1.4 函数的基础极限

第四节

函数的极限本节学习目标010203能熟练判断分段函数分界点处的极限熟练掌握函数极限的存在条件理解函数极限的思想和概念一、函数极限的概念考虑函数y=f(x),自变量x在变化过程中的取值一定属于函数定义域,分下列两种基本情况讨论函数y=f(x)的变化趋势.1.第一种基本情况自变量x取值无限远离原点,这意味着自变量x的绝对值|x|无限增大,记作x→∞3x→∞包括两个方向:一个是沿着x轴的负向远离原点,这时自变量x取值为负且|x|无限增大,记作x→-∞另一个则是沿着x轴的正向远离原点,这时自变量x取值为正且|x|无限增大,记作x→+∞因而x→∞意味着同时考虑x→-∞与x→+∞4例1

5定义1.11已知函数f(x)在自变量x取值无限远离原点的情况下有定义,当x→∞时,若函数f(x)无限接近于常数A,则称当x→∞时函数f(x)的极限为A,记作

注意到x→∞意味着同时考虑x→-∞与x→+∞.于是有下面的定理.6定理1.1

同时成立.7

根据函数极限的定义,在例1中极限

8例2

解:观察函数y=sinx的图形,如图9容易看出:无论当x➝-∞时还是当x➝+∞时,对应的函数y值在区间[-1,1]上振荡,不能无限接近于任何常数,所以极限

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定理1.2112.第二种基本情况自变量x取值无限接近于有限点x0,记作x→x0应注意的是:在x→x0的过程中,点x始终不到达点x0,即恒有x≠x0.x→x0包括两个方向:

12例3

考虑函数y=2x+1,在点x=5左右,自变量x与函数y的对应数值情况列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:当x→5时,对应的函数y值无限接近于常数1113定义1.9

已知函数f(x)在点x0左右有定义,当x→x0时,若函数f(x)无限接近于常数A,则称当x→x0时函数f(x)的极限为A,记作

14定理1.3

同时成立.15这个定理说明:函数在有限点处极限存在的充分必要条件是左极限与右极限都存在且相等.

16函数极限的概念函数极限的概念

由于在x→x0的过程中,恒有x≠x0,因而在一般情况下,函数f(x)在点x0处有无定义都不影响它在点x0处的极限情况.根据函数极限的定义,在例3中极限

17函数极限的概念数列与函数统称为变量,它们的极限统称为变量极限.如果变量极限存在,则其极限是唯一的,其在极限过程中某时刻后有界.若变量y的极限为A,则记作limy=A以后只在讨论对于数列极限与函数极限皆适用的一般性结论时,才能使用通用记号limy若已经给出变量y的函数表达式,则不能使用通用记号,必须在极限记号下面标明自变量的变化趋势.显然,常数c的极限等于c,即limc=c

(c为常数)18继续讨论分段函数在分界点处的极限.若分段函数在分界点左右的数学表达式一样,则直接计算其极限;若分段函数在分界点左右的数学表达式不一样,则应分别计算其左极限与右极限,只有左极限与右极限都存在且相等,极限才存在.例5已知分段函数

讨论左极限,右极限及极限

考虑到

意味着点x从原点的右方无限接近于原点,从而在

的过程中,恒有x>0,根据所给分段函数f(x)的表达式,这时函数f(x)=3