6.1 微分方程的基本概念

第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节一阶线性微分方程第四节二阶微分方程第五节高阶线性微分方程第六节常系数齐次线性微分方程第七节常系数非齐次线性微分方程1第八节变量代换法第九节微分方程应用举例本章思维导图引导案例---牛顿冷却定理问题

该等式含有未知函数θ的导数，我们称之为一阶微分方程。

可见，在实际问题中常常会遇到这样一类特殊的函数方程，它是含有未知函数的导数或微分的方程，我们称之为微分方程。根据已知微分方程求出未知函数，就是解微分方程。当所含函数为一元函数时，微分方程称为常微分方程。当所含函数为多元函数时，微分方程称为偏微分方程。本章只讨论常微分方程，下面简称微分方程。

常微分方程简介

微分方程基本是和微积分同时产生的。

牛顿在建立微积分的同时，利用微分方程这个工具，他在研究天体力学和机械动力学的时候，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。所以常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。它的实用价值很高，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法，微分方程也就成了最有生命力的数学分支。第一节

微分方程的基本概念本节学习目标010203理解微分方程的解理解微分方程的阶掌握微分方程的定义04能熟练判断微分方程的通解及特解一、微分方程的基本概念引入：

解：设所求曲线为y=f(x)由题意得

y

=2x含有未知函数的导数y

---------------我们称之为微分方程

1.定义：含有未知函数及未知函数的导数或微分的等式叫做微分方程.

1.定义：含有未知函数及未知函数的导数或微分的等式叫做微分方程.

说明：

y

=2x微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数是一阶.如：

可见，一阶微分方程的一般形式为：F(x,y,y

)=0或例2.判断下列微分方程的阶数:2.定义：一个微分方程中，所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.三阶一阶二阶一阶一阶

例3.验证y=5x2

是否xy

=2y的解.解：因为y

=10x,所以左边=xy

=x×10x=10x2=2y=右边该函数是方程的解.对于微分方程我们关心得是如何求解？那么什么是方程的解呢？类似于代数方程

例1.一条曲线通过点(1,1)，且在该曲线上任一点M(x,y)的切线斜率为2x，求这条曲线方程.解：设所求曲线为y=f(x),由题意得y

=2x于是：又曲线通过点(1,1)即代入1=1+C得C=0则该曲线方程为：明确了方程的解，下面我们来求解例1即：解微分方程由不定积分定义可知它代表了所有原函数即：包含了该微分方程所有的解，我们称为通解

4.定义：在微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为方程的通解,不含任意常数的解称特殊解，简称特解。

如例1：通过给出的已知条件，可以确定通解中的任意常数C，这些条件称为初始条件(或初值条件）。带有初始条件的微分方程也称为微分方程的初值问题

说明：关于独立，如实质是一个任意常数=Cx+3

即：n阶微分方程中,含有n个任意常数的解,称为微分方程的通解。例4.验证下列函数是否微分方程的解.是通解还是特解(2)y=lnCx是否y

=的解(1)y=x+C

是否y

=y的解.解：y

=1

,代入方程yy

,

不是方程的解.解：y

=

是方程的解.且含有一个任意常数，是方程的通解。(3)(C为任意常数)是否的解.解：x

=-gt,x

=-g,

是方程的解.但既不是通解也不是特解注意：1）通解中任意常数的个数等于方程的阶数。2）任意常数的个数必须实质上是任意的。练习1：判断下列微分方程的阶数3：验证下列函数是否微分方程dy-2xdx=0的解.一阶一阶二阶(1)y=2x+5(2)y=-2x+C(3)y=x2+5(4)y=x2+C2：验证下列函数是否微分方程xy

=y

的解.(1)y=x2+5(2)y=x2+C(3)y=C1x2+C2

dy=d2x=2dxdy=d(-2x)=-2dxdy=d(x2)=2xdxdy-2xdx=0dy=d(x2+C)=2xdx不是不是是是

y

=2x,

y

=2xy

=x×2=y

是

y

=2x,

y

=2xy

=x×2=y

是

y

=C12x

y

=2C1xy

=x×2C1=y

是

①方程的解是一