6.3 一阶线性微分方程

第三节

一阶线性微分方程本节学习目标010203理解常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程能熟练求解一阶线性齐次微分方程掌握一阶线性微分方程的定义及分类04熟练利用公式法求解一阶线性非齐次微分方程引例：令

求微分方程的通解解：分离变量两边积分整理解得练习1:求微分方程的通解观察刚才两个方程的特点：特别地：

当Q(x)

0时,称y

+P(x)y=Q(x)为一阶线性非齐次微分方程，Q(x)为自由项.

当Q(x)=0时,称y

+P(x)y=0为一阶线性齐次微分方程，且称为与上面非齐次微分方程对应的齐次微分方程.定义

形如y

+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程.其中P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数特点：1）一阶，y的最高导数为一阶2）线性：y

、y

的次数是一次，(x的次数不限)例如：像这样的方程我们称为一阶线性微分方程练习2:①判断下列方程,那些属于一阶线性微分方程.(1)y

+2xy=ex;(2)y

+2xy=y2;(3)(y

)2+2xy=0

;(4)y

+2xcosy=ex;是不是不是不是y2、(y

)2

、cosy不是y的线性函数②判断下列方程,那些属于一阶线性非齐次微分方程.(1)y

+2xy=x2

;(2)y

+y-2x=0

;(3)y+2xy=ex;(4)y

+ycosx=0;是是不是不是③写出下列非齐次微分方程所对应的齐次微分方程(1)y

+2xy=ex

;(2)2xy

-y+2x=0

;(3)y+2x=y

;(4)y

+cosx=1;

y

-y=0

y

+2xy=0y

=02xy

-y=0y

+P(x)y=Q(x)下面研究一阶线性微分方程的解法：1）一阶线性齐次微分方程y

+P(x)y=0分析：显然是可分离变量型微分方程,用分离变量法求解分离变量两边积分：得即

解：这是一阶线性齐次微分方程，

按照公式可得方程通解为：2）一阶线性非齐次微分方程y+P(x)y=Q(x)

先看引例和练习1的关系发现二者的差别：是齐次通解中任意常数C在非齐次通解中变成了函数引例是一阶线性非齐次微分方程；练习1是引例对应的齐次方程；二者都是分离变量法求解，再看二者通解的关系：由此猜想：非齐次方程的通解计算方法？？？一阶线性非齐次微分方程y+P(x)y=Q(x)求解①先求出相对应的齐次方程y

+P(x)y=0

的通解,—故称为常数变易法，也叫待定系数法分离变量法解得：②将上式中C改成C(x)即将代入y+P(x)y=Q(x)应用待定系数法求出C(x)则就是原方程的通解该解法是把齐次通解中的常数C看成了函数推导非齐次方程通解公式，即求C(x)设非齐次通解为代入y+P(x)y=Q(x)故y'+P(x)y=Q(x)的通解为解得则重解引例:求微分方程

的通解解法2：常数变易法

，先求对应齐次方程y

=y的通解.分离变量两边取积分解得即把常数C看成x的函数C(x),即设原方程的解为则将y,y

代入原方程y

-y=积分，解得

方程的通解为：与分离变量法结果相同例2:求微分方程xy

+y=3

的通解解：根据刚推导得通解公式计算，需要先将方程变为标准形式即

方程的通解为：例3:求方程满足的解解：确定P(x)=?Q(x)=?y+P(x)y=Q(x)将初始条件代入通解得C=1

所求方程的特解为练习3:两种方法求微分方程2y

-y=ex

的通解解法1：先求对应齐次方程2y

-y=0的通解.分离变量积分，解得即把常数C看成x的函数C(x),令原方程的解为则将y,y

代入原方程2y

-y=积分

方程的通解为：解法2：用公式法求微分方程2y

-y=ex

的通解练习4:求方程