X0123P8E(X=9D(X则P(X=0=(1-3=，P(X=1=C(1-2×=，则X的分布列为X0123P8所以X的均值E(X=3×=，且方差D(X=3××(1-=.P则Pn+2=Pn+Pn+1，可得Pn+2-Pn+1=-(Pn+1-Pn，则Pn+1-( ((((( ( ((((( 当n≥2时，则Pn=P1+(P2-P1+(P3-P2+⋅⋅⋅+(Pn-Pn-1有P(μ-2σ<X<μ+2σ≈0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ≈0.9973.p(3)由P(X≤1>，得到P(X=0+P(X=1>，再根据泊松分布的概率公式求解.根据正态分布的性质，因P(μ-2σ<X<μ+2σ≈0.9545，故P(360<X<440≈0.9545.所以P(X1=k≈e-np=所以P(X1=k≈e-np=e-3， (( ((P(X1≥3=1-P(X1=0-P(X1=1-P(X1=2(3)由P(X≤1>，可得P(X=0+P(X=1>，根据泊松分布的概率公式：P(X=0=e-λ，P(X=1=λe-λ，可得(λ+1e-λ>.设h(λ=(λ+1e-λ(λ>0，由hp(λ=-λe-λ<0，可知h(λ在(0,+∞上为减函数.题86事件A与B是否独立？请说明理由.；((((((((明：对任意正整数m，p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2．pmpmCpmqmpmpm1=C+1pm+2qm，同理有q2m-q2m+1=C1qm+1pm，q2m+2-q2m+1=C+1qm+2pm，作差有p2m+1-q2m+1<p2m-q2m，另一方面p2m+2-p2m=pmqm⋅故所求为p3=C(1-p0p3=p3，故所求为p4=C(1-p1p3+C(1-pp04=4p3(1-p+p4=p3(4-3p；则====(2=4，所以p2m=P(X2m≥m+1)，p2m+1=P(X2m+1≥m+2)，p2m+2=P(X2m+2≥m+2)，q2m=P(Y2m≥m+1)，q2m+1=P(Y2m+1≥m+2)，q2m+2=P(Y2m+2≥m+2)，要证明p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2，pmpmqmqmpmp2m>q2m+2-q2m，先证明①p2m+1-p2m<q2m+1-q2m，p2m+1-p2m=P(X2m+1≥m+2)-P(X2m≥m+1)=P(X2m≥m+2)+P(X2m=m+1)p-P(X2m≥m+1)=P(X2m=m+1)p-P(X2m=m+1)q((mp2m+2-p2m=P(X2m+2≥m+2)-P(X2m≥m+1)=Cpmqmp2-q2C1pm+1qm-1=Cpm+2qm-C1pm+1qm+1，qmpmCpmqmCqmpmpq不等式p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<