2026-2027学年人教A版高中数学必修一1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定课件

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定【学习目标】1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.(数学抽象)2.能写出全称量词命题与存在量词命题的否定并判断真假.(逻辑推理)全称量词命题与存在量词命题的否定命题的类型全称量词命题存在量词命题命题的符号表示∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)命题的否定的符号表示__________________________________命题的否定的类型存在量词命题全称量词命题∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)[点睛](1)全称量词命题的否定是存在量词命题;存在量词命题的否定是全称量词命题;(2)命题与其否定的真假相反.[巧记]写两种命题否定:“转换量词、否定结论”.[思考]一个命题与它的否定的真假性关系如何?提示:一个命题与它的否定的真假性关系是“一真一假”或“此假彼真”.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)存在量词命题的否定一定是全称量词命题.()提示:因为存在量词命题否定时要把存在量词改为全称量词,所以它的否定一定是全称量词命题.(2)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,只否定其结论即可.()提示:对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,除了否定其结论外,还要改变量词.√×(3)短语“都是”的否定短语是“都不是”.()提示:短语“都是”的否定短语是“不都是”.(4)短语“至少有一个”的否定短语是“至多有两个”.()提示:短语“至少有一个”的否定短语是“一个也没有”.××

【解题有招】对全称量词命题的否定的关注点(1)两变:一变量词,即把全称量词变为存在量词;二变结论,即否定结论.(2)一补:对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后再进行否定.【即学即练】1.命题“∀x>0,2x2=5x-1”的否定是(

)A.∀x>0,2x2≠5x-1

B.∀x≤0,2x2=5x-1C.∃x>0,2x2≠5x-1 D.∃x≤0,2x2=5x-1【解析】选C.因为全称量词命题的否定是存在量词命题,根据命题否定的规则知,C选项正确.√2.写出下列命题的否定,并判断否定的真假.(1)∀n∈Z,n∈Q;(2)所有自然数的平方都是正数;(3)每个平行四边形都是中心对称图形.【解析】(1)命题的否定:∃n∈Z,n∉Q,是假命题.(2)命题的否定:有的自然数的平方不是正数,是真命题.(3)命题的否定:存在一个平行四边形不是中心对称图形,是假命题.

【解题有招】存在量词命题的否定形式与判断真假的方法(1)写否定命题时,先将存在量词变为全称量词,再把性质p(x)否定为¬p(x);(2)由于命题与命题的否定一真一假,所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假,从而进行判断.【即学即练】1.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为(

)A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n【解析】选C.将“∃”改写成“∀”,“>”改写为“≤”即可.√2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.(1)某些梯形的对角线互相平分;(2)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.【解析】(1)该命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分.假设存在梯形的对角线互相对分,而对角线互相平分的四边形为平行四边形,这与四边形为梯形相矛盾,所以任意一个梯形的对角线都不互相平分,所以命题的否定为真命题.(2)该命题的否定:对任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.当k<0时,函数y=kx+b随x值的增大而减小,所以命题的否定为假命题.类型3根据全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假求参数问题(逻辑推理)【典例3】(2026·龙岩高一检测)已知命题p:∀1≤x≤3,都有x≤a+1恒成立;命题q:∃1≤x≤2,y=x+a<0.(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;(2)若命题q的否定为真命题,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为命题p为真命题,所以a≥x-1,对∀1≤x≤3恒成立,则a≥3-1=2,即a≥2,故实数a的取值范围是{a|a≥2};(2)因为命题q的否定为真命题,所以“∀1≤x≤2,y=x+a≥0”为真命题,所以1+a≥0,解得a≥-1.故实数a的取值范围是{a|a≥-1}.【解题有招】命题真假求参数的范围的两个关注点(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化.(2)求参数范围问题,通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围.【即学即练】已知命题p:∀x∈R,2x≠-x2+m,命题q:∃x∈R,x2+2x-m-1=0.(1)写出命题¬p.(2)若命题p为假命题,命题q为真命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为命题p:∀x∈R,2x≠-x2+m,所以¬p:∃x∈R,2x=-x2+m.(2)因为命题p为假命题,所以¬p:∃x∈R,2x=-x2+m为真命题,即-x2-