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文档简介

第二节

可分离变量的微分方程本节学习目标010203掌握关于求解的注意事项能熟练进行可分离变量的方程求解掌握什么是可分离变量的微分方程常用的基本积分公式

预备知识：2.3.4.5.7.6.(a≠-1)(a>0,a≠1)-cosx+Csinx+C1.

∫kdx=kx+C

一条曲线通过点(1,1)，且在该曲线上任一点M(x,y)的切线斜率为2x，求这条曲线方程.解：设所求曲线为y=f(x),由题意得微分方程y

=2x积分得通解：代入初始条件：得C=0则该曲线方程(过点(1,1)的特解)为：上节引例：练习1：按引例方法求解微分方程例1.求解练习1解法1：由不定积分的定义得则原方程可变形为：解法2：等式两边取不定积分，得：分别解不定积分，得：练习2：用解法2求解方程1）推广：用解法2求解方程2）等式两边取不定积分，得：3）分别解等式两边的不定积分，得：原函数称为可分离变量的微分方程定义：形如

的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.拓展：如判断下列方程是否是可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程的一般形式也可写为：由上面判断可见引例：求微分方程的通解即微分方程的通解为：M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0下面讨论可分离变量的微分方程的求解参照解法21）2）等式两边取不定积分，得：3）分别解不定积分，得：可分离变量型微分方程的解法——分离变量法：分离变量两边积分解积分，得通解原函数为了计算简单例2:求微分方程的通解解：分离变量两边积分解积分，得说明有时为计算方便，任意常数可写作不同的表达形式为所求通解C为任意常数例3：求微分方程满足初始条件

的特解解：（1）求出方程通解两边积分通解为：分离变量

（C为任意常数）即为：

例3：求微分方程满足初始条件

的特解（2）确定所求特解将初始条件代入通解得C=1

所求方程的特解为

令练习3：

求微分方程的通解解：分离变量两边积分整理注意事项：1.

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