5.6 定积分在几何学上的应用

1第六节

定积分在几何学上的应用本节学习目标010203了解常见的特殊平面图形能熟练计算平面内不规则图形的面积能熟练计算旋转体的体积一、特殊的平面图形1.特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形3如下图2.特殊的曲线四边形分析自下向上观察其图形,上下两条曲线边分别为曲线y=φ(x)与y=ψ(x)(φ(x)≥ψ(x)≥0),左右平行(重合)于y轴的直线边分别为直线x=a与x=b或上下两条曲线边交点的横坐标分别为x=a与x=b(a<b).特殊的曲线四边形是指四条边中有一对对边为平行于y轴的直线边4特殊的曲线三边形是指三条边中有一条边为平行于y轴的直线边特殊的曲线两边形是指两条边中有一条边在上面,而另一条边在下面根据§5.1定积分的几何意义,这类特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形的面积

若上下两条曲线边y=φ(x),y=ψ(x)不都在x轴上方,可以证明上述计算面积的公式仍然成立.5二、计算特殊的曲线四边形面积步骤1必须画出围成平面图形的各条边,其中常见的上下两条曲线边为直线、抛物线或基本初等函数曲线,对于上述特殊的曲线三边形或曲线两边形,需求出上下两条曲线边交点的横坐标;

综合上面的讨论,计算上述特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形面积S的步骤如下:6步骤2确定并计算代表所求面积的定积分:上面曲线边减下面曲线边对应被积函数,左面与右面平行(重合)于y轴的直线边或上下两条曲线边交点的横坐标分别对应积分下限、积分上限.即面积

对于任意连续曲线围成的平面图形,可以用经过曲线交点的平行于y轴的直线将它分成若干个上述特殊平面图形,其面积之和即为此平面图形的面积.7例1解:画出曲线y=ex与直线y=x-1,x=0,x=1,得到它们围成的平面图形,如图求由曲线y=ex与直线y=x-1,x=0,x=1围成平面图形的面积S.8注意：这个平面图形是特殊的曲线四边形,其中上下两条曲线边分别为曲线y=ex与直线y=x-1,左面直线边为y轴即直线x=0,右面平行于y轴的直线边为直线x=1所以所求平面图形的面积

9例2

10所以所求平面图形的面积

11例3解:画出抛物线y=x2与直线x+y=2,得到它们围成的平面图形,如图求由抛物线y=x2与直线x+y=2围成平面图形的面积S.12注意：这个平面图形是特殊的曲线两边形,其中上下两条曲线边分别为直线x+y=2即y=2-x与抛物线y=x2,左面与右面它们交点的横坐标分别为x=-2与x=1所以所求平面图形的面积

13例4

14

显然,这块面积是半径为1的圆面积的一半,因此所求定积分

此题答案为（c）15问题求由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b(a<b)及x轴所围成的曲边梯形(如图),绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V.三、旋转体的体积按照求曲边梯形面积的思路分析,该旋转体的体积分布在区间[a,b]上,取x为积分变量,其变化区间是[a,b],体积微元是三、旋转体的体积

旋转体的体积在区间[a,b]上取积分,得所求旋转体的体积为例5求由抛物线y=x2,直线x=1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V.解如图所示,取x为积分变量,其变化区间是[0,1],体积微元是dV=π(x2)2dx=πx4dx在区间[0,1]上取积分,得所求旋转体的体积为

例6求由抛物线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V.解如图所示,所求旋转体的体积可看作是两个旋转体的体积之差.于是

综合上面的讨论,计算旋转体体积的步骤如下:步骤1在平面直角坐标系中作出平面图形,求曲