第11讲 二次根式的运算（解析版）

第11讲二次根式的运算一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。要点：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.三、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.四、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.五、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.例1．下列运算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案．解：、，正确，不符合题意；、，正确，不符合题意；、，正确，不符合题意；、，故原式错误，符合题意，故选：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大．例2．计算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】【分析】根据二次根式乘法法则计算即可．原式．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．例3．计算（2）（）的结果是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式进行计算即可．解：（2）（）故选B．【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行二次根式的乘法运算，掌握公式特点是解题的关键．例4．能使成立的x的取值范围是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可．由题意可得：，解得：x＞2．故选D．【点睛】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．例5．下列计算正确的是(

)A．BC．D．【答案】D【解析】A选项：，计算错误，故与题意不符；B选项：，计算步骤有误，故与题意不符;C选项：，计算错误，故与题意不符；D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符.故选D.例6．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先化简各个二次根式再合并即可.解：.故选A.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键.例7．一个长方体纸盒的体积为，若这个纸盒的长为，宽为，则它的高为（

）A．1dm B． C． D．48dm【答案】A【解析】【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答即可．解：设长方体纸盒的高为x，则，解得：，故长方体纸盒的高为：1dm，故选：A．【点睛】本题考查长方体体积公式、二次根式的混合运算，掌握长方体体积公式是解题关键．例8．下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．例9．如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意可得与是同类二次根式，即两者的被开方数相同，由此可求出a的值，将a代入原二次根式合并即可.解：由题意可知最简二次根式与的被开方数相同，即，解得．所以．故选D.【点睛】本题考查了同类二次根式，同类二次根式才能够进行合并，正确理解同类二次根式的含义是解题的关键.例10．已知则a与b的关系是(

)A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数【答案】A【解析】【分析】把的分子分母同乘（），进一步化简与a比较得出结论即可．==（），a=，∴a与b互为相反数.故选A.【点睛】本题考查分母有理化.例11．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（

）A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确C．只有甲正确 D．只有乙正确【答案】D【解析】【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．解：甲：当时，，当a=b时，无意义，乙：，∴甲错误，乙正确，选项说法错误，不符合题意；选项说法错误，不符合题意；选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意;故选D．【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系．例12．比较大小：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．【答案】

>，

<，

>，

<【解析】【分析】（1）先将，变形为，有，即可比较大小；（2）利用作差法，即可比较大小；（3）利用作商法，即可比较大小；（4）先将，化为，，又有，即可比较大小．解：（1）∵，且，∴，∴；（2）∵，又∵，∴，即，∴；（3）∵，∴；（4）∵，，，∴，即．故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．例13．计算：（1）________；

（2）_________．【答案】

【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则计算即可；解：（1），（2）；故答案为：，【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键例14．已知，，则______．【答案】【解析】【分析】先计算出x+y，xy的值，再把变形整体代入即可求解．解：∵，，∴x+y=2，xy=3-1=2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，根据x、y的值的特点和所求分式的特点进行正确变形，熟知相关运算公式，法则是解题关键，本题也可以直接代入计算，但运算量比较大．例15．已知，用含a、b的代数式表示_________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘法，将表示成、的形式，即可求解．解：故答案为【点睛】此题考查了二次根式乘法的逆用，熟练掌握二次根式是解题的关键．例16．对于任意的正数，，定义运算“*”如下：，计算的结果为___________．【答案】##【解析】【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第一种对应法则；48＜50，选第二种对应法则．解：∵∴===故答案为：．【点睛】主要考查二次根式的运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题意，按照定义是关键．一、单选题1．计算2×÷的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．原式==3÷=故选C．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．2．下列各运算，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件进行计算即可．解：A、，故本选项错误；B、，本选项正确；C、根据二次根式有意义的条件可得和没有意义，故本选项错误；D、，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，二次根式有意义的条件，掌握这些知识点是解题关键．3．计算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．原式．故选：A【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．已知，，那么与的关系为（

）A．互为相反数 B．互为倒数C．相等 D．是的平方根【答案】B【解析】【分析】求出的值，利用倒数定义判断即可．解：，，，则与的关系是互为倒数．故选：B．【点睛】此题考查了倒数的定义、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（

）①；

②；

③；

④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论．①当a、b均为负时，、无意义，∴①不成立；②∵在中，a＞0，b≥0，∴≥0，∴＝，②成立；③∵＝|a|，∴③不成立；④∵＝|a2|＝a2，∴④成立．综上可知：成立的结论有②④．故选C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键．6．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形：甲：；乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是()A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确C．只有甲正确 D．只有乙正确【答案】D【解析】【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m=n这种情况．甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m=n则化简不成立；乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．故本题选D．【点睛】本题考查的是分母有理化的计算方法．7．已知=10，则x等于(

)A．4 B．±2 C．2 D．±4【答案】C【解析】【分析】已知=10，先化简再求值即可得出答案．已知=10，∴x＞0，∴原式可化简为：++3=10，∴=2，两边平方得：2x=4，∴x=2，故选C．【点睛】本题考查了解无理方程，属于基础题，关键是先化简后再根据平方法求无理方程．8．设，则的值一定是（

）.A．正数 B．负数 C．0 D．1【答案】B【解析】【分析】分a、b同正和a、b同负两种情况把各项化成最简二次根式，再去括号合并同类二次根式，然后结合已知条件即可进行判断.解：∵，∴当a、b同正时，；∵，∴<0，即原式的值是负数.当a、b同负时，；∵，∴<0，即原式的值是负数.综上，时原式的值是负数.故选B.【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简与加减运算法则是解题的关键.9．已知，是大于1的自然数，那么的值是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】令，得到，，，进而得到的值，代入即可得到结论．令，从而，，，∴=，∴原式=．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于()A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【解析】【分析】由，代入数值，求出S=+++…+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．∵==，∴S=+++…+===100-，∴不大于S的最大整数为99．故选B.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．二、填空题11．________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算，然后将二次根式化为最简即可得出答案．解：．故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的乘法，属于基础题，掌握二次根式的乘法法则是关键．12．计算_____，化简：_________．【答案】

6

【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简求出即可．解：，，故答案为：6；．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．13．计算的值是________．【答案】4【解析】【分析】根据绝对值的意义、二次根式的运算可进行求解．解：原式=；故答案为4．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．14．计算：____________．【答案】1【解析】【分析】先利用乘法分配律进行展开，然后根据二次根式的运算法则计算即可．解：==3-2=1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了乘法分配律、二次根式的运算法则等知识点，灵活运用二次根式的运算法则成为解答本题的关键．15．已知，则a＝______；b＝__．【答案】

2

6【解析】【分析】先将化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．解：故答案为：2，6．【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．16．两个最简二次根式m与a的和5，则m－n＋a＝________．【答案】2【解析】【分析】根据最简二次根式的定义可得，由，代入代数式即可求解．解：两个最简二次根式m与a的和5，，，m－n＋a＝．故答案为：．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则______．【答案】##【解析】【分析】根据题意得：S=ab，将S=4，a=代入即可得到b的值．解：∵S=ab，∴4=b，∴b=．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．18．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别是a，b，c，记，则其面．这便是著名的海伦-秦九韶公式．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，这个三角形的面积为_______．【答案】【解析】【分析】直接将a、b、c值代入海伦-秦九韶公式计算即可．解：∵a=5，b=6，c=7，∴p=，∴=．故答案为：．【点睛】此题考查二次根式的应用，掌握二次根式的化简和读懂题意是解题的关键．三、解答题19．计算（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）先计算二次根式的乘方，同时求解立方根与算术平方根，再合并即可得到答案；（3）分别按照完全平方公式与平方差公式先计算二次根式的乘法运算，再合并即可得到答案；（4）先化简二次根式与计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可得到答案．解：（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查的是立方根与算术平方根的含义，二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的应用，掌握以上知识是解题的关键．20．计算：（1）（2）（3）（4）（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；（2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．21．计算：【答案】【解析】【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．解：原式==．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算，再合并即可．22．计算：【答案】【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可求解．解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，同有理数混合运算顺序一样，二次根式的混合运算顺序为“先做乘方，再做乘除，最后做加减”，在二次根式运算最后结果一定要化简．23．计算题（1）2÷×﹣（2）先化简，再求值．（6x+）﹣（4x+），其中x＝，y＝27．【答案】（1）0；（2）．【解析】【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．（1）原式＝2×2×﹣＝2×﹣＝﹣＝0；（2）原式＝6x+﹣4x﹣＝6+3﹣﹣6＝（3﹣）＝，当x＝，y＝27时，原式＝＝．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．24．请阅读下列材料：一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x就叫做